Tronco

Porción de un sólido que se encuentra entre dos planos paralelos que cortan el sólido.

Tronco pentagonal y tronco cuadrado

En geometría , un tronco ( del latín "bocado"); ^[a] ( pl.: frusta o frustums ) es la porción de un sólido (normalmente una pirámide o un cono ) que se encuentra entre dos planos paralelos que cortan el sólido. En el caso de una pirámide, las caras de la base son poligonales y las caras laterales son trapezoidales . Un tronco recto es una pirámide recta o un cono recto truncado perpendicularmente a su eje; ^[3] de lo contrario, es un tronco oblicuo . En un cono truncado o pirámide truncada , el plano de truncamiento no es necesariamente paralelo a la base del cono, como en un tronco. Si se fuerza a todas sus aristas a tener la misma longitud, entonces un tronco se convierte en un prisma (posiblemente oblicuo y/o con bases irregulares).

Elementos, casos especiales y conceptos relacionados

El eje de un tronco es el del cono o pirámide original. Un tronco es circular si tiene bases circulares; es recto si el eje es perpendicular a ambas bases y oblicuo en caso contrario.

La altura de un tronco es la distancia perpendicular entre los planos de las dos bases.

Los conos y las pirámides pueden considerarse casos degenerados de troncos truncados, en los que uno de los planos de corte pasa por el vértice (de modo que la base correspondiente se reduce a un punto). Los troncos piramidales son una subclase de prismatoides .

Dos troncos con dos bases congruentes unidas en estas bases congruentes forman un bitruro .

Fórmulas

Volumen

La fórmula para el volumen de un tronco de pirámide cuadrado fue introducida por los matemáticos del antiguo Egipto en lo que se llama el Papiro Matemático de Moscú , escrito en la XIII dinastía ( c.  1850 a. C. ):

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

donde a y b son las longitudes de los lados base y superior, y h es la altura.

Los egipcios conocían la fórmula correcta para el volumen de dicha pirámide cuadrada truncada, pero en el papiro de Moscú no se da ninguna prueba de esta ecuación.

El volumen de un tronco cónico o piramidal es el volumen del sólido antes de cortarle su "ápice", menos el volumen de este "ápice":

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

donde B ₁ y B ₂ son las áreas de la base y la parte superior, y h ₁ y h ₂ son las alturas perpendiculares desde el vértice hasta los planos de la base y la parte superior.

Considerando que

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

La fórmula del volumen se puede expresar como el tercio del producto de esta proporcionalidad, , y de la diferencia de los cubos de las alturas h ₁ y h ₂ solamente: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

Utilizando la identidad a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² ) , se obtiene:

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

donde h ₁ − h ₂ = h es la altura del tronco.

Distribuyendo y sustituyendo a partir de su definición, se obtiene la media heroniana de las áreas B ₁ y B _{2 :} ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

La fórmula alternativa es por tanto:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

Herón de Alejandría es conocido por derivar esta fórmula y, con ella, encontrar la unidad imaginaria : la raíz cuadrada de menos uno. ^[4]

En particular:

• El volumen de un cono truncado circular es:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios de la base y la parte superior .

• El volumen de un tronco de pirámide cuyas bases son n -gonos regulares es:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

donde a ₁ y a ₂ son las longitudes de los lados base y superior.

Tronco piramidal

Área de superficie

Tronco cónico

Modelo 3D de un tronco cónico.

Para un tronco cónico circular recto ^{[5] [6]} la altura inclinada es ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$

La superficie lateral es

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,}$

y la superficie total es

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios de la base y la parte superior respectivamente.

Ejemplos

Los chocolates de la marca Rolo se aproximan a un tronco cónico circular recto, aunque no son planos en la parte superior.

• En el reverso de un billete de un dólar de los Estados Unidos , aparece un tronco de pirámide en el reverso del Gran Sello de los Estados Unidos , coronado por el Ojo de la Providencia .
• Los zigurats , las pirámides escalonadas y ciertos antiguos montículos nativos americanos también forman el tronco de una o más pirámides, con características adicionales como escaleras añadidas.
• Pirámides chinas .
• El Centro John Hancock en Chicago , Illinois, es un tronco truncado cuyas bases son rectángulos.
• El Monumento a Washington es una estrecha pirámide de base cuadrada rematada por una pequeña pirámide.
• El tronco de visión en los gráficos de computadora 3D es el campo de visión utilizable de una cámara fotográfica o de video virtual modelado como un tronco piramidal.
• En la traducción al inglés de la colección de cuentos de Stanislaw Lem , La Ciberíada , el poema Amor y álgebra tensorial afirma que "cada tronco anhela ser un cono".
• Los cubos y las pantallas de lámparas típicas son ejemplos cotidianos de troncos cónicos.
• Los vasos para bebidas y algunas cápsulas espaciales también son algunos ejemplos.

• 

  Garsų Gaudyklė  [cs] , Neringa, Lituania

  Garsų Gaudyklė: una estructura de madera en Lituania.
• Queso Valençay
• Caramelos rolo

Véase también

• Tronco esférico

Notas

1. El término frustum proviene del latín frustum , que significa "pedazo" o "bocado". La palabra inglesa a menudo se escribe mal como frustrum , una palabra latina diferente cognada a la palabra inglesa "frustrate". ^[1] La confusión entre estas dos palabras es muy antigua: se puede encontrar una advertencia sobre ellas en el Apéndice Probi , y las obras de Plauto incluyen un juego de palabras sobre ellas. ^[2]

Referencias

1. Clark, John Spencer (1895). Manual del profesor: Libros I–VIII. Para el curso completo de Prang sobre estudio de formas y dibujo, Libros 7–8. Prang Educational Company. pág. 49.
2. Fontaine, Michael (2010). Palabras divertidas en la comedia plautina. Oxford University Press . pp. 117, 154. ISBN 9780195341447.
3. Kern, William F.; Bland, James R. (1938). Medición sólida con pruebas . pág. 67.
4. Nahin, Paul. Un cuento imaginario: la historia de √ −1 . Prensa de la Universidad de Princeton. 1998
5. "Mathwords.com: Frustum" . Consultado el 17 de julio de 2011 .
6. Al-Sammarraie, Ahmed T.; Vafai, Kambiz (2017). "Aumento de la transferencia de calor a través de ángulos de convergencia en una tubería". Transferencia numérica de calor, parte A: aplicaciones . 72 (3): 197−214. Bibcode :2017NHTA...72..197A. doi :10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID  125509773.

Enlaces externos

• Derivación de la fórmula para el volumen de los troncos de pirámide y cono (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. "Frustum piramidal". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Trune cónico". MathWorld .
• Modelos de papel de pirámides truncadas
• Modelo de papel de frustum (cono truncado)
• Diseño de modelos en papel de troncos cónicos (conos truncados)