En topografía , la triangulación es el proceso de determinar la ubicación de un punto midiendo sólo ángulos hacia él desde puntos conocidos en cada extremo de una línea de base fija mediante el uso de trigonometría , en lugar de medir distancias al punto directamente como en la trilateración . Luego, el punto se puede fijar como el tercer punto de un triángulo con un lado conocido y dos ángulos conocidos.
La triangulación también puede referirse al levantamiento preciso de sistemas de triángulos muy grandes, llamados redes de triangulación . Esto se deriva del trabajo de Willebrord Snell en 1615-17, quien mostró cómo se podía ubicar un punto a partir de los ángulos subtendidos desde tres puntos conocidos, pero medidos en el nuevo punto desconocido en lugar de en los puntos previamente fijados, un problema llamado resección . El error topográfico se minimiza si primero se establece una malla de triángulos en la escala adecuada más grande. Todos los puntos dentro de los triángulos se pueden localizar con precisión con referencia a ellos. Estos métodos de triangulación se utilizaron para realizar estudios terrestres precisos a gran escala hasta el surgimiento de los sistemas globales de navegación por satélite en la década de 1980.
Se puede utilizar la triangulación para encontrar la posición del barco cuando se conocen las posiciones de A y B. Un observador en A mide el ángulo α , mientras que el observador en B mide β .
La posición de cualquier vértice de un triángulo se puede calcular si se conoce la posición de un lado y dos ángulos. Las siguientes fórmulas son estrictamente correctas sólo para una superficie plana. Si se debe tener en cuenta la curvatura de la Tierra, entonces se debe utilizar la trigonometría esférica .
Siendo la distancia entre A y B da:
Usando las identidades trigonométricas tan α = sin α / cos α y sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, esto equivale a:
por lo tanto:
A partir de esto, es fácil determinar la distancia del punto desconocido desde cualquier punto de observación, sus desplazamientos norte/sur y este/oeste desde el punto de observación y, finalmente, sus coordenadas completas.
Hoy en día, la triangulación se utiliza para muchos propósitos, incluidos topografía , navegación , metrología , astrometría , visión binocular , modelos de cohetes y dirección de armas .
En el campo, los métodos de triangulación aparentemente no fueron utilizados por los agrimensores romanos especializados ; pero fueron introducidas en la España medieval a través de tratados árabes sobre el astrolabio , como el de Ibn al-Saffar (m. 1035). [1] Abu Rayhan Biruni (m. 1048) también introdujo técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre varios lugares. [2] Las técnicas romanas simplificadas parecen haber coexistido con técnicas más sofisticadas utilizadas por los topógrafos profesionales. Pero era raro que tales métodos se tradujeran al latín (un manual de geometría, el Geomatria incerti auctoris del siglo XI es una rara excepción), y tales técnicas parecen haberse filtrado sólo lentamente en el resto de Europa. [1] El bastón medieval de Jacob , utilizado específicamente para medir ángulos, que data aproximadamente de 1300, puede atestiguar una mayor conciencia y uso de tales técnicas en España ; y la aparición de costas estudiadas con precisión en las cartas portulanas , la más antigua de las cuales se conserva data de 1296.
En tierra, el cartógrafo Gemma Frisius propuso utilizar la triangulación para ubicar con precisión lugares lejanos para la elaboración de mapas en su folleto de 1533 Libellus de Locorum describendorum ratione ( Folleto sobre una forma de describir lugares ), que encuadernó como apéndice en un nuevo Edición del best-seller 1524 Cosmographica de Peter Apian . Esto se volvió muy influyente y la técnica se extendió por Alemania, Austria y los Países Bajos. El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, completando una triangulación detallada en 1579 de la isla de Hven , donde tenía su sede su observatorio, con referencia a puntos de referencia clave a ambos lados del Øresund , produciendo un plano inmobiliario de la isla en 1584. [3] En Inglaterra, el método de Frisio se incluyó en el creciente número de libros sobre agrimensura que aparecieron a partir de mediados de siglo, entre ellos Cosmographical Glasse (1559) de William Cuningham y el Tratado de medición de todo tipo de tierras (1562) de Valentine Leigh. , Reglas de navegación de William Bourne (1571), Práctica geométrica de Thomas Digges llamada Pantometria (1571) y Diálogo del topógrafo de John Norden (1607). Se ha sugerido que Christopher Saxton pudo haber utilizado una triangulación aproximada para ubicar características en los mapas de su condado de la década de 1570; pero otros suponen que, habiendo obtenido orientaciones aproximadas sobre los accidentes desde puntos estratégicos clave, puede haber estimado las distancias hasta ellos simplemente mediante conjeturas. [4]
El uso sistemático moderno de las redes de triangulación surge del trabajo del matemático holandés Willebrord Snell , quien en 1615 examinó la distancia de Alkmaar a Breda , aproximadamente 72 millas (116 kilómetros), utilizando una cadena de cuadrángulos que contenía 33 triángulos en total. Snell subestimó la distancia en un 3,5%. Las dos ciudades estaban separadas por un grado en el meridiano , por lo que a partir de su medición pudo calcular un valor para la circunferencia de la Tierra, una hazaña celebrada en el título de su libro Eratóstenes Batavus ( El Eratóstenes holandés ), publicado en 1617. Snell calculó cómo se podrían corregir las fórmulas planas para tener en cuenta la curvatura de la Tierra. También mostró cómo resección , o calcular, la posición de un punto dentro de un triángulo utilizando los ángulos formados entre los vértices en el punto desconocido. Estos podían medirse con mucha más precisión que las orientaciones de los vértices, que dependían de una brújula. Esto estableció la idea clave de inspeccionar primero una red primaria a gran escala de puntos de control y luego localizar puntos subsidiarios secundarios, dentro de esa red primaria.
Los métodos de Snell fueron adoptados por Jean Picard , quien en 1669-1670 examinó un grado de latitud a lo largo del meridiano de París utilizando una cadena de trece triángulos que se extendía hacia el norte desde París hasta la torre del reloj de Sourdon , cerca de Amiens . Gracias a las mejoras en los instrumentos y la precisión, la de Picard está considerada como la primera medición razonablemente precisa del radio de la Tierra. Durante el siglo siguiente, este trabajo fue ampliado sobre todo por la familia Cassini: entre 1683 y 1718, Jean-Dominique Cassini y su hijo Jacques Cassini inspeccionaron todo el meridiano de París, desde Dunkerque hasta Perpiñán ; y entre 1733 y 1740 Jacques y su hijo César Cassini emprendieron la primera triangulación de todo el país, incluido un nuevo estudio del arco meridiano , que condujo a la publicación en 1745 del primer mapa de Francia construido sobre principios rigurosos.
Los métodos de triangulación ya estaban bien establecidos para la elaboración de mapas locales, pero no fue hasta finales del siglo XVIII que otros países comenzaron a establecer estudios detallados de redes de triangulación para cartografiar países enteros. La triangulación principal de Gran Bretaña fue iniciada por el Ordnance Survey en 1783, aunque no se completó hasta 1853; y el Gran Estudio Trigonométrico de la India, que finalmente nombró y cartografió el Monte Everest y los otros picos del Himalaya, se inició en 1801. Para el estado francés napoleónico, la triangulación francesa fue extendida por Jean-Joseph Tranchot a la Renania alemana a partir de 1801, posteriormente completado después de 1815 por el general prusiano Karl von Müffling . Mientras tanto, al matemático Carl Friedrich Gauss se le encomendó de 1821 a 1825 la triangulación del reino de Hannover (estudio territorial gaussiano , en la que aplicó el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor solución para problemas de grandes sistemas. de ecuaciones simultáneas dadas más mediciones del mundo real que incógnitas.
Hoy en día, las redes de triangulación a gran escala para el posicionamiento han sido reemplazadas en gran medida por los sistemas globales de navegación por satélite establecidos desde la década de 1980, pero muchos de los puntos de control de los estudios anteriores todavía sobreviven como elementos históricos valiosos en el paisaje, como los pilares de triangulación de hormigón. establecidos para la retriangulación de Gran Bretaña (1936-1962), o los puntos de triangulación establecidos para el Arco Geodésico de Struve (1816-1855), ahora declarado Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO .
