En trigonometría , un triángulo angosto es un triángulo cuya altura es mucho mayor que su base. La solución de tales triángulos se puede simplificar en gran medida utilizando la aproximación de que el seno de un ángulo pequeño es igual a ese ángulo en radianes . La solución es particularmente simple para triángulos angostos que también son isósceles o triángulos rectángulos : en estos casos, se puede prescindir por completo de la necesidad de funciones trigonométricas o tablas .
El triángulo delgado se utiliza en topografía, astronomía y tiro.
La solución aproximada del triángulo isósceles delgado, con referencia a la figura 1, es:
Esto se basa en las aproximaciones de ángulos pequeños :
y
cuando está en radianes .
La prueba de la solución del triángulo angosto se deduce de la aproximación de ángulos pequeños aplicando la ley de senos . Volviendo a la figura 1:
El término representa el ángulo base del triángulo y es este valor porque la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo (en este caso los dos ángulos base más θ ) son iguales a π. La aplicación de las aproximaciones de ángulos pequeños a la ley de senos anterior da como resultado
Cuál es el resultado deseado.
Este resultado es equivalente a suponer que la longitud de la base del triángulo es igual a la longitud del arco de círculo de radio r subtendido por el ángulo θ . El error es del 10% o menos para ángulos menores de aproximadamente 43°, [2] y mejora cuadráticamente: cuando el ángulo disminuye en un factor de k , el error disminuye en k 2 .
La fórmula lado-ángulo-lado para el área del triángulo es
La aplicación de las aproximaciones de ángulos pequeños da como resultado
La solución aproximada del triángulo rectángulo delgado, que hace referencia a la figura 3, es:
Esto se basa en la aproximación de ángulo pequeño.
que cuando se sustituye en la solución exacta
produce el resultado deseado.
El error de esta aproximación es inferior al 10% para ángulos de 31° o menos. [3]
Las aplicaciones del triángulo estrecho se dan en cualquier situación en la que se deba determinar la distancia a un objeto lejano. Esto puede ocurrir en topografía, astronomía y también tiene aplicaciones militares.
El triángulo delgado se utiliza con frecuencia en astronomía para medir la distancia a los objetos del Sistema Solar . La base del triángulo está formada por la distancia entre dos estaciones de medición y el ángulo θ es el ángulo de paralaje formado por el objeto visto por las dos estaciones. Esta línea de base suele ser muy larga para lograr la mejor precisión; en principio, las estaciones podrían estar en lados opuestos de la Tierra . Sin embargo, esta distancia sigue siendo corta en comparación con la distancia al objeto que se está midiendo (la altura del triángulo) y se puede aplicar la solución del triángulo delgado y aún así lograr una gran precisión. El método alternativo para medir los ángulos de la base es teóricamente posible, pero no tan preciso. Los ángulos de la base son casi ángulos rectos y se necesitarían medir con mucha mayor precisión que el ángulo de paralaje para obtener la misma precisión. [4]
El mismo método de medición de ángulos de paralaje y aplicación del triángulo delgado se puede utilizar para medir las distancias a las estrellas, al menos las más cercanas. En el caso de las estrellas, sin embargo, normalmente se requiere una línea base más larga que el diámetro de la Tierra. En lugar de utilizar dos estaciones en la línea base, se realizan dos mediciones desde la misma estación en diferentes épocas del año. Durante el período intermedio, la órbita de la Tierra alrededor del Sol mueve la estación de medición una gran distancia, proporcionando así una línea base muy larga. Esta línea base puede ser tan larga como el eje mayor de la órbita de la Tierra o, equivalentemente, dos unidades astronómicas (UA). La distancia a una estrella con un ángulo de paralaje de solo un segundo de arco medido en una línea base de una UA es una unidad conocida como el pársec (pc) en astronomía y es igual a unos 3,26 años luz . [5] Existe una relación inversa entre la distancia en pársecs y el ángulo en segundos de arco. Por ejemplo, dos segundos de arco corresponden a una distancia de 0,5 pc y 0,5 segundos de arco corresponden a una distancia de dos parsecs. [6]
El triángulo delgado es útil en artillería porque permite calcular una relación entre el alcance y el tamaño del objetivo sin que el tirador tenga que calcular o buscar ninguna función trigonométrica . Las miras telescópicas militares y de caza suelen tener una retícula calibrada en milirradianes , que en este contexto se suele llamar simplemente mils o mil-dots. Un objetivo de 1 metro de altura y que mide 1 mil en la mira corresponde a un alcance de 1000 metros. Existe una relación inversa entre el ángulo medido en la mira de un francotirador y la distancia al objetivo. Por ejemplo, si este mismo objetivo mide 2 mils en la mira, entonces el alcance es de 500 metros. [7]
Otra unidad que se utiliza a veces en las miras de armas es el minuto de arco (MOA). Las distancias correspondientes a los minutos de arco no son números exactos en el sistema métrico, como lo son en el caso de los miliradianes; sin embargo, existe una correspondencia aproximada y conveniente con números enteros en unidades imperiales . Un objetivo de 1 pulgada de altura y que mide 1 MOA en la mira corresponde a un alcance de 100 yardas . [7] O, quizás de manera más útil, un objetivo de 6 pies de altura y que mide 4 MOA corresponde a un alcance de 1800 yardas (poco más de una milla).
Una forma sencilla de navegación aérea, la estima , se basa en realizar estimaciones de la velocidad del viento en altura a largas distancias para calcular el rumbo deseado. Dado que las velocidades del viento previstas o informadas rara vez son precisas, es necesario realizar correcciones al rumbo de la aeronave a intervalos regulares. Los triángulos delgados forman la base de la regla de 1 en 60 , que dice: "Después de viajar 60 millas, su rumbo se desvía un grado por cada milla que se desvía del curso". "60" es muy cercano a 180 / π = 57,30.
