Traducción (geometría)

Movimiento plano dentro de un espacio euclidiano sin rotación

Una traslación mueve cada punto de una figura o un espacio en la misma cantidad en una dirección determinada.

En geometría euclidiana , una traslación es una transformación geométrica que desplaza cada punto de una figura, forma o espacio la misma distancia en una dirección dada . Una traslación también puede interpretarse como la adición de un vector constante a cada punto, o como el desplazamiento del origen del sistema de coordenadas . En un espacio euclidiano , cualquier traslación es una isometría .

Como función

Si es un vector fijo, conocido como vector de traslación , y es la posición inicial de algún objeto, entonces la función de traslación funcionará como . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Si es una traducción, entonces la imagen de un subconjunto bajo la función es la traducción de por . La traducción de por se escribe a menudo como . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle A+\mathbf {v} }$

Aplicación en física clásica

En física clásica , el movimiento de traslación es el movimiento que cambia la posición de un objeto, a diferencia de la rotación . Por ejemplo, según Whittaker: ^[1]

Si un cuerpo se mueve de una posición a otra, y si las líneas que unen los puntos inicial y final de cada uno de los puntos del cuerpo son un conjunto de líneas rectas paralelas de longitud ℓ , de modo que la orientación del cuerpo en el espacio permanece inalterada, el desplazamiento se llama traslación paralela a la dirección de las líneas, a través de una distancia ℓ .

—  ET Whittaker , Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos , pág. 1

Una traslación es la operación de cambiar las posiciones de todos los puntos de un objeto según la fórmula ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$

donde es el mismo vector para cada punto del objeto. El vector de traslación común a todos los puntos del objeto describe un tipo particular de desplazamiento del objeto, generalmente llamado desplazamiento lineal para distinguirlo de los desplazamientos que implican rotación, llamados desplazamientos angulares . ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$

Al considerar el espacio-tiempo , un cambio de coordenadas de tiempo se considera una traslación.

Como operador

El operador de traslación convierte una función de la posición original, , en una función de la posición final, . En otras palabras, se define de modo que Este operador es más abstracto que una función, ya que define una relación entre dos funciones, en lugar de los vectores subyacentes en sí. El operador de traslación puede actuar sobre muchos tipos de funciones, como cuando el operador de traslación actúa sobre una función de onda , que se estudia en el campo de la mecánica cuántica. ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$

Como grupo

El conjunto de todas las traslaciones forma el grupo de traslaciones , que es isomorfo al espacio mismo, y un subgrupo normal del grupo euclidiano . El grupo cociente de por es isomorfo al grupo de movimientos rígidos que fijan un punto de origen particular, el grupo ortogonal : ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

Como la traducción es conmutativa , el grupo de traducción es abeliano . Hay un número infinito de traducciones posibles, por lo que el grupo de traducción es un grupo infinito .

En la teoría de la relatividad , debido al tratamiento del espacio y el tiempo como un único espacio-tiempo , las traslaciones también pueden referirse a cambios en la coordenada temporal . Por ejemplo, el grupo de Galileo y el grupo de Poincaré incluyen traslaciones con respecto al tiempo.

Grupos reticulares

Un tipo de subgrupo del grupo de traslación tridimensional son los grupos reticulares , que son grupos infinitos , pero a diferencia de los grupos de traslación, son finitamente generados . Es decir, un conjunto generador finito genera todo el grupo.

Representación matricial

Una traslación es una transformación afín sin puntos fijos . Las multiplicaciones de matrices siempre tienen el origen como punto fijo. Sin embargo, existe una solución común que utiliza coordenadas homogéneas para representar una traslación de un espacio vectorial con multiplicación de matrices : escribir el vector tridimensional utilizando 4 coordenadas homogéneas como . ^[2] ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$

Para traducir un objeto por un vector , cada vector homogéneo (escrito en coordenadas homogéneas) se puede multiplicar por esta matriz de traducción : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

La inversa de una matriz de traducción se puede obtener invirtiendo la dirección del vector:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

De manera similar, el producto de las matrices de traducción se obtiene sumando los vectores:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

Dado que la suma de vectores es conmutativa , la multiplicación de matrices de traducción también es conmutativa (a diferencia de la multiplicación de matrices arbitrarias).

Traducción de ejes

Si bien la traslación geométrica suele considerarse una transformación activa que cambia la posición de un objeto geométrico, se puede lograr un resultado similar con una transformación pasiva que mueve el sistema de coordenadas pero deja el objeto fijo. La versión pasiva de una traslación geométrica activa se conoce como traslación de ejes .

Simetría traslacional

Se dice que un objeto que parece igual antes y después de la traslación tiene simetría traslacional . Un ejemplo común es una función periódica , que es una función propia de un operador de traslación.

Traducciones de un gráfico

En comparación con el gráfico y = f ( x ) , el gráfico y = f ( x  −  a ) ha sido trasladado horizontalmente por a , mientras que el gráfico y = f ( x ) + b ha sido trasladado verticalmente por b .

La gráfica de una función real f , el conjunto de puntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,f(x))}$ , a menudo se representa en el plano de coordenadas reales con x como coordenada horizontal y ⁠ ⁠ ${\displaystyle y=f(x)}$ como coordenada vertical.

Partiendo del gráfico de f , una traslación horizontal significa componer f con una función ⁠ ⁠ ${\displaystyle x\mapsto x-a}$ , para algún número constante a , dando como resultado un gráfico que consta de puntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,f(x-a))}$ . Cada punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,y)}$ del gráfico original corresponde al punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+a,y)}$ del nuevo gráfico, lo que gráficamente da como resultado un desplazamiento horizontal.

Una traslación vertical significa componer la función ⁠ ⁠ ${\displaystyle y\mapsto y+b}$ con f , para una constante b , lo que da como resultado un gráfico que consta de los puntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}}$ . Cada punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,y)}$ del gráfico original corresponde al punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,y+b)}$ en el nuevo gráfico, lo que gráficamente da como resultado un desplazamiento vertical. ^[3]

Por ejemplo, tomando la función cuadrática ⁠ ⁠ ${\displaystyle y=x^{2}}$ , cuyo gráfico es una parábola con vértice en ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0)}$ , una traslación horizontal de 5 unidades hacia la derecha sería la nueva función ⁠ ⁠ ${\displaystyle y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25}$ cuyo vértice tiene coordenadas ⁠ ⁠ ${\displaystyle (5,0)}$ . Una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba sería la nueva función ⁠ ⁠ ${\displaystyle y=x^{2}+3}$ cuyo vértice tiene coordenadas ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,3)}$ .

Las antiderivadas de una función difieren entre sí por una constante de integración y, por lo tanto, son traducidas verticales unas de otras. ^[4]

Aplicaciones

Para describir la dinámica de un vehículo (o el movimiento de cualquier cuerpo rígido ), incluida la dinámica de los barcos y la dinámica de las aeronaves , es habitual utilizar un modelo mecánico que consta de seis grados de libertad , que incluye traslaciones a lo largo de tres ejes de referencia (así como rotaciones sobre esos tres ejes). Estas traslaciones suelen denominarse oleaje , balanceo y elevación .

Véase también

• Gráficos de computadora en 2D#Traducción
• Advección
• Cambio de base
• Transporte paralelo
• Matriz de rotación
• Escala (geometría)
• Matriz de transformación
• Simetría traslacional

Referencias

1. Edmund Taylor Whittaker (1988). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (reimpresión de la cuarta edición de 1936 con prólogo de William McCrea ed.). Cambridge University Press. p. 1. ISBN 0-521-35883-3.
2. Richard Paul, 1981, Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control informático de los manipuladores de robots, MIT Press, Cambridge, MA
3. Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Filtros no lineales para procesamiento de imágenes, serie SPIE/IEEE sobre ciencia e ingeniería de imágenes, vol. 59, SPIE Press, pág. 169, ISBN 9780819430335.
4. Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Cálculo de una variable: trascendentales tempranos, Jones & Bartlett Learning, pág. 269, ISBN 9780763749651.

Lectura adicional

• Zazkis, R., Liljedahl, P. y Gadowsky, K. Concepciones de la traducción de funciones: obstáculos, intuiciones y redireccionamiento. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Recuperado el 29 de abril de 2014 de www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformaciones de grafos: traslaciones horizontales. (1 de enero de 2006). BioMath: Transformación de grafos. Consultado el 29 de abril de 2014.

Enlaces externos

• Traducción Transformar en cortar el nudo
• Traducción geométrica (animación interactiva) en Math Is Fun
• Comprensión de la traducción 2D y comprensión de la traducción 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .