Operador de traducción (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica , un operador de traslación se define como un operador que desplaza partículas y campos en una determinada cantidad en una determinada dirección. Es un caso especial del operador de turnos del análisis funcional.

Más específicamente, para cualquier vector de desplazamiento , existe un operador de traducción correspondiente que desplaza partículas y campos en la cantidad . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Por ejemplo, si actúa sobre una partícula ubicada en la posición , el resultado es una partícula en la posición . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$

Los operadores de traducción son unitarios .

Los operadores de traducción están estrechamente relacionados con el operador de impulso ; por ejemplo, un operador de traslación que se mueve una cantidad infinitesimal en la dirección tiene una relación simple con el componente - del operador de momento. Debido a esta relación, la conservación del impulso se mantiene cuando los operadores de traducción conmutan con el hamiltoniano, es decir, cuando las leyes de la física son invariantes en la traducción. Este es un ejemplo del teorema de Noether . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Acción sobre mercados propios de posición y funciones de onda.

El operador de traducción mueve partículas y campos en cantidad . Por lo tanto, si una partícula está en un estado propio del operador de posición (es decir, ubicada precisamente en la posición ), luego de actuar sobre ella, la partícula está en la posición : ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int \!d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .}$$

Una forma alternativa (y equivalente) de describir lo que determina el operador de traducción se basa en funciones de onda del espacio de posición . Si una partícula tiene una función de onda de posición-espacio y actúa sobre la partícula, la nueva función de onda de posición-espacio se define por ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$$

Esta relación es más fácil de recordar porque puede leerse como: "El valor de la nueva función de onda en el nuevo punto es igual al valor de la antigua función de onda en el antiguo punto". ^[1] ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),}$

A continuación se muestra un ejemplo que muestra que estas dos descripciones son equivalentes. El estado corresponde a la función de onda (donde está la función delta de Dirac ), mientras que el estado corresponde a la función de onda. Estos efectivamente satisfacen ${\displaystyle |\mathbf {a} \rangle }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} )).}$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$

El impulso como generador de traducciones

En introducción a la física, el impulso generalmente se define como masa multiplicada por la velocidad. Sin embargo, existe una forma más fundamental de definir el impulso, en términos de operadores de traducción. Esto se llama más específicamente impulso canónico y suele ser, aunque no siempre, igual a la masa multiplicada por la velocidad; un contraejemplo es una partícula cargada en un campo magnético. ^[1] Esta definición de impulso es especialmente importante porque la ley de conservación del impulso se aplica sólo al impulso canónico, y no es universalmente válida si el impulso se define como masa multiplicada por la velocidad (el llamado "impulso cinético"), por razones explica a continuación.

El operador de impulso (canónico) se define como el gradiente de los operadores de traslación cerca del origen:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}(\mathbf {x} )\right)_{{\text{at }}\mathbf {x} =\mathbf {0} }}$

¿Dónde está la constante de Planck reducida ? Por ejemplo, ¿cuál es el resultado cuando el operador actúa sobre un estado cuántico? Para encontrar la respuesta, traslada el estado en una cantidad infinitesimal en la dirección -, calcula la velocidad a la que cambia el estado y multiplícalo por . Por ejemplo, si un estado no cambia en absoluto cuando se traslada en la dirección -, entonces su componente - de impulso es 0. ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i\hbar }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Más explícitamente, es un operador vectorial (es decir, un vector que consta de tres operadores ), definido por: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}$

$${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}}$$

operador identidad ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}}$

La ecuación anterior es la definición más general de . En el caso especial de una sola partícula con función de onda , se puede escribir de una forma más específica y útil. En una dimensión: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {\psi (r-a)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\psi (r)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

Ahora lo hemos definido en términos de operadores de traducción. También es posible escribir un operador de traducción en función de . El método consiste en expresar una traducción dada como un gran número de pequeñas traducciones consecutivas y luego utilizar el hecho de que las traducciones infinitesimales se pueden escribir en términos de : ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)=1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}-{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{3}}{6\hbar ^{3}}}+\cdots }$

donde es el operador exponencial y el lado derecho es la expansión de la serie de Taylor . Para valores muy pequeños , se puede utilizar la aproximación: ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} /\hbar }$$

Por lo tanto, al operador de momento se le conoce como generador de traslación . ^[2]

Una buena forma de comprobar que estas relaciones son correctas es realizar una expansión de Taylor del operador de traducción que actúa sobre una función de onda en el espacio de posición. Al expandir la exponencial a todos los órdenes, el operador de traducción genera exactamente la expansión de Taylor completa de una función de prueba:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}}$$

analítica

Propiedades

Traducciones sucesivas

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$$

En otras palabras, si las partículas y los campos se mueven por cantidad y luego por cantidad , en general se han movido por cantidad . Para una prueba matemática, se puede observar lo que estos operadores le hacen a una partícula en un estado propio de posición: ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle }$$

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$

Inverso

Los operadores de traducción son reversibles y sus inversas son:

$${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$$

Esto se desprende de la propiedad de "traducciones sucesivas" anterior y del hecho de que , es decir, una traducción a una distancia de 0 es la misma que el operador de identidad que deja todos los estados sin cambios. ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} }}}$

Los operadores de traducción se desplazan entre sí

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y} )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$

^[1] ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$

Los operadores de traducción son unitarios.

Si y son dos funciones de onda en el espacio de posición, entonces el producto interno de con es: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )}$$

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )\psi }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )\phi }$

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} )\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$$

unitarios

$${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}.}$$

El hecho de que los operadores de traslación sean unitarios implica que el operador de momento es hermitiano . ^[1]

Operador de traducción operando en un sujetador

Un operador de traducción que opera sobre un sujetador en la posición propia da: ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

Prueba

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle }$$

Su expresión adjunta es:

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$$

Usando los resultados anteriores ,: ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(-\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$$

Reemplazando por , ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle -\mathbf {x} }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

Dividir una traducción en sus componentes

De acuerdo con la propiedad "traslaciones sucesivas" anterior, una traslación por el vector se puede escribir como el producto de traslaciones en las direcciones de los componentes: ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T}}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\hat {z}} )}$$

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$

Conmutador con operador de posición

Supongamos que es un vector propio del operador de posición con valor propio . Tenemos ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$

Por tanto, el conmutador entre un operador de traducción y el operador de posición es:

$${\displaystyle [\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$

$${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}}$$

operador de identidad ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

Conmutador con operador de impulso

Dado que todos los operadores de traducción conmutan entre sí (ver arriba), y dado que cada componente del operador de impulso es una suma de dos operadores de traducción escalados (p. ej. ), se deduce que todos los operadores de traducción conmutan con el operador de impulso, es decir ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {i\hbar }{\varepsilon }}\left({\hat {T}}((0,\varepsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)}$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$

El grupo de traducción.

El conjunto de operadores de traducción para todos , con la operación de multiplicación definida como el resultado de traslaciones sucesivas (es decir, composición de funciones ), satisface todos los axiomas de un grupo : ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Cierre

Cuando se realizan dos traducciones consecutivas, el resultado es una única traducción diferente. (Consulte la propiedad "traducciones sucesivas" más arriba).

Existencia de identidad

Una traslación por el vector es el operador identidad , es decir, el operador que no tiene efecto sobre nada. Funciona como elemento de identidad del grupo. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Cada elemento tiene una inversa.

Como se demostró anteriormente, cualquier operador de traducción es el inverso de la traducción inversa . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$

asociatividad

Ésta es la afirmación de que . Es cierto por definición, como es el caso de cualquier grupo basado en la composición de funciones . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})\right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})}$

Por tanto, el conjunto de operadores de traducción para todos forma un grupo . ^[3] Dado que hay un número continuamente infinito de elementos, el grupo de traducción es un grupo continuo. Además, los operadores de traducción conmutan entre sí, es decir, el producto de dos traducciones (una traducción seguida de otra) no depende de su orden. Por tanto, el grupo de traducción es un grupo abeliano . ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

El grupo de traducción que actúa sobre el espacio de Hilbert de estados propios de posición es isomorfo al grupo de sumas de vectores en el espacio euclidiano .

Valores esperados de posición e impulso en el estado trasladado.

Considere una sola partícula en una dimensión. A diferencia de la mecánica clásica , en la mecánica cuántica una partícula no tiene ni una posición bien definida ni un momento bien definido. En la formulación cuántica, los valores esperados ^[5] desempeñan el papel de las variables clásicas. Por ejemplo, si una partícula está en un estado , entonces el valor esperado de la posición es , donde está el operador de posición. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Si un operador de traducción actúa sobre el estado , creando un nuevo estado , entonces el valor esperado de la posición for es igual al valor esperado de la posición for más el vector . Este resultado es consistente con lo que se esperaría de una operación que desplaza la partícula en esa cantidad. ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Prueba de que un operador de traducción cambia el valor esperado de la posición de la forma esperada

Suponga lo indicado anteriormente. ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{2}|{\hat {\mathbf {r} }}|\psi _{2}\rangle &=(\langle \psi |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }){\hat {\mathbf {r} }}({\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle )\\&=\langle \psi |{\hat {\mathbf {r} }}|\psi \rangle +\mathbf {x} \end{aligned}}}$$

utilizando la condición de normalización y el resultado del conmutador probado en una sección anterior. ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$

Por otro lado, cuando el operador de traducción actúa sobre un estado, el valor esperado del impulso no cambia . Esto se puede demostrar de manera similar a lo anterior, pero utilizando el hecho de que los operadores de traducción conmutan con el operador de impulso. Este resultado vuelve a ser coherente con las expectativas: trasladar una partícula no cambia su velocidad ni su masa, por lo que su impulso no debería cambiar.

Invariancia traslacional

En mecánica cuántica, el hamiltoniano representa la energía y la dinámica de un sistema. Sea un estado recién traducido (el argumento de es irrelevante aquí y se elimina temporalmente por brevedad). Se dice que un hamiltoniano es invariante si ${\displaystyle |\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$$

$${\displaystyle {\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}={\hat {H}}}$$

$${\displaystyle {\hat {H}}{\hat {T}}-{\hat {T}}{\hat {H}}=[{\hat {H}},{\hat {T}}]=0}$$

Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante bajo traducción, el hamiltoniano conmuta con el operador de traducción (en términos generales, si traducimos el sistema, luego medimos su energía y luego lo traducimos de nuevo, equivale a simplemente medir su energía directamente) .

Simetría traslacional continua

Primero consideramos el caso donde todos los operadores de traducción son simetrías del sistema. Como veremos, en este caso se produce la conservación del momento .

Por ejemplo, si el hamiltoniano describe todas las partículas y campos del universo, y el operador de traslación desplaza todas las partículas y campos del universo simultáneamente en la misma cantidad, entonces esto siempre es una simetría: describe las leyes completas de la física en nuestro universo, que son independientes de su ubicación. En consecuencia, la conservación del momento es universalmente válida. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Por otro lado, quizás y se refiera a una sola partícula. Entonces los operadores de traslación son simetrías exactas sólo si la partícula está sola en el vacío. En consecuencia, el momento de una sola partícula generalmente no se conserva (cambia cuando la partícula choca con otros objetos), pero sí se conserva si la partícula está sola en el vacío. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

Dado que el hamiltoniano conmuta con el operador de traducción cuando la traducción es invariante

$${\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\end{aligned}}}$$

conservación del momentovalor esperadoteorema de Noether

Simetría traslacional discreta

Hay otro caso especial en el que el hamiltoniano puede ser invariante traslacionalmente. Este tipo de simetría traslacional se observa siempre que el potencial es periódico : ^[6]

$${\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})}$$

${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle }$$

$${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(x_{j}))^{\dagger }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}}$$

operador de identidad ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

Pero, siempre que coincida con el periodo del potencial , ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})}$$

${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

$${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}}$$

diagonalizar simultáneamente

Traslación discreta en potencial periódico: teorema de Bloch

Los iones de un cristal perfecto están dispuestos en una disposición periódica regular. Así que llegamos al problema de un electrón en un potencial con la periodicidad de la red de Bravais subyacente. ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=V(\mathbf {r} )}$$

${\displaystyle \mathbf {R} }$

Sin embargo, la periodicidad perfecta es una idealización. Los sólidos reales nunca son absolutamente puros y en la vecindad de los átomos de impureza el sólido no es el mismo que en otras partes del cristal. Además, los iones no son en realidad estacionarios, sino que sufren continuamente vibraciones térmicas alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estos destruyen la perfecta simetría traslacional de un cristal. Para abordar este tipo de problemas el problema principal se divide artificialmente en dos partes: (a) el cristal ideal ficticio perfecto, en el que el potencial es genuinamente periódico, y (b) los efectos sobre las propiedades de un hipotético cristal perfecto de todos desviaciones de la periodicidad perfecta, tratadas como pequeñas perturbaciones.

Aunque el problema de los electrones en un sólido es en principio un problema de muchos electrones, en la aproximación electrónica independiente cada electrón está sujeto a la ecuación de Schrödinger de un electrón con un potencial periódico y se conoce como electrón de Bloch ^[7] (en contraste con partículas libres , a las que los electrones de Bloch se reducen cuando el potencial periódico es idénticamente cero.)

Para cada vector de red de Bravais definimos un operador de traducción que, cuando opera sobre cualquier función, desplaza el argumento en : ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$$

conjunto de operadores de conmutación ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi }$$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi }$$

Los valores propios de los operadores de traducción están relacionados debido a la condición: ${\displaystyle c(\mathbf {R} )}$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi }$$

$${\displaystyle c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})}$$

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})}$

$${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$$

${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c(n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}}$$

reticulares recíprocos ${\displaystyle \mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}}$

Por lo tanto, se pueden elegir los estados propios simultáneos del hamiltoniano y de modo que para cada vector reticular de Bravais , ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r+R} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )}$

Este resultado se conoce como teorema de Bloch .

Evolución del tiempo e invariancia traslacional.

Invariancia traslacional: Evolución temporal de las funciones de onda.

En el panorama de la transformación pasiva, la invariancia traslacional requiere,

$${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0}$$

$${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0}$$

^[8]independiente del tiempo ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)}$$

${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$

Ejemplo

Supongamos que dos observadores A y B preparan sistemas idénticos en y (fig. 1), respectivamente. Si es el vector de estado del sistema preparado por A, entonces el vector de estado del sistema preparado por B estará dado por ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=0}$

Ver también

• Estado de Bloch
• Grupo
• función periódica
• operador de turno
• Simetrías en mecánica cuántica
• Simetría de traducción del tiempo
• Simetría traslacional

Referencias

1. Notas de conferencias de Robert Littlejohn
2. Mulders, PJ "Mecánica cuántica avanzada" (PDF) . Vrije Universiteit Ámsterdam . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
3. Página-816, Capítulo 17, Métodos matemáticos para físicos, séptima edición, por Arfken, Weber y Harris
4. Página 47, Capítulo 1, Mecánica cuántica moderna , segunda edición, JJ Sakurai, Jim J. Napolitano
5. P. 127, Sección 4.2, R. Shankar, Principios de la mecánica cuántica
6. Capítulo 8, Física del estado sólido por Neil W. Ashcroft y N. David Mermin
7. P-133, Capítulo 8, Física del estado sólido por Neil W. Ashcroft y N. David Mermin
8. P.308, Capítulo 3, Volumen 1, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë