Transporte de estructura

Propiedad del isomorfismo estructural

En matemáticas , particularmente en álgebra universal y teoría de categorías , el transporte de estructura se refiere al proceso mediante el cual un objeto matemático adquiere una nueva estructura y sus definiciones canónicas , como resultado de ser isomorfo a (o identificado de otra manera con) otro objeto con una estructura preexistente. ^[1] Las definiciones por transporte de estructura se consideran canónicas.

Dado que las estructuras matemáticas suelen definirse en referencia a un espacio subyacente , muchos ejemplos de transporte de estructura implican espacios y aplicaciones entre ellos. Por ejemplo, si y son espacios vectoriales con siendo un producto interno en , de modo que existe un isomorfismo de a , entonces se puede definir un producto interno en mediante la siguiente regla: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

Aunque la ecuación tiene sentido incluso cuando no es un isomorfismo, sólo define un producto interno en cuando es , ya que de lo contrario provocaría que sea degenerada . La idea es que permite considerar y como "el mismo" espacio vectorial, y siguiendo esta analogía, se puede transportar un producto interno de un espacio al otro. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Un ejemplo más elaborado proviene de la topología diferencial , en la que está involucrada la noción de variedad suave : si es una variedad de este tipo, y si es cualquier espacio topológico que es homeomorfo a , entonces también se puede considerar como una variedad suave. Es decir, dado un homeomorfismo , se pueden definir gráficos de coordenadas en "retirando" los gráficos de coordenadas en hasta . Recordemos que un gráfico de coordenadas en es un conjunto abierto junto con una función inyectiva ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

Para algún número natural , para obtener dicha tabla , se utilizan las siguientes reglas: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$y . ${\displaystyle c'=c\circ \phi }$

Además, se requiere que las cartas cubran (el hecho de que las cartas transportadas cubran se sigue inmediatamente del hecho de que es una biyección ). Como es una variedad suave , si U y V , con sus mapas y , son dos cartas en , entonces la composición, el "mapa de transición" ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$(un automapa de ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

es suave. Para verificar esto para los gráficos transportados en , observe que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$,

y por lo tanto

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$, y

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

Por lo tanto, el mapa de transición para y es el mismo que el de y , por lo tanto, es uniforme. Es decir, es una variedad uniforme mediante el transporte de estructura. Este es un caso especial de transporte de estructuras en general. ^[2] ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

El segundo ejemplo también ilustra por qué el "transporte de estructura" no siempre es deseable. Es decir, se puede tomar como el plano y como un cono infinito de un solo lado. Al "aplanar" el cono, se puede obtener un homeomorfismo de y y, por lo tanto, la estructura de una variedad lisa en , pero el cono no es "naturalmente" una variedad lisa. Es decir, se puede considerar como un subespacio del 3-espacio, en cuyo contexto no es liso en el punto del cono. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo más sorprendente es el de las esferas exóticas , descubiertas por Milnor , que afirma que hay exactamente 28 variedades lisas que son homeomorfas pero no difeomorfas a la esfera de 7 dimensiones en el espacio de 8. Por lo tanto, el transporte de estructura es más productivo cuando existe un isomorfismo canónico entre los dos objetos. ${\displaystyle S^{7}}$

Véase también

• Lista de jerga matemática
• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas#Transporte de estructuras; isomorfismo

Referencias

1. Holm, Henrik (2015). "Una nota sobre el transporte de estructuras algebraicas" (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 30 (34): 1121–1131. arXiv : 1504.07366 .
2. Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de matemáticas: teoría de conjuntos , Hermann (original), Addison-Wesley (traducción), Capítulo IV, Sección 5 “Isomorfismo y transporte de estructuras”.