Conjugado convexo

Generalización de la transformación de Legendre

En matemáticas y optimización matemática , el conjugado convexo de una función es una generalización de la transformación de Legendre que se aplica a funciones no convexas. También se conoce como transformación de Legendre-Fenchel , transformación de Fenchel o conjugado de Fenchel (en honor a Adrien-Marie Legendre y Werner Fenchel ). El conjugado convexo se utiliza ampliamente para construir el problema dual en la teoría de optimización , generalizando así la dualidad lagrangiana .

Definición

Sea un espacio vectorial topológico real y sea el espacio dual a . Denote por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R} }$

El emparejamiento dual canónico , que se define por ${\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle \mapsto x^{*}(x).}$

Para una función que toma valores en la línea de números reales extendida , su conjugado convexo es la función ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$

${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$

cuyo valor en se define como el supremo : ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)~\colon ~x\in X\right\},}$

o, equivalentemente, en términos del ínfimo :

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=-\inf \left\{f(x)-\left\langle x^{*},x\right\rangle ~\colon ~x\in X\right\}.}$

Esta definición puede interpretarse como una codificación de la envoltura convexa del epígrafe de la función en términos de sus hiperplanos de soporte . ^[1]

Ejemplos

Para más ejemplos, véase § Tabla de conjugados convexos seleccionados.

• El conjugado convexo de una función afín es ${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b}$ $${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}$$
• El conjugado convexo de una función potencia es ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1<p<\infty }$ $${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1<q<\infty ,{\text{where}}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$$
• El conjugado convexo de la función de valor absoluto es ${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$ $${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}$$
• El conjugado convexo de la función exponencial es ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ $${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}}$$

El conjugado convexo y la transformada de Legendre de la función exponencial concuerdan excepto que el dominio del conjugado convexo es estrictamente más grande ya que la transformada de Legendre solo está definida para números reales positivos.

Relación con el déficit esperado (valor medio en riesgo)

Vea este artículo como ejemplo.

Sea F una función de distribución acumulativa de una variable aleatoria  X . Entonces (integrando por partes), tiene el conjugado convexo $${\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,x-X)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}$$ $${\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}$$

Realizar pedidos

Una interpretación particular es la de la transformada , ya que ésta es un reordenamiento no decreciente de la función inicial f ; en particular, para f no decreciente. $${\displaystyle f^{\text{inc}}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{t-f(u),0\}\,du,}$$ ${\displaystyle f^{\text{inc}}=f}$

Propiedades

El conjugado convexo de una función convexa cerrada es a su vez una función convexa cerrada. El conjugado convexo de una función convexa poliédrica (una función convexa con epígrafe poliédrico ) es a su vez una función convexa poliédrica.

Orden de reversión

Declare que si y solo si para todos Entonces la conjugación convexa es de orden inverso , lo que por definición significa que si entonces ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f^{*}\geq g^{*}.}$

Para una familia de funciones se deduce del hecho de que los supremos pueden intercambiarse que ${\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}),}$

y de la desigualdad máxima-mínima que

${\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}).}$

Biconjugado

El conjugado convexo de una función es siempre semicontinuo inferior . El biconjugado (el conjugado convexo del conjugado convexo) es también la envoltura convexa cerrada , es decir, la función convexa semicontinua inferior más grande con Para funciones propias ${\displaystyle f^{**}}$ ${\displaystyle f^{**}\leq f.}$ ${\displaystyle f,}$

${\displaystyle f=f^{**}}$ si y sólo si es convexo y semicontinuo inferior, por el teorema de Fenchel-Moreau . ${\displaystyle f}$

Desigualdad de Fenchel

Para cualquier función f y su conjugado convexo f * , la desigualdad de Fenchel (también conocida como desigualdad de Fenchel-Young ) se cumple para cada y : ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\in X^{*}}$

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p).}$

Además, la igualdad se cumple únicamente cuando . La prueba se desprende de la definición de conjugado convexo: ${\displaystyle p\in \partial f(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde {x}}\left\{\langle p,{\tilde {x}}\rangle -f({\tilde {x}})\right\}\geq \langle p,x\rangle -f(x).}$

Convexidad

Para dos funciones y y un número la relación de convexidad ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{*}\leq (1-\lambda )f_{0}^{*}+\lambda f_{1}^{*}}$

se cumple. La operación es en sí misma una aplicación convexa. ${\displaystyle {*}}$

Convolución infimal

La convolución infimal (o episuma) de dos funciones se define como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left(f\operatorname {\Box } g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

Sean funciones propias, convexas y semicontinuas inferiores en Entonces la convolución infimal es convexa y semicontinua inferior (pero no necesariamente propia), [ ^2] y satisface ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}$

La convolución infimal de dos funciones tiene una interpretación geométrica: el epígrafe (estricto) de la convolución infimal de dos funciones es la suma de Minkowski de los epígrafes (estrictos) de esas funciones. ^[3]

Maximizar el argumento

Si la función es diferenciable, entonces su derivada es el argumento maximizador en el cálculo del conjugado convexo: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{*}}{\langle x,x^{*}\rangle }-f^{*}\left(x^{*}\right)}$y

${\displaystyle f^{{*}\prime }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\rangle }-f(x);}$

por eso

${\displaystyle x=\nabla f^{*}\left(\nabla f(x)\right),}$

${\displaystyle x^{*}=\nabla f\left(\nabla f^{*}\left(x^{*}\right)\right),}$

Y además

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}(x)\right)=1,}$

${\displaystyle f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}\right)\cdot f^{\prime \prime }\left(x(x^{*})\right)=1.}$

Propiedades de escala

Si para algunos , entonces ${\displaystyle \gamma >0,}$ ${\displaystyle g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f\left(\lambda x+\delta \right)}$

${\displaystyle g^{*}\left(x^{*}\right)=-\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}$

Comportamiento bajo transformaciones lineales

Sea un operador lineal acotado . Para cualquier función convexa en ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \left(Af\right)^{*}=f^{*}A^{*}}$

dónde

${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}}$

es la preimagen de con respecto a y es el operador adjunto de ^[4] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A.}$

Una función convexa cerrada es simétrica con respecto a un conjunto dado de transformaciones lineales ortogonales , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$Para todos y todas ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\in G}$

si y sólo si su conjugado convexo es simétrico con respecto a ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle G.}$

Tabla de conjugados convexos seleccionados

La siguiente tabla proporciona transformadas de Legendre para muchas funciones comunes, así como algunas propiedades útiles. ^[5]

Véase también

• Problema dual
• Teorema de dualidad de Fenchel
• Transformación de Legendre
• Desigualdad de Young para productos

Referencias

1. "Legendre Transform" . Consultado el 14 de abril de 2019 .
2. Phelps, Robert (1993). Funciones convexas, operadores monótonos y diferenciabilidad (2.ª ed.). Springer. pág. 42. ISBN 0-387-56715-1.
3. Bauschke, Heinz H.; Goebel, Rafal; Lucet, Yves; Wang, Xianfu (2008). "El promedio proximal: teoría básica". Revista SIAM sobre optimización . 19 (2): 766. CiteSeerX 10.1.1.546.4270 . doi :10.1137/070687542. 
4. Ioffe, AD y Tichomirov, VM (1979), Theorie der Extremalaufgaben . Deutscher Verlag der Wissenschaften . Satz 3.4.3
5. Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2.ª ed.). Springer. pp. 50–51. ISBN 978-0-387-29570-1.

• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-96890-3.Sr .  0997295.
• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313.OCLC 883392544  .
• Rockafellar, R. Tyrell (1970). Análisis convexo . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.Sr. 0274683  .

Lectura adicional

• Touchette, Hugo (16 de octubre de 2014). «Legendre-Fenchel se transforma en pocas palabras» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de abril de 2017. Consultado el 9 de enero de 2017 .

• Touchette, Hugo (2006-11-21). «Elementos de análisis convexo» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2015-05-26 . Consultado el 2008-03-26 .

• "Explicación paso a paso de las transformaciones de Legendre y Legendre-Fenchel" . Consultado el 18 de mayo de 2013 .

• Ellerman, David Patterson (21 de marzo de 1995). "Capítulo 12: Adición paralela, dualidad serie-paralelo y matemáticas financieras". La intrusión intelectual como forma de vida: ensayos sobre filosofía, economía y matemáticas (PDF) . La filosofía mundana: estudios en la intersección de la filosofía y la economía. Rowman & Littlefield Publishers, Inc., págs. 237-268. ISBN 0-8476-7932-2. Archivado (PDF) del original el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 9 de agosto de 2019 . Serie G - Serie de referencia, información y temas interdisciplinarios[1] (271 páginas)

• Ellerman, David Patterson (mayo de 2004) [21 de marzo de 1995]. "Introducción a la dualidad serie-paralelo" (PDF) . Universidad de California en Riverside . CiteSeerX  10.1.1.90.3666 . Archivado desde el original el 10 de agosto de 2019 . Consultado el 9 de agosto de 2019 .[2] (24 páginas)