Función convexa propia

En el análisis matemático , en particular en los subcampos del análisis convexo y la optimización , una función convexa propia es una función convexa extendida de valor real con un dominio no vacío , que nunca toma el valor y tampoco es idénticamente igual a ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty .}$

En el análisis convexo y el análisis variacional , se busca típicamente un punto (en el dominio) en el que se minimiza una función dada , donde tiene un valor en la recta de números reales extendida ^[1] Tal punto, si existe, se llama punto mínimo global de la función y su valor en este punto se llama mínimo global ( valor ) de la función. Si la función toma como valor, entonces es necesariamente el valor mínimo global y se puede responder al problema de minimización; esta es, en última instancia, la razón por la que la definición de " propio " requiere que la función nunca tome como valor. Suponiendo esto, si el dominio de la función está vacío o si la función es idénticamente igual a entonces el problema de minimización tiene una vez más una respuesta inmediata. Las funciones de valor real extendidas para las cuales el problema de minimización no se resuelve mediante ninguno de estos tres casos triviales son exactamente aquellas que se llaman propias . Muchos resultados (aunque no todos) cuyas hipótesis requieren que la función sea propia agregan este requisito específicamente para excluir estos casos triviales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Si, en cambio, el problema es un problema de maximización (lo que se indicaría claramente, por ejemplo, si la función fuera cóncava en lugar de convexa), entonces la definición de " propia " se define de manera análoga (aunque técnicamente diferente) pero con el mismo objetivo: excluir los casos en los que el problema de maximización se pueda resolver de inmediato. En concreto, una función cóncava se denomina propia si su negación , que es una función convexa, es propia en el sentido definido anteriormente. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle -g,}$

Definiciones

Supongamos que es una función que toma valores en la recta de números reales extendida. Si es una función convexa o si se busca un punto mínimo de , entonces se llama propia si ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)>-\infty }$     Para cada uno ${\displaystyle x\in X}$

y si también existe algún punto tal que ${\displaystyle x_{0}\in X}$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty .}$

Es decir, una función es propia si nunca alcanza el valor y su dominio efectivo no está vacío. ^[2] Esto significa que existe algún dominio en el que y tampoco es nunca igual a Las funciones convexas que no son propias se denominan funciones convexas impropias . ^[3] ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Una función propia cóncava es, por definición, cualquier función que sea una función propia convexa. Explícitamente, si es una función cóncava o si se busca un punto máximo de , entonces se llama propia si su dominio no está vacío, nunca toma el valor y no es idénticamente igual a ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f:=-g}$ ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Propiedades

Para cada función convexa propia existen algunas y tales que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}$

Para cada uno ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

La suma de dos funciones convexas propias es convexa, pero no necesariamente propia. ^[4] Por ejemplo, si los conjuntos y son conjuntos convexos no vacíos en el espacio vectorial , entonces las funciones características y son funciones convexas propias, pero si entonces es idénticamente igual a ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle I_{B}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ ${\displaystyle +\infty .}$

La convolución infimal de dos funciones convexas propias es convexa pero no necesariamente convexa propia. ^[5]

Véase también

• Dominio efectivo

Citas

1. Rockafellar y Wets 2009, págs. 1–28.
2. Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer. pág. 254. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
3. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. pág. 24. ISBN 978-0-691-01586-6.
4. Boyd, Stephen (2004). Optimización convexa . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pág. 79. ISBN 978-0-521-83378-3.
5. Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Teoría de problemas extremos, Estudios de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 6, Holanda Septentrional, pág. 168, ISBN 9780080875279.

Referencias

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313.OCLC 883392544  .