Técnica de análisis de Fourier aplicada a secuencias.
En matemáticas , la transformada de Fourier en tiempo discreto ( DTFT ) es una forma de análisis de Fourier que es aplicable a una secuencia de valores discretos.
El DTFT se utiliza a menudo para analizar muestras de una función continua. El término tiempo discreto se refiere al hecho de que la transformada opera con datos discretos, a menudo muestras cuyo intervalo tiene unidades de tiempo. A partir de muestras uniformemente espaciadas, produce una función de frecuencia que es una suma periódica de la transformada continua de Fourier de la función continua original. Bajo ciertas condiciones teóricas, descritas por el teorema de muestreo , la función continua original se puede recuperar perfectamente a partir de la DTFT y, por tanto, de las muestras discretas originales. La DTFT en sí es una función continua de la frecuencia, pero sus muestras discretas se pueden calcular fácilmente mediante la transformada discreta de Fourier (DFT) (ver § Muestreo de la DTFT), que es, con diferencia, el método más común del análisis de Fourier moderno.
Ambas transformadas son invertibles. La DTFT inversa es la secuencia de datos muestreada original. La DFT inversa es una suma periódica de la secuencia original. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular un ciclo de la DFT, y su inversa produce un ciclo de la DFT inversa.
que es una serie de Fourier en frecuencia, con periodicidad. El subíndice la distingue de la forma de frecuencia angular de la DTFT. Es decir, cuando la variable frecuencia tiene unidades normalizadas de radianes/muestra , la periodicidad es y la serie de Fourier es : [1] : p.147
La utilidad de la DTFT tiene sus raíces en la fórmula de suma de Poisson , que nos dice que la función periódica representada por la serie de Fourier es una suma periódica de la transformada de Fourier : [a] [A]
Suma de Poisson
El número entero tiene unidades de ciclos/muestra y es la frecuencia de muestreo ( muestras/seg ). Por lo tanto, comprende copias exactas que se desplazan en múltiplos de hercios y se combinan mediante suma. Para un término suficientemente grande, se puede observar en la región con poca o ninguna distorsión ( aliasing ) de los otros términos. La figura 1 muestra un ejemplo en el que no es lo suficientemente grande como para evitar el alias.
También observamos que es la transformada de Fourier de Por lo tanto, una definición alternativa de DTFT es : [B]
La función de peine de Dirac modulada es una abstracción matemática a la que a veces se hace referencia como muestreo por impulso . [3]
transformada inversa
Una operación que recupera la secuencia de datos discretos de la función DTFT se llama DTFT inversa . Por ejemplo, la transformada continua inversa de Fourier de ambos lados de la ecuación 3 produce la secuencia en forma de función de peine de Dirac modulada :
Sin embargo, teniendo en cuenta que es periódico, toda la información necesaria está contenida dentro de cualquier intervalo de longitud. Tanto en la ecuación 1 como en la ecuación 2 , las sumas son una serie de Fourier , con coeficientes. Las fórmulas estándar para los coeficientes de Fourier también son las transformadas inversas. :
Datos periódicos
Cuando la secuencia de datos de entrada es periódica, la ecuación 2 se puede reducir computacionalmente a una transformada discreta de Fourier (DFT), porque :
Toda la información disponible está contenida en muestras.
converge a cero en todas partes excepto en múltiplos enteros de frecuencias conocidas como armónicas . En esas frecuencias, la DTFT diverge a diferentes velocidades dependientes de la frecuencia. Y esas tasas están dadas por la DFT de un ciclo de la secuencia.
La DTFT es periódica, por lo que el número máximo de amplitudes armónicas únicas es
La DFT de un ciclo de la secuencia es :
Y se puede expresar en términos de la transformada inversa :
Debido a la periodicidad de ambas funciones, esto se puede simplificar a :
que satisface el requisito de transformación inversa :
Muestreo del DTFT
Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras de un ciclo de la función periódica : [1] : págs. 557–559 y 703
La secuencia es la DFT inversa. Por tanto, nuestro muestreo de la DTFT hace que la transformada inversa se vuelva periódica. La matriz de valores se conoce como periodograma y el parámetro se llama NFFT en la función de Matlab del mismo nombre. [4]
Para evaluar un ciclo numéricamente, necesitamos una secuencia de longitud finita. Por ejemplo, una secuencia larga podría truncarse mediante una función de ventana de longitud, lo que daría como resultado tres casos dignos de mención especial. Para simplificar la notación, considere los valores siguientes para representar los valores modificados por la función de ventana.
Caso: Diezmación de frecuencia. para algún número entero (normalmente 6 u 8)
Un ciclo de se reduce a una suma de segmentos de longitud. La DFT recibe varios nombres, como por ejemplo :
ventanas de bloques múltiples y alias de tiempo . [13]
Recuerde que la destrucción de datos muestreados en un dominio (tiempo o frecuencia) produce superposición (a veces conocida como aliasing ) en el otro, y viceversa. En comparación con una DFT de longitud, la suma/superposición causa una disminución en la frecuencia, [1] : p.558 dejando solo las muestras DTFT menos afectadas por la fuga espectral . Esta suele ser una prioridad al implementar un banco de filtros FFT (canalizador). Con una función de ventana convencional, la pérdida de festoneado de longitud sería inaceptable. Por lo tanto, las ventanas de bloques múltiples se crean utilizando herramientas de diseño de filtros FIR . [14] [15] Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y cae rápidamente en el punto medio entre las muestras DTFT restantes. Cuanto mayor sea el valor del parámetro , mejor será el rendimiento potencial.
Caso:
Cuando una función de ventana simétrica de longitud ( ) se trunca en 1 coeficiente, se denomina periódica o DFT par . Esta es una práctica común, pero el truncamiento afecta ligeramente la DTFT (fuga espectral). Es al menos de interés académico caracterizar ese efecto. Una DFT de longitud de la ventana truncada produce muestras de frecuencia a intervalos de en lugar de Las muestras tienen valores reales, [16] : p.52 pero sus valores no coinciden exactamente con la DTFT de la ventana simétrica. La suma periódica, junto con una DFT de longitud, también se puede utilizar para muestrear la DTFT a intervalos de Esas muestras también tienen valores reales y coinciden exactamente con la DTFT (ejemplo: Archivo:Muestreo de la transformada de Fourier en tiempo discreto.svg ). . Para utilizar la ventana simétrica completa para el análisis espectral en el espaciado, se combinarían las muestras de datos y (por suma, porque la ventana simétrica las pondera por igual) y luego aplicaría la ventana simétrica truncada y la DFT de longitud.
Caso: Interpolación de frecuencia.
En este caso, la DFT se simplifica a una forma más familiar :
Para aprovechar un algoritmo de transformada rápida de Fourier para calcular la DFT, la suma generalmente se realiza sobre todos los términos, incluso aunque algunos de ellos sean ceros. Por lo tanto, el caso a menudo se denomina relleno con ceros .
La fuga espectral, que aumenta a medida que disminuye, es perjudicial para ciertas métricas de rendimiento importantes, como la resolución de múltiples componentes de frecuencia y la cantidad de ruido medida por cada muestra DTFT. Pero esas cosas no siempre importan, por ejemplo cuando la secuencia es una sinusoide silenciosa (o una constante), formada por una función de ventana. Entonces es una práctica común utilizar relleno con ceros para mostrar gráficamente y comparar los patrones de fuga detallados de las funciones de ventana. Para ilustrar eso para una ventana rectangular, considere la secuencia:
y
Las Figuras 2 y 3 son gráficos de la magnitud de dos DFT de diferentes tamaños, como se indica en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante está en la frecuencia de la señal: . También es visible en la Fig. 2 el patrón de fuga espectral de la ventana rectangular. La ilusión de la Fig. 3 es el resultado de muestrear la DTFT justo en sus cruces por cero. En lugar de la DTFT de una secuencia de longitud finita, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular y la elección de una frecuencia (1/8 = 8/64) con exactamente 8 ciclos (un número entero) por 64 muestras. Una ventana de Hann produciría un resultado similar, excepto que el pico se ampliaría a 3 muestras (consulte DFT-ventana de Hann par).
Un caso especial importante es la convolución circular de secuencias xey definidas por donde es una suma periódica. La naturaleza de frecuencia discreta de significa que el producto con la función continua también es discreto, lo que resulta en una simplificación considerable de la transformada inversa :
[18] [1] : p.548
Para secuencias xey cuya duración distinta de cero es menor o igual a N , una simplificación final es :
Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : [17] : p.291
De esto se desprenden varias relaciones, por ejemplo :
La transformada de una función de valor real es la función simétrica par. Por el contrario, una transformada simétrica par implica un dominio del tiempo de valor real.
La transformada de una función de valor imaginario es la función simétrica impar y lo contrario es cierto.
La transformada de una función simétrica par es la función de valor real y lo contrario es cierto.
La transformada de una función simétrica impar es la función de valor imaginario y lo contrario es cierto.
donde la notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier. Por lo tanto, también podemos expresar una parte de la transformada Z en términos de la transformada de Fourier :
Tenga en cuenta que cuando el parámetro T cambia, los términos de permanecen a una separación constante y su ancho aumenta o disminuye. Los términos de X 1/ T ( f ) mantienen un ancho constante y su separación 1/ T aumenta o disminuye.
Tabla de transformadas de Fourier en tiempo discreto
En la siguiente tabla se muestran algunos pares de transformadas comunes. Se aplica la siguiente notación :
es un número real que representa la frecuencia angular continua (en radianes por muestra). ( está en ciclos/seg y en segundos/muestra). En todos los casos de la tabla, la DTFT es 2π-periódica (en ).
designa una función definida en .
designa una función definida en y cero en otros lugares. Entonces:
^ Cuando la dependencia de T no es importante, una práctica común es reemplazarla con Entonces f tiene unidades de ( ciclos/muestra ), llamada frecuencia normalizada .
^ De hecho, la ecuación 2 a menudo se justifica de la siguiente manera : [1] : p.143
^ Esta expresión se deriva de la siguiente manera: [1] : p.168
Citas de página
^ Oppenheim y Schafer, [1] p 147 (4.20), p 694 (10.1), y Prandoni y Vetterli, [2] p 255, (9.33), donde: por lo tanto También y
^ Oppenheim y Schafer, [1] p 551 (8.35), y Prandoni y Vetterli, [2] p 82, (4.43). Con definiciones : y esta expresión difiere de las referencias por un factor de porque la perdieron al pasar del 3er paso al 4to. Específicamente, la DTFT de en § Tabla de transformadas de Fourier en tiempo discreto tiene un factor que las referencias omitieron.
^ Oppenheim y Schafer, [1] p 60, (2.169), y Prandoni y Vetterli, [2] p 122, (5.21)
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