Transformación de onda esférica

Transformación matemática

Las transformaciones de ondas esféricas dejan invariantes la forma de ondas esféricas , así como las leyes de la óptica y la electrodinámica, en todos los sistemas inerciales . Fueron definidos entre 1908 y 1909 por Harry Bateman y Ebenezer Cunningham , y Bateman dio nombre a la transformación. ^{[M 1]} Corresponden al grupo conforme de "transformaciones por radios recíprocos" en relación con el marco de la geometría de esferas de Lie , que ya eran conocidos en el siglo XIX. El tiempo se utiliza como cuarta dimensión como en el espacio de Minkowski , por lo que las transformaciones de ondas esféricas están conectadas a la transformación de Lorentz de la relatividad especial , y resulta que el grupo conforme del espaciotiempo incluye al grupo de Lorentz y al grupo de Poincaré como subgrupos. Sin embargo, sólo los grupos de Lorentz/Poincaré representan simetrías de todas las leyes de la naturaleza, incluida la mecánica, mientras que el grupo conforme está relacionado con ciertas áreas como la electrodinámica. ^{[1] [2] [3]} Además, se puede demostrar que el grupo conforme del plano (correspondiente al grupo de Möbius del plano complejo extendido ) es isomorfo al grupo de Lorentz. ^[4]

Un caso especial de la geometría de la esfera de Lie es la transformación por direcciones recíprocas o inversión de Laguerre, siendo generador del grupo de Laguerre. Transforma no sólo esferas en esferas sino también planos en planos. ^{[5] [6] [7] Si se utiliza el tiempo como cuarta dimensión, varios autores como Bateman,} Cartan o Poincaré señalaron una estrecha analogía con la transformación de Lorentz, así como un isomorfismo con el grupo de Lorentz . ^{[M2] [8] [M3] [9] [10] [11] [12] [13]}

Transformación por radios recíprocos

Desarrollo en el siglo XIX.

Las inversiones que preservan los ángulos entre círculos fueron discutidas por primera vez por Durrande (1820), y Quetelet (1827) y Plücker (1828) escribieron la fórmula de transformación correspondiente, siendo el radio de inversión: ^[14] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$.

Estas inversiones se denominaron más tarde "transformaciones por radios recíprocos" y se hicieron más conocidas cuando Thomson (1845, 1847) las aplicó a esferas con coordenadas durante el desarrollo del método de inversión en electrostática . ^[15] Joseph Liouville (1847) demostró su significado matemático demostrando que pertenece a las transformaciones conformes que producen la siguiente forma cuadrática : ^{[M 4]} ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)}$.

El propio Liouville ^{[M 5]} y más extensamente Sophus Lie (1871) ^{[M 6]} demostraron que el grupo conforme relacionado puede diferenciarse ( teorema de Liouville ): por ejemplo, incluye el grupo euclidiano de movimientos ordinarios; transformaciones de escala o similitud en las que se multiplican las coordenadas de las transformaciones anteriores por ; y da la transformación de Thomson por radios recíprocos (inversiones): ^{[M 5]} ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

Posteriormente, el teorema de Liouville fue extendido a dimensiones por Lie (1871) ^{[M 6]} y otros como Darboux (1878): ^{[M 7]} ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)}$.

Este grupo de transformaciones conformes por radios recíprocos preserva los ángulos y transforma esferas en esferas o hiperesferas (ver transformación de Möbius , simetría conforme , transformación conforme especial ). Es un grupo de 6 parámetros en el plano R ² que corresponde al grupo de Möbius del plano complejo extendido , ^{[16] [4]} un grupo de 10 parámetros en el espacio R ³ y un grupo de 15 parámetros en R ⁴ . En R ² representa sólo un pequeño subconjunto de todas las transformaciones conformes allí, mientras que en R ²⁺ⁿ es idéntico al grupo de todas las transformaciones conformes (correspondientes a las transformaciones de Möbius en dimensiones superiores), de acuerdo con el teorema de Liouville. ^[16] Las transformaciones conformes en R ³ se aplicaron a menudo a lo que Darboux (1873) llamó "coordenadas pentasféricas" relacionando los puntos con coordenadas homogéneas basadas en cinco esferas. ^{[17] [18]}

Esferas orientadas

Otro método para resolver este tipo de problemas de esferas era escribir las coordenadas junto con el radio de la esfera. ^[19] Esto fue empleado por Lie (1871) en el contexto de la geometría de esferas de Lie , que representa un marco general de transformaciones de esferas (siendo un caso especial de transformaciones de contacto ) conservando líneas de curvatura y transformando esferas en esferas. ^{[M 8]} El grupo de 10 parámetros mencionado anteriormente en R ³ relacionado con coordenadas pentasféricas se extiende al grupo de 15 parámetros de transformaciones de esfera de Lie relacionadas con "coordenadas hexasféricas" (nombradas por Klein en 1893) agregando una sexta coordenada homogénea relacionada al radio. ^{[M 9] [17] [20]} Dado que el radio de una esfera puede tener signo positivo o negativo, una esfera siempre corresponde a dos esferas transformadas. Es ventajoso eliminar esta ambigüedad atribuyendo un signo definido al radio, dando en consecuencia a las esferas también una orientación definida, de modo que una esfera orientada corresponda a una esfera orientada transformada. ^[21] Este método fue ocasional e implícitamente empleado por el propio Lie (1871) ^{[M 6]} e introducido explícitamente por Laguerre (1880). ^{[M 10]} Además, Darboux (1887) llevó las transformaciones por radios recíprocos a una forma mediante la cual se puede determinar el radio r de una esfera si se conoce el radio de la otra: ^{[M 11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}}$

El uso de coordenadas junto con el radio a menudo estaba relacionado con un método llamado "proyección mínima" por Klein (1893), ^{[M 12]} que más tarde fue llamado "proyección isotrópica" por Blaschke (1926) enfatizando la relación con círculos y esferas orientadas. ^[22] Por ejemplo, un círculo con coordenadas rectangulares y radio en R ² corresponde a un punto en R ³ con coordenadas . Este método se conoce desde hace algún tiempo en geometría circular (aunque sin utilizar el concepto de orientación) y puede diferenciarse aún más dependiendo de si la coordenada adicional se trata como imaginaria o real: fue utilizado por Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867) y Darboux (1872); ^{[M 13]} fue utilizado por Cousinery (1826), Druckenmüller (1842) y en la "ciclografía" de Fiedler (1882), por lo que este último método también se llamó "proyección ciclográfica"; véase E. Müller (1910) para una resumen. ^[23] Este método también fue aplicado a las esferas ^{[M 14]} por Darboux (1872), ^{[M 15]} Lie (1871), ^{[M 6]} o Klein (1893). ^{[M 12]} Sean y las coordenadas centrales y los radios de dos esferas en el espacio tridimensional R ³ . Si las esferas se tocan entre sí con la misma orientación, su ecuación está dada ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle z=ir}$ ${\displaystyle z=r}$ ${\displaystyle x,y,z,r}$ ${\displaystyle x',y',z',r'}$

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0}$.

En configuración , estas coordenadas corresponden a coordenadas rectangulares en el espacio de cuatro dimensiones R ⁴ : ^{[M 15] [M 12]} ${\displaystyle t=ir}$

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0}$.

En general, Lie (1871) demostró que las transformaciones puntuales conformes en R ⁿ (compuestas por movimientos, similitudes y transformaciones por radios recíprocos) corresponden en R ^n-1 a aquellas transformaciones de esfera que son transformaciones de contacto . ^{[M 16] [24]} Klein (1893) señaló que al utilizar una proyección mínima en coordenadas hexasféricas, las transformaciones de esfera de Lie de 15 parámetros en R ³ son simplemente las proyecciones de las transformaciones de puntos conformes de 15 parámetros en R ⁴ , mientras que las Los puntos en R ⁴ pueden verse como la proyección estereográfica de los puntos de una esfera en R ⁵ . ^{[M 9] [25]}

Relación con la electrodinámica

Harry Bateman y Ebenezer Cunningham (1909) ^{[M 1]} demostraron que las ecuaciones electromagnéticas no sólo son invariantes de Lorentz, sino también invariantes de escala y conformes. ^[26] Son invariantes bajo el grupo de 15 parámetros de transformaciones conformes (transformaciones por radios recíprocos) en R ⁴ produciendo la relación ${\displaystyle G_{15}}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)}$,

donde incluye como componente del tiempo y como la velocidad de la luz . Bateman (1909) también notó la equivalencia con las transformaciones de esfera de Lie mencionadas anteriormente en R ³ , porque el radio utilizado en ellas puede interpretarse como el radio de una onda esférica que se contrae o expande , por lo que las llamó "transformaciones de ondas esféricas". ^{[M 17]} Él escribió: ^{[M 18]} ${\displaystyle u=ict}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle c}$

Cuando usamos la representación de Darboux de un punto en por una onda esférica en , el grupo se convierte en el grupo de transformaciones de ondas esféricas que transforman una onda esférica en una onda esférica. Este grupo de transformaciones ha sido discutido por S. Lie; es el grupo de transformaciones que transforman líneas de curvatura en una superficie envuelta por ondas esféricas en líneas de curvatura en la superficie envuelta por las correspondientes ondas esféricas. ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle G_{15}}$

Dependiendo de ellos se pueden diferenciar en subgrupos: ^[27] ${\displaystyle \lambda }$

(a) corresponden a mapeos que transforman no sólo esferas en esferas sino también planos en planos. Estas se denominan transformaciones/inversiones de Laguerre que forman el grupo de Laguerre, que en física corresponden a las transformaciones de Lorentz que forman el grupo de Lorentz de 6 parámetros o el grupo de Poincaré de 10 parámetros con traslaciones. ^[28] ${\displaystyle \lambda =1}$

(b) representa transformaciones de escala o similitud mediante la multiplicación de las variables espacio-temporales de las transformaciones de Lorentz por un factor constante que depende de . ^[29] Por ejemplo, si se utiliza, entonces la transformación dada por Poincaré en 1905 sigue: ^{[M 19]} ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l={\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

Sin embargo, Poincaré y Einstein demostraron que sólo se produce un grupo que es una simetría de todas las leyes de la naturaleza como exige el principio de la relatividad (el grupo de Lorentz), mientras que el grupo de transformaciones de escala es sólo una simetría de la óptica y la electrodinámica. . ${\displaystyle l=1}$

(c) El ajuste se relaciona particularmente con el amplio grupo conforme de transformaciones por radios recíprocos. Consiste en transformaciones elementales que representan una inversión generalizada en una hiperesfera de cuatro dimensiones : ^[30] ${\displaystyle \lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}}$

que se convierten en transformaciones de ondas esféricas reales en términos de la geometría de la esfera de Lie si se usa el radio real en lugar de , por lo que se da en el denominador. ^{[M 1]} ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle u=ict}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$

Felix Klein (1921) señaló la similitud de estas relaciones con las de Lie y sus propias investigaciones de 1871, añadiendo que el grupo conforme no tiene el mismo significado que el grupo de Lorentz, porque el primero se aplica a la electrodinámica mientras que el segundo es una simetría. de todas las leyes de la naturaleza, incluida la mecánica. ^{[M 20]} Durante algún tiempo se discutió la posibilidad de si las transformaciones conformes permiten la transformación en sistemas uniformemente acelerados. ^[31] Más tarde, la invariancia conforme volvió a ser importante en ciertas áreas como la teoría de campos conforme . ^[32]

Grupo de Lorentz isomorfo al grupo de Möbius

Resulta que también el grupo conforme de 6 parámetros de R ² (es decir, el grupo de Möbius compuesto de automorfismos de la esfera de Riemann ), ^[4] que a su vez es isomorfo al grupo de 6 parámetros de movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) en R ³ , ^[33] se puede interpretar físicamente: es isomorfo al grupo de Lorentz.

Por ejemplo, Fricke y Klein (1897) comenzaron definiendo una métrica de Cayley "absoluta" en términos de una superficie curvilínea de segundo grado de una parte, que puede representarse mediante una esfera cuyo interior representa el espacio hiperbólico con la ecuación ^[34]

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$,

donde son coordenadas homogéneas. Señalaron que los movimientos del espacio hiperbólico dentro de sí mismo también transforman esta esfera en sí misma. Desarrollaron la transformación correspondiente definiendo un parámetro complejo de la esfera ^[35] ${\displaystyle z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}}$

que está conectado a otro parámetro por la sustitución ${\displaystyle \xi '}$

${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

donde están los coeficientes complejos. Además, demostraron que al establecer , las relaciones anteriores asumen la forma en términos de la esfera unitaria en R ³ : ^[36] ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1}$

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}}$.

que es idéntica a la proyección estereográfica del plano sobre una superficie esférica ya dada por Klein en 1884. ^{[M 21]} Dado que las sustituciones son transformaciones de Möbius ( en alemán : Kreisverwandtschaften ) en el plano o sobre la esfera, concluyeron que al realizar un movimiento arbitrario del espacio hiperbólico en sí misma, la -esfera sufre una transformación de Möbius, que todo el grupo de movimientos hiperbólicos da todas las transformaciones directas de Möbius y, finalmente, que cualquier transformación directa de Möbius corresponde a un movimiento del espacio hiperbólico. ^[37] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi ,\xi '}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Basado en el trabajo de Fricke y Klein, Gustav Herglotz (1909) demostró el isomorfismo de ese grupo de movimientos hiperbólicos (y en consecuencia del grupo de Möbius) al grupo de Lorentz . ^{[M 22]} Es decir, la métrica de Minkowski corresponde a la métrica de Cayley anterior (basada en una sección cónica real), si las coordenadas espacio-temporales se identifican con las coordenadas homogéneas anteriores.

${\displaystyle z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t}$,

por lo que el parámetro anterior se convierte en

${\displaystyle {\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},}$nuevamente conectado por la sustitución . ${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

Herglotz concluyó que cualquier sustitución de este tipo corresponde a una transformación de Lorentz, estableciendo una correspondencia uno a uno con los movimientos hiperbólicos en R ³ . La relación entre el grupo de Lorentz y la métrica de Cayley en el espacio hiperbólico también fue señalada por Klein (1910) ^{[M 23]} y Pauli (1921). ^[38] El isomorfismo correspondiente del grupo de Möbius al grupo de Lorentz fue empleado, entre otros, por Roger Penrose .

Transformación por direcciones recíprocas.

Desarrollo en el siglo XIX.

Arriba, se mencionó la conexión de transformaciones conformes con coordenadas que incluyen el radio de esferas dentro de la geometría de la esfera de Lie. El caso especial corresponde a una transformación de esfera dada por Edmond Laguerre (1880-1885), quien la llamó "transformación por direcciones recíprocas" y quien sentó las bases de una geometría de esferas y planos orientados . ^{[M 10] [5] [6]} Según Darboux ^{[M 24]} y Bateman, ^{[M 2]} relaciones similares fueron discutidas anteriormente por Albert Ribaucour (1870) ^{[M 25]} y por el propio Lie (1871). ^{[M 6]} Stephanos (1881) señaló que la geometría de Laguerre es de hecho un caso especial de la geometría esférica de Lie. ^{[M 26]} También representó las esferas orientadas de Laguerre mediante cuaterniones (1883). ^{[M 27]} ${\displaystyle \lambda =1}$

Laguerre llama a las líneas, círculos, planos o esferas con radios de cierta orientación semilíneas, semicírculos (ciclos), semiplanos, semiesferas, etc. Una tangente es una media línea que corta un ciclo en un punto donde ambos tienen la misma dirección. La transformación por direcciones recíprocas transforma esferas orientadas en esferas orientadas y planos orientados en planos orientados, dejando invariante la "distancia tangencial" de dos ciclos (la distancia entre los puntos de cada una de sus tangentes comunes), y además conserva las líneas de curvatura. . ^[39] Laguerre (1882) aplicó la transformación a dos ciclos bajo las siguientes condiciones: su eje radical es el eje de transformación, y sus tangentes comunes son paralelas a dos direcciones fijas de las medias líneas que se transforman en sí mismas (Laguerre llamó este método específico la "transformación por medias líneas recíprocas", que más tarde se denominó "inversión de Laguerre" ^{[40] [41]} ). Estableciendo y como radios de los ciclos, y y como distancias de sus centros al eje, obtuvo: ^{[M 28]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D'}$

${\displaystyle D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),}$

con la transformación: ^{[M 29]}

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

Darboux (1887) obtuvo las mismas fórmulas en diferente notación (con y ) en su tratamiento de la "transformación por direcciones recíprocas", aunque también incluyó las coordenadas y : ^{[M 30]} ${\displaystyle z=D}$ ${\displaystyle k=\alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),}$

en consecuencia obtuvo la relación

${\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$.

Como se mencionó anteriormente, las esferas orientadas en R ³ se pueden representar mediante puntos del espacio de cuatro dimensiones R ⁴ usando una proyección mínima (isotropía), que se volvió particularmente importante en la geometría de Laguerre. ^[5] Por ejemplo, E. Müller (1898) basó su discusión sobre esferas orientadas en el hecho de que pueden ser mapeadas sobre los puntos de una variedad plana de cuatro dimensiones (que comparó con la "ciclografía" de Fiedler de 1882). Comparó sistemáticamente las transformaciones por radios recíprocos (llamándolas "inversión en una esfera") con las transformaciones por direcciones recíprocas (llamándolas "inversión en un complejo de esfera plana"). ^{[M 31]} Siguiendo el artículo de Müller, Smith (1900) discutió la transformación de Laguerre y el "grupo relacionado de la geometría de direcciones recíprocas". Aludiendo al tratamiento de la proyección mínima de Klein (1893), señaló que este grupo "es simplemente isomorfo con el grupo de todos los desplazamientos y transformaciones de simetría en el espacio de cuatro dimensiones". ^{[M 32]} Smith obtuvo la misma transformación que Laguerre y Darboux en diferente notación, llamándola "inversión en un complejo esférico": ^{[M 33]}

${\displaystyle p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R}$

con las relaciones

${\displaystyle \kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.}$

Inversión de Laguerre y transformación de Lorentz

En 1905, tanto Poincaré como Einstein señalaron que la transformación de Lorentz de la relatividad especial (establecimiento ) ${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

deja la relación invariante. ^[2] Einstein destacó el hecho de que mediante esta transformación una onda de luz esférica en un cuadro se transforma en una onda de luz esférica en otro. ^[42] Poincaré demostró que la transformación de Lorentz puede verse como una rotación en un espacio de cuatro dimensiones con el tiempo como cuarta coordenada, y Minkowski profundizó mucho más en esta idea (ver Historia de la relatividad especial ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$

Como se muestra arriba, también la transformación de Laguerre por direcciones recíprocas o medias líneas – más tarde llamada inversión de Laguerre ^{[40] [41]} – en la forma dada por Darboux (1887) deja la expresión invariante. Posteriormente, varios autores señalaron la relación con la transformación de Lorentz. Por ejemplo, Bateman (1910) argumentó que esta transformación (que atribuyó a Ribaucour) es "idéntica" a la transformación de Lorentz. ^{[M 2]} En particular, argumentó (1912) que la variante dada por Darboux (1887) corresponde a la transformación de Lorentz en dirección, si , , y los términos se reemplazan por velocidades. ^{[M 34]} Bateman (1910) también esbozó representaciones geométricas de esferas de luz relativistas utilizando tales sistemas esféricos. ^{[M 35] [43]} Sin embargo, Kubota (1925) respondió a Bateman argumentando que la inversión de Laguerre es involutiva mientras que la transformación de Lorentz no lo es. Concluyó que para hacerlos equivalentes, la inversión de Laguerre debe combinarse con una inversión de dirección de los ciclos. ^{[M 36]} ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle R=ct}$ ${\displaystyle R'=ct'}$ ${\displaystyle k}$

La relación específica entre la transformación de Lorentz y la inversión de Laguerre también se puede demostrar de la siguiente manera (ver HR Müller (1948) ^{[M 37]} para fórmulas análogas en diferente notación). Las fórmulas de inversión de Laguerre de 1882 (equivalentes a las de Darboux en 1887) dicen:

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

configurando

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w}$

sigue

${\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},}$

finalmente, al establecer la inversión de Laguerre se vuelve muy similar a la transformación de Lorentz excepto que la expresión se invierte en : ${\displaystyle D=x,D'=x',R=t,R'=t'}$ ${\displaystyle t-vx}$ ${\displaystyle wx-t}$

${\displaystyle x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$.

Según Müller, la transformación de Lorentz puede verse como el producto de un número par de inversiones de Laguerre que cambian de signo. Primero se realiza una inversión en un plano que está inclinado con respecto al plano bajo un cierto ángulo, seguida de otra inversión de regreso a . ^{[M 37]} Consulte la sección #Grupo de Laguerre isomorfo al grupo de Lorentz para obtener más detalles sobre la conexión entre la inversión de Laguerre y otras variantes de las transformaciones de Laguerre. ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Transformación de Lorentz dentro de la geometría de Laguerre

Timerding (1911) ^{[M 38]} utilizó el concepto de esferas orientadas de Laguerre para representar y derivar la transformación de Lorentz. Dada una esfera de radio , con la distancia entre su centro y el plano central, obtuvo las relaciones con una esfera correspondiente. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},}$

dando como resultado la transformación

${\displaystyle {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.}$

Al establecer y , se convierte en la transformación de Lorentz. ${\displaystyle \lambda =v/c}$ ${\displaystyle r=ct}$

Siguiendo a Timerding y Bateman, Ogura (1913) analizó una transformación de Laguerre de la forma ^{[M 39]}

${\displaystyle \alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$,

que se convierten en la transformación de Lorentz con

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}}$     ${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{c}}}$.

Afirmó que "la transformación de Laguerre en la variedad de esferas es equivalente a la transformación de Lorentz en la variedad de espacio-tiempo".

Grupo de Laguerre isomorfo al grupo de Lorentz

Como se muestra arriba, el grupo de transformaciones puntuales conformes en R ⁿ (compuesto de movimientos, similitudes e inversiones) se puede relacionar mediante proyección mínima con el grupo de transformaciones de contacto en R ^n-1 que transforma círculos o esferas en otros círculos o esferas. Además, Lie (1871, 1896) señaló que en R ³ hay un subgrupo de transformaciones puntuales de 7 parámetros compuestos de movimientos y similitudes, que al usar proyección mínima corresponde a un subgrupo de transformaciones de contacto de 7 parámetros en R ² transformando círculos en círculos. ^{[M 40]} Estas relaciones fueron estudiadas más a fondo por Smith (1900), ^{[M 32]} Blaschke (1910), ^{[M 41]} Coolidge (1916) ^[44] y otros, quienes señalaron la conexión con la geometría de Laguerre de direcciones recíprocas relacionadas a líneas orientadas, círculos, planos y esferas. Por ello, Smith (1900) lo llamó "grupo de la geometría de direcciones recíprocas", ^{[M 32]} y Blaschke (1910) utilizó la expresión "grupo de Laguerre". ^{[M 41]} El "grupo de Laguerre extendido" consta de movimientos y similitudes, que tienen 7 parámetros en R ² transformando líneas y círculos orientados, o 11 parámetros en R ³ transformando planos y esferas orientadas. Si se excluyen las similitudes, se convierte en el "grupo de Laguerre restringido" que tiene 6 parámetros en R ² y 10 parámetros en R ³ , que consiste en movimientos que preservan o invierten la orientación y preservan la distancia tangencial entre círculos o esferas orientadas. ^{[M 42] [45]} Posteriormente, se hizo común que el término grupo de Laguerre solo se refiera al grupo restringido de Laguerre. ^{[45] [46]} También se observó que el grupo de Laguerre es parte de un grupo más amplio que conserva distancias tangenciales, llamado "grupo equilongo" por Scheffers (1905). ^{[M 43] [47]}

En R ² el grupo de Laguerre deja invariante la relación , que también puede extenderse a R ^{n arbitrario. [48]} ​​Por ejemplo, en R ³ deja invariante la relación . ^[49] Esto es equivalente a la relación en R ⁴ mediante el uso de una proyección mínima (isotropía) con una coordenada de radio imaginaria , o una proyección ciclográfica (en geometría descriptiva ) con una coordenada de radio real. ^[9] Las transformaciones que forman el grupo de Laguerre se pueden diferenciar aún más en "transformaciones directas de Laguerre" que están relacionadas con movimientos que preservan tanto la distancia tangencial como el signo; o "transformaciones indirectas de Laguerre" que están relacionadas con movimientos de inversión de orientación, preservando la distancia tangencial con el signo invertido. ^{[M 43] [50]} La inversión de Laguerre dada por primera vez por Laguerre en 1882 es involutiva , por lo que pertenece a las transformaciones indirectas de Laguerre. El propio Laguerre no discutió el grupo relacionado con su inversión, pero resultó que cada transformación de Laguerre puede ser generada por como máximo cuatro inversiones de Laguerre y cada transformación directa de Laguerre es el producto de dos transformaciones involutivas, por lo que las inversiones de Laguerre son de especial importancia porque Son operadores generadores de todo el grupo Laguerre. ^{[M 44] [51]} ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}}$

Se observó que el grupo de Laguerre es de hecho isomorfo al grupo de Lorentz (o al grupo de Poincaré si se incluyen las traducciones), ya que ambos grupos dejan invariante la forma . Después de la primera comparación de la transformación de Lorentz y la inversión de Laguerre realizada por Bateman (1910) como se mencionó anteriormente, Cartan señaló la equivalencia de ambos grupos en 1912 ^{[M 45]} y 1914, ^{[M 46]} y la amplió en 1915 (publicado en 1955) en la versión francesa de la enciclopedia de Klein . ^[8] También Poincaré (1912, publicado en 1921) escribió: ^{[M 3] [52]} ${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}}$

Cartan ha dado recientemente un ejemplo curioso. Sabemos la importancia en física matemática de lo que se ha llamado grupo de Lorentz; es este grupo en el que se basan nuestras nuevas ideas sobre el principio de la relatividad y la dinámica del electrón. Por otro lado, Laguerre introdujo en la geometría un grupo de transformaciones que transforman las esferas en esferas. Estos dos grupos son isomórficos, de modo que matemáticamente estas dos teorías, una física y la otra geométrica, no muestran ninguna diferencia esencial. ^{[M 47]}

—  Henri Poincaré, 1912

Otros que notaron esta conexión incluyen a Coolidge (1916), ^[9] Klein & Blaschke (1926), ^[10] Blaschke (1929), ^[11] HR Müller , ^{[M 48]} Kunle & Fladt (1970), ^[12] Benz (1992). ^[13] Recientemente se señaló:

Una transformación de Laguerre (transformada L) es un mapeo que es biyectivo en los conjuntos de planos orientados y esferas orientadas, respectivamente, y preserva la tangencia entre el plano y la esfera. Las transformadas L se entienden más fácilmente si utilizamos el llamado modelo ciclográfico de geometría de Laguerre. Allí una esfera orientada se representa como un punto . Un plano orientado en puede interpretarse como el conjunto de todas las esferas orientadas que son tangentes a . Al mapear a través de este conjunto de esferas , se encuentra un hiperplano que es paralelo a un hiperplano tangente del cono . En el modelo ciclográfico, una transformada L se ve como un mapa afín especial (transformación de Lorentz),... ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E^{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$

—  Pottmann, Grohs, Mitra (2009) ^[53]

Ver también

• Historia de las transformaciones de Lorentz.

Fuentes primarias

• Bateman, Harry (1909) [1908]. "Las transformaciones conformes de un espacio de cuatro dimensiones y sus aplicaciones a la óptica geométrica"  . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 7 : 70–89. doi :10.1112/plms/s2-7.1.70.
• Bateman, Harry (1910) [1909]. "La Transformación de las Ecuaciones Electrodinámicas"  . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 8 : 223–264. doi :10.1112/plms/s2-8.1.223.
• Bateman, Harry (1910a). "El aspecto físico del tiempo"  . Memorias de Manchester . 54 (14): 1–13.
• Bateman, Harry (1910b). "La relación entre electromagnetismo y geometría". Revista Filosófica . 20 (118): 623–628. doi :10.1080/14786441008636944.
• Bateman, Harry (1912) [1910]. "Algunos teoremas geométricos relacionados con la ecuación de Laplace y la ecuación del movimiento ondulatorio". Revista Estadounidense de Matemáticas . 34 (3): 325–360. doi :10.2307/2370223. JSTOR  2370223.
• Blaschke, Wilhelm (1910). "Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der Euklidischen Geometrie". Monatshefte für Mathematik und Physik . 21 (1): 3–60. doi :10.1007/bf01693218. S2CID  120182503.
• Cartan, Élie (1912). "Sobre los grupos de transformación de contacto y la Cinématique nouvelle". Société de Mathématique de Francia - Comptes Rendus des Séances : 23.
• Cartan, Élie (1914). "La teoría de los grupos". Revue du Mois : 452–457.
• Cunningham, Ebenezer (1910) [1909]. "El principio de la relatividad en la electrodinámica y una extensión del mismo". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 8 : 77–98. doi :10.1112/plms/s2-8.1.77.
• Darboux, Gastón (1872). "Sobre las relaciones entre los grupos de puntos, círculos y esferas". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 1 : 323–392. doi : 10.24033/asens.87 .
• Darboux, Gastón (1878). "Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux. Troisième partie". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 : 275–348. doi : 10.24033/asens.164 .
• Darboux, Gastón (1887). Lecciones sobre la teoría general de las superficies. Fiesta de estreno. París: Gauthier-Villars.
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [traducción de Wikisource: Sobre cuerpos que deben designarse como "rígidos" desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
• Felix Klein (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Teubner, Leipzig; Traducción al inglés: Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado (1888)
• Klein, Félix (1921). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Gesammelte Mathematische Abhandlungen  . vol. 19. págs. 533–552. doi :10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN 978-3-642-51898-0. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ) Reimpreso en Klein, Felix (1921). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Gesammelte Mathematische Abhandlungen . vol. 1. págs. 533–552. doi :10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN 978-3-642-51898-0.Traducción al inglés de David Delphenich: Sobre los fundamentos geométricos del grupo de Lorentz
• Kubota, Tadahiko (1925). "Über die (2-2) -deutigen quadratischen Verwandtschaften V". Informes científicos de la Universidad Imperial de Tôhoku . 14 : 155-164..
• Laguerre, Edmond (1881). "Sobre la transformación por direcciones recíprocas"  . Cuentas Rendus . 92 : 71–73.
• Laguerre, Edmond (1882). "Transformaciones par semi-droites réciproques"  . Nuevos anales de matemáticas . 1 : 542–556.
• Laguerre, Edmond (1905). "Colección de artículos publicados entre 1880 y 1885". Obras de Laguerre, vol. 2 . París: Gauthier-Villars. págs. 592–684.
• Mentira, Sophus (1871). "Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht". Göttinger Nachrichten : 191-209.
• Mentira, Sophus (1872). "Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie parteller Differentialgleichungen". Annalen Matemáticas . 5 : 145–256. doi :10.1007/bf01446331. S2CID  122317672.Traducción al inglés de David Delphenich: Sobre complejos, en particular complejos lineales y esféricos, con aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales.
• Miente, Sofo ; Scheffers, Georg (1896). Geometrie der Berührungstransformationen. Leipzig: BG Teubner.
• Liouville, José (1847). "Nota sobre el tema del artículo anterior". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 12 : 265–290.
• Liouville, José (1850a). "Teorema de la ecuación dx²+dy²+dz²=λ(dα²+dβ²+dγ²)". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 15 : 103.
• Liouville, José (1850b). "Extensión au cas des tres dimensiones de la question du tracé géographique". En Gaspard Monge (ed.). Aplicación de análisis de geometría . París: Bachiller. págs. 609–616.
• Müller, Emil (1898). "Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden". Monatshefte für Mathematik und Physik . 9 (1): 269–315. doi :10.1007/bf01707874. S2CID  121786469.
• Müller, Hans Robert (1948). "Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie". Monatshefte für Mathematik und Physik . 52 (4): 337–353. doi :10.1007/bf01525338. S2CID  120150204.^{[ enlace muerto permanente ]}
• Ogura, Kinnosuke (1913). "Sobre la transformación de Lorentz con algunas interpretaciones geométricas". Informes Científicos de la Universidad de Tôhuku . 2 : 95-116.
• Poincaré, Henri (1906) [1905], "Sur la dynamique de l'électron"  [traducción de Wikisource: Sobre la dinámica del electrón], Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Bibcode : 1906RCMP... 21..129P, doi :10.1007/BF03013466, S2CID  120211823
• Poincaré, Henri (1921) [1912]. "Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des sciences de l'Université de Paris)". Acta Matemática . 38 (1): 137-145. doi : 10.1007/bf02392064 . S2CID  122517182.. Escrito por Poincaré en 1912, impreso en Acta Mathematica en 1914, aunque publicado tardíamente en 1921.
• Ribaucour, Albert (1870). "Sobre la deformación de superficies"  . Cuentas Rendus . 70 : 330–333.
• Smith, Percey F. (1900). "Sobre una transformación de Laguerre". Anales de Matemáticas . 1 (1/4): 153–172. doi :10.2307/1967282. JSTOR  1967282.
• Stéfanos, C. (1881). "Sur la géométrie des sphères". Cuentas Rendus . 92 : 1195-1197.
• Stéfanos, C. (1883). "Sobre la teoría de los cuaterniones". Annalen Matemáticas . 7 (4): 589–592. doi :10.1007/bf01443267. S2CID  179178015.
• Temporizador, HE (1912). "Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 21 : 274–285.

---

1. Bateman (1908); Bateman (1909); Cunningham (1909)
2. Bateman (1910b), pág. 624
3. Poincaré (1912), pág. 145
4. Liouville (1847); Liouville (1850a); Liouville (1850b)
5. Liouville (1850b)
6. (1871); Mentira (1872)
7. Darboux (1872), pág. 282
8. Mentira (1872), pág. 183
9. Klein (1893), pág. 474
10. Laguerre (1881); Laguerre (1905), págs. 592–684 (colección o artículos publicados entre 1880 y 1885).
11. Darboux (1887), pág. 225
12. Klein (1893), pág. 473
13. Darboux (1872), págs. 343-349, 369-383
14. Bateman (1912), págs.328 y 336
15. Darboux (1872), pág. 366
16. Mentira (1871), pág. 201 y siguientes; Mentira (1872), pág. 186; Mentira y Scheffers (1896), págs. 433–444
17. Bateman (1909), pág. 225, 240; (1910b), pág. 623
18. Bateman (1912), pág. 358
19. Poincaré (1906), pág. 132.
20. Klein (1910/21)
21. Klein (1884), pág. 32; (Traducción al inglés: pág. 34)
22. Herglotz (1909)
23. Klein (1910)
24. Darboux (1887), pág. 259
25. Ribacour (1870)
26. Esteban (1881)
27. Esteban (1883)
28. Laguerre (1882), pág. 550.
29. Laguerre (1882), pág. 551.
30. Darboux (1887), pág. 254
31. E. Müller (1898), véase la nota a pie de página en la pág. 274.
32. Smith (1900), pág. 172
33. Smith (1900), pág. 159
34. Bateman (1912), pág. 358
35. Bateman (1910a), véase la nota a pie de página en las págs. 5-7
36. Kubota (1925), véase la nota a pie de página en la pág. 162.
37. HR Müller (1948), pág. 349
38. Temporización (1911), pág. 285
39. Ogura (1913), pág. 107
40. Mentira (1871), pág. 201 y siguientes; Mentira (1872), págs. 180-186; Mentira y Scheffers (1896), pág. 443
41. Blaschke (1910)
42. Blaschke (1910), pág. 11-13
43. Blaschke (1910), pág. 13
44. Blaschke (1910), pág. 15
45. Cartan (1912), pág. 23
46. Cartan (1914), págs. 452–457
47. Poincaré (1912), pág. 145: M. Cartan en a donné récemment un exemple curieux. On connaît l'importance en Physique Mathématique de ce qu'on appelé le groupe de Lorentz; c'est sur ce groupe que reposent nos idées nouvelles sur le principe de relativité et sur la Dynamique de l'Electron. D'un autre côté, Laguerre a autrefois introdujo en geometría un grupo de transformaciones que cambiaban las esferas en esferas. Estos dos grupos son isomorfos, de tipo matemático, estas dos teorías, el único físico, el otro geométrico, no presentan diferencias esenciales .
48. HR Müller (1948), pág. 338

Fuentes secundarias

Libros de texto, entradas enciclopédicas, estudios históricos:

• Bateman, Harry (1915). El análisis matemático del movimiento ondulatorio eléctrico y óptico sobre la base de las ecuaciones de Maxwell. Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Benz, Walter (2005) [1992]. Geometrías clásicas en contextos modernos: geometría de espacios de productos internos reales, tercera edición . Saltador. págs. 133-175. ISBN 978-3034804202.
• Blaschke, Wilhelm (1929). Thomsen, Gerhard (ed.). Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie Bd. 3 . Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-642-50823-3. hdl :2027/mdp.39015017405492. ISBN 978-3-642-50513-3.
• Cartan, Élie ; Fano, Gino (1915). "La teoría de los grupos continuos y la geometría". Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées . 3 (1): 39–43.(En 1915 sólo se publicaron las páginas 1 a 21; el artículo completo, incluidas las páginas 39 a 43, sobre los grupos de Laguerre y Lorentz, se publicó póstumamente en 1955 en la recopilación de artículos de Cartan y se reimprimió en la Encyclopédie en 1991.)
• Cecil, Thomas E. (2008) [1992], "Geometría de Laguerre", Geometría de esfera de mentira , Springer, págs. 37–46, ISBN 978-0387746555
• Coolidge, Julián (1916). Un tratado sobre el círculo y la esfera . Oxford: Prensa de Clarendon.
• Cunningham, Ebenezer (1914). El principio de relatividad. Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Fano, Gino (1910). "Kontinuierliche Geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als Geometrisches Einteilungsprinzip". Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . vol. 3.1.1. págs. 289–388. doi :10.1007/978-3-663-16027-4_5. ISBN 978-3-663-15456-3. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Robert Fricke & Felix Klein (1897), Vorlesungen über die Theorie der autormorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen, Teubner, Leipzig
• Kastrup, HA (2008). "Sobre los avances de las transformaciones conformes y sus simetrías asociadas en geometría y física teórica". Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Código Bib : 2008AnP...520..631K. doi : 10.1002/andp.200810324. S2CID  12020510.
• Klein, Félix (1893). Einleitung in die höhere Geometrie I. Göttingen: Göttingen.
• Klein, Félix ; Blaschke, Wilhelm (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie. Berlín: Springer.(Las conferencias de Klein de 1893 fueron actualizadas y editadas por Blaschke en 1926.)
• Kunle H.; Fladt K. (1926). "Programa Erlangen y geometría superior - Geometría de Laguerre". En Heinrich Behnke (ed.). Fundamentos de Matemáticas: Geometría . Prensa del MIT. págs. 460–516.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Müller, Emil (1910). "Die Verschiedenen Koordinatensysteme". Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . vol. 3.1.1. págs. 596–770. doi :10.1007/978-3-663-16027-4_9. ISBN 978-3-663-15456-3. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Pedoe, Daniel (1972). "Una transformación geométrica olvidada". L'Enseignement Mathématique . 18 : 255–267. doi :10.5169/sellos-45376.
• Rougé, André (2008). Relativité restreinte: la contribución de Henri Poincaré . Ediciones Ecole Polytechnique. ISBN 978-2730215251.
• Walter, Scott (2012). "Figuras de luz en la historia temprana de la relatividad". Aparecerá en Einstein Studies, D. Rowe, ed., Basilea: Birkhäuser .
• Warwick, Andrés (1992). "Matemáticas de Cambridge y física de Cavendish: la relatividad de Cunningham, Campbell y Einstein 1905-1911 Parte I: Los usos de la teoría". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia Parte A. 23 (4): 625–656. Código Bib : 1992SHPSA..23..625W. doi :10.1016/0039-3681(92)90015-X.
• Warwick, Andrés (2003). Maestría en teoría: Cambridge y el auge de la física matemática. vol. 57. Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs.58. Bibcode :2004PhT....57i..58W. doi :10.1063/1.1809094. ISBN 978-0-226-87375-6. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )

---

1. Kastrup (2008)
2. Walter (2012)
3. Warwick (1992), (2012)
4. Kastrup (2008), pág. 22
5. Fano (1907), pág. 320
6. Müller (1910), capítulo 25
7. Pedóe (1972)
8. Cartan (1915), págs. 39-43
9. Coolidge (1916), pág. 422, es la distancia invariante entre dos puntos en R ⁴ . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(r-r')^{2}}}}$
10. Klein y Blaschke (1926), págs. 253-262
11. Blaschke (1929), Capítulo 4
12. Kunle y Fladt (1970), pág. 481
13. Benz (1992), Capítulo 3.17
14. Kastrup (2008), sección 2.2
15. Kastrup (2008), sección 2.3
16. Fano (1907), págs.312-315
17. E. Müller (1910), págs. 706-712
18. Kastrup (2008), sección 2.4
19. E. Müller (1910), pág. 706
20. Fano (1907), pág. 316
21. Muller (1910), pág. 717
22. Klein y Blaschke (1926), págs.246-253
23. E. Müller (1910), págs. 706–707, véase especialmente la nota 424 a pie de página.
24. Klein y Blaschke (1926), pág. 258
25. Klein y Blaschke (1926), pág. 253
26. Kastrup (2008), sección 1.1
27. Cunningham (1914), págs. 87–89
28. Cunningham (1914), págs. 87–88
29. Cunningham (1914), pág. 88
30. Cunningham (1914), págs. 88–89
31. Kastrup (2008), sección 5.2
32. Kastrup (2008), sección 6
33. Fricke y Klein (1897), Introducción - §§ 12, 13
34. Fricke y Klein (1897), pág. 44
35. Fricke y Klein (1897), pág. 46
36. Fricke y Klein (1897), pág. 49
37. Fricke y Klein (1897), pág. 50
38. Pauli (1921), pág. 626
39. Fano (1907), págs.318-320
40. Coolidge (1916), pág. 355
41. Pedoe (1972), pág. 256
42. Walter (2012), sección 1
43. Walter (2012), sección 4
44. Coolidge (1916), capítulos 10 y 11
45. Coolidge (1916), pág. 369 y pág. 415
46. Cecil (1992)
47. Coolidge (1916), págs. 370-372
48. Cartan (1915), pág. 40
49. Cartan (1915), pág. 42, es la potencia de la distancia tangencial invariante entre dos esferas orientadas. ${\displaystyle \scriptstyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(t-t')^{2}}$
50. Coolidge (1916), pág. 372
51. Coolidge (1916), pág. 378, pág. 382
52. Rougé (2008), págs. 127-128
53. Pottmann, Grohs, Mitra (2009)