En pocas palabras, es un método para transformar una ecuación polinomial de grado con algunos coeficientes intermedios distintos de cero, , tales que algunos o todos los coeficientes intermedios transformados, , sean exactamente cero.
Por ejemplo, encontrar una sustitución para una ecuación cúbica de grado , tal que la sustitución produzca una nueva ecuación tal que , , o ambas.
Para una ecuación polinomial mónica reducible de grado genérico de la forma , donde y son polinomios y no se desvanece en , la transformación de Tschirnhaus es la función: Tal que la nueva ecuación en , , tiene ciertas propiedades especiales, más comúnmente tales que algunos coeficientes, , son idénticamente cero . [2] [3]
Ejemplo: método de Tschirnhaus para ecuaciones cúbicas
En el artículo de Tschirnhaus de 1683, [1] resolvió la ecuación
usando la transformación de Tschirnhaus Sustituyendo se obtiene la ecuación transformada
o Fijando
se obtiene,
y finalmente, la transformación de Tschirnhaus
que puede sustituirse en
para obtener una ecuación de la forma:
Tschirnhaus continuó describiendo cómo una transformación de Tschirnhaus de la forma:
puede usarse para eliminar dos coeficientes de una manera similar.
donde es módulo . Es decir, cualquier elemento de es un polinomio en , que es por tanto un elemento primitivo de . Habrá otras opciones de elemento primitivo en : para cualquier elección de este tipo de tendremos por definición:
,
con polinomios y sobre . Ahora bien, si es el polinomio mínimo para sobre , podemos llamar transformación de Tschirnhaus de .
Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus de un polinomio irreducible se describe como que recorre todas las formas de cambiar , pero deja el mismo. Este concepto se utiliza para reducir ecuaciones de quinto grado a la forma Bring-Jerrard , por ejemplo. Existe una conexión con la teoría de Galois , cuando es una extensión de Galois de . El grupo de Galois puede entonces considerarse como todas las transformaciones de Tschirnhaus de a sí mismo.
Historia
En 1683, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus publicó un método para reescribir un polinomio de grado tal que los términos y tengan coeficientes cero. En su artículo, Tschirnhaus hizo referencia a un método de René Descartes para reducir un polinomio cuadrático de modo que el término tenga coeficientes cero.
En 1786, este trabajo fue ampliado por Erland Samuel Bring , quien demostró que cualquier polinomio quíntico genérico podía reducirse de manera similar.
En 1834, George Jerrard amplió aún más el trabajo de Tschirnhaus al demostrar que se puede utilizar una transformación de Tschirnhaus para eliminar , , y para un polinomio general de grado . [3]
^ ab von Tschirnhaus, Ehrenfried Walter; Verde, RF (1 de marzo de 2003). "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación determinada". Boletín ACM SIGSAM . 37 (1): 1–3. doi : 10.1145/844076.844078 . ISSN 0163-5824. S2CID 18911887.
^ Garver, Raymond (1927). "La transformación de Tschirnhaus". Anales de Matemáticas . 29 (1/4): 319–333. doi :10.2307/1968002. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968002.
^ ab CB Boyer (1968) A History of Mathematics . Wiley, Nueva York pp. 472-473. Según lo informado por : Weisstein, Eric W. "Transformación de Tschirnhausen". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de febrero de 2022 .