Distancia de trazado

En mecánica cuántica , y especialmente en información cuántica y en el estudio de sistemas cuánticos abiertos , la distancia de traza T es una métrica en el espacio de matrices de densidad y da una medida de la distinguibilidad entre dos estados. Es la generalización cuántica de la distancia de Kolmogorov para distribuciones de probabilidad clásicas.

Definición

La distancia de traza se define como la mitad de la norma de traza de la diferencia de las matrices: donde es la norma de traza de , y es la única semidefinida positiva tal que (que siempre se define para semidefinida positiva ). Esto se puede pensar como la matriz obtenida al tomar las raíces cuadradas algebraicas de sus valores propios. Para la distancia de traza, tenemos más específicamente una expresión de la forma donde es hermítica. Esta cantidad es igual a la suma de los valores singulares de , que al ser hermítica, es igual a la suma de los valores absolutos de sus valores propios. Más explícitamente, donde es el -ésimo valor propio de , y es su rango. $${\displaystyle T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{2}}\|\rho -\sigma \|_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right],}$$ ${\displaystyle \|A\|_{1}\equiv \operatorname {Tr} [{\sqrt {A^{\dagger }A}}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{2}=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |C|\equiv {\sqrt {C^{\dagger }C}}={\sqrt {C^{2}}}}$ ${\displaystyle C=\rho -\sigma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{r}|\lambda _{i}|,}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho -\sigma }$ ${\displaystyle r}$

El factor de dos asegura que la distancia de traza entre matrices de densidad normalizadas tome valores en el rango . ${\displaystyle [0,1]}$

Conexión con la distancia de variación total

La distancia de traza puede verse como una generalización cuántica directa de la distancia de variación total entre distribuciones de probabilidad. Dado un par de distribuciones de probabilidad , su distancia de variación total es Intentar aplicar directamente esta definición a los estados cuánticos plantea el problema de que los estados cuánticos pueden dar lugar a diferentes distribuciones de probabilidad dependiendo de cómo se midan. Una elección natural es entonces considerar la distancia de variación total entre la distribución de probabilidad clásica obtenida midiendo los dos estados, maximizada sobre las posibles opciones de medición, lo que da como resultado precisamente la distancia de traza entre los estados cuánticos. Más explícitamente, esta es la cantidad con la maximización realizada con respecto a todos los POVM posibles . ${\displaystyle P,Q}$ $${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{k}|P_{k}-Q_{k}|.}$$ $${\displaystyle \max _{\Pi }{\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\sigma )|,}$$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i}}$

Para ver por qué es así, comenzamos observando que hay una descomposición única con matrices semidefinidas positivas con soporte ortogonal. Con estos operadores podemos escribir de forma concisa . Además , y por lo tanto . Por lo tanto, tenemos Esto muestra que donde denota la distribución de probabilidad clásica resultante de medir con el POVM , , y el máximo se realiza sobre todos los POVM . ${\displaystyle \rho -\sigma =P-Q}$ ${\displaystyle P,Q\geq 0}$ ${\displaystyle |\rho -\sigma |=P+Q}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P),\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)\geq 0}$ ${\displaystyle |\operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))|\leq \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)+\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))}$ $${\displaystyle \sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|=\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P-Q))|\leq \sum _{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P+Q))=\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |.}$$ $${\displaystyle \max _{\Pi }\delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })\leq T(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle P_{\Pi ,\rho }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle (P_{\Pi ,\rho })_{i}\equiv \operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )}$ ${\displaystyle \Pi \equiv \{\Pi _{i}\}_{i}}$

Para concluir que la desigualdad está saturada por algún POVM, sólo necesitamos considerar la medición proyectiva con elementos correspondientes a los vectores propios de . Con esta elección, donde son los valores propios de . ${\displaystyle \rho -\sigma }$ $${\displaystyle \delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|=T(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho -\sigma }$

Interpretación física

Al utilizar la dualidad de Hölder para las normas de Schatten , la distancia de traza se puede escribir en forma variacional como ^[1]

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

En cuanto a su contraparte clásica, la distancia de traza se puede relacionar con la probabilidad máxima de distinguir entre dos estados cuánticos:

Por ejemplo, supongamos que Alice prepara un sistema en el estado o , cada uno con probabilidad y se lo envía a Bob, quien tiene que discriminar entre los dos estados utilizando una medición binaria. Dejemos que Bob asigne el resultado de la medición y un elemento POVM como el resultado y un elemento POVM para identificar el estado o , respectivamente. Su probabilidad esperada de identificar correctamente el estado entrante está dada por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

Por lo tanto, al aplicar una medida óptima, Bob tiene la probabilidad máxima

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

de identificar correctamente en qué estado Alice preparó el sistema. ^[2]

Propiedades

La distancia de traza tiene las siguientes propiedades ^[1]

• Es una métrica en el espacio de matrices de densidad, es decir, no negativa, simétrica y satisface la desigualdad triangular , y ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$y si y solo si y tienen soportes ortogonales ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$
• Se conserva bajo transformaciones unitarias : ${\displaystyle T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )}$
• Es contractivo bajo mapas CP que preservan trazas , es decir, si es un mapa CPT, entonces ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• Es convexa en cada una de sus entradas. Por ejemplo ${\displaystyle T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )}$
• En estados puros, se puede expresar únicamente en términos del producto interno de los estados: ^[3] ${\displaystyle T(|\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |)={\sqrt {1-|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}}}$

Para los qubits , la distancia de traza es igual a la mitad de la distancia euclidiana en la representación de Bloch .

Relación con otras medidas de distancia

Fidelidad

La fidelidad de dos estados cuánticos está relacionada con la distancia de traza mediante las desigualdades ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$ ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )}$

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

La desigualdad del límite superior se convierte en una igualdad cuando y son estados puros . [Tenga en cuenta que la definición de Fidelidad utilizada aquí es el cuadrado de la utilizada en Nielsen y Chuang] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

Distancia de variación total

La distancia de traza es una generalización de la distancia de variación total y, para dos matrices de densidad de desplazamiento, tiene el mismo valor que la distancia de variación total de las dos distribuciones de probabilidad correspondientes.

Referencias

1. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2010). "9. Medidas de distancia para información cuántica". Computación cuántica e información cuántica (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3.OCLC 844974180  .
2. SM Barnett, "Información cuántica", Oxford University Press, 2009, Capítulo 4
3. Wilde, Mark (2017). Teoría de la información cuántica . arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976. ISBN . 9781107176164.S2CID2515538  .​