Punto de vista

Medición generalizada en mecánica cuántica

En el análisis funcional y la ciencia de la información cuántica , una medida con valor de operador positivo ( POVM ) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las medidas con valor de proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por POVM son una generalización de la medición cuántica descrita por PVM (llamadas mediciones proyectivas).

En una analogía aproximada, un POVM es a un PVM lo que un estado mixto es a un estado puro . Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver purificación del estado cuántico ); análogamente, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande.

Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden utilizar en la teoría cuántica de campos . ^[1] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

Definición

Sea un espacio de Hilbert y un espacio medible con una σ-álgebra de Borel en . Un POVM es una función definida en cuyos valores son operadores autoadjuntos positivos acotados en tales que para cada ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

es una medida aditiva contable no negativa en el σ-álgebra y es el operador identidad . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

En mecánica cuántica , la propiedad clave de un POVM es que determina una medida de probabilidad en el espacio de resultados, de modo que puede interpretarse como la probabilidad del evento al medir un estado cuántico . ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

En el caso más simple, en el que es un conjunto finito, es el conjunto potencia de y es de dimensión finita, un POVM es equivalentemente un conjunto de matrices hermíticas semidefinidas positivas que suman la matriz identidad , ^{[3] : 90} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

Un POVM se diferencia de una medida con valores de proyección en que, para las medidas con valores de proyección, se requiere que los valores de sean proyecciones ortogonales . ${\displaystyle F}$

En el caso discreto, el elemento POVM está asociado con el resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición cuántica en el estado cuántico está dada por ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

donde es el operador de traza . Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

El caso discreto de un POVM generaliza el caso más simple de un PVM, que es un conjunto de proyectores ortogonales que suman la matriz identidad : ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Las fórmulas de probabilidad para un PVM son las mismas que para el POVM. Una diferencia importante es que los elementos de un POVM no son necesariamente ortogonales. En consecuencia, el número de elementos del POVM puede ser mayor que la dimensión del espacio de Hilbert en el que actúan. Por otro lado, el número de elementos del PVM es como máximo la dimensión del espacio de Hilbert. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

Teorema de dilatación de Naimark

Nota: Una ortografía alternativa de esto es "Teorema de Neumark".

El teorema de dilatación de Naimark ^[4] muestra cómo se pueden obtener los POVM a partir de los PVM que actúan en un espacio mayor. Este resultado es de importancia crítica en mecánica cuántica, ya que proporciona una manera de realizar físicamente las mediciones de POVM. ^{[5] : 285}

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos actuando sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, el teorema de Naimark dice que si es un POVM actuando sobre un espacio de Hilbert de dimensión , entonces existe un PVM actuando sobre un espacio de Hilbert de dimensión y una isometría tal que para todo , ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

Para el caso particular de un POVM de rango 1, es decir, cuando para algunos vectores (no normalizados) , esta isometría se puede construir como ^{[5] : 285} ${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$ ${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

y el PVM se da simplemente por . Nótese que aquí . ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}=n}$

En el caso general, la isometría y el PVM se pueden construir definiendo ^{[6] [7]} , , y ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

Téngase en cuenta que aquí , por lo que esta es una construcción más derrochadora. ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

En cualquier caso, la probabilidad de obtener el resultado con este PVM, y el estado adecuadamente transformado por la isometría, es la misma que la probabilidad de obtenerlo con el POVM original: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

Esta construcción se puede convertir en una receta para una realización física del POVM extendiendo la isometría a una unitaria , es decir, encontrando tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

para de 1 a . Esto siempre se puede hacer. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{A}}$

La receta para realizar el POVM descrito por en un estado cuántico es entonces incrustar el estado cuántico en el espacio de Hilbert , evolucionarlo con el unitario y realizar la medición proyectiva descrita por el PVM . ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

Estado posterior a la medición

El estado posterior a la medición no está determinado por el POVM en sí, sino por el PVM que lo realiza físicamente. Dado que hay infinitos PVM diferentes que realizan el mismo POVM, los operadores por sí solos no determinan cuál será el estado posterior a la medición. Para ver esto, observe que para cualquier unitario los operadores ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

También tendrá la propiedad de que , de modo que utilizando la isometría ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

En la segunda construcción anterior también se implementará el mismo POVM. En el caso en que el estado que se mide esté en estado puro , la unidad resultante lo toma junto con el ancillar al estado ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

y la medición proyectiva en la ancilla colapsará al estado ^{[3] : 84} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

al obtener el resultado . Cuando el estado que se mide se describe mediante una matriz de densidad , el estado posterior a la medición correspondiente se da mediante ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

Vemos, por tanto, que el estado posterior a la medición depende explícitamente del unitario . Nótese que, aunque siempre es hermítico, por lo general, no tiene por qué ser hermítico. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Otra diferencia con las mediciones proyectivas es que una medición POVM en general no es repetible. Si en la primera medición se obtuvo un resultado, la probabilidad de obtener un resultado diferente en una segunda medición es ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

que puede ser distinto de cero si y no son ortogonales. En una medición proyectiva, estos operadores son siempre ortogonales y, por lo tanto, la medición siempre es repetible. ${\displaystyle M_{i_{0}}}$ ${\displaystyle M_{i_{1}}}$

Un ejemplo: discriminación inequívoca de estados cuánticos

Representación de estados en la esfera de Bloch (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para la discriminación de estados cuánticos inequívocos en los estados y . Nótese que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$

Supóngase que tiene un sistema cuántico con un espacio de Hilbert bidimensional que sabe que está en el estado o en el estado , y quiere determinar cuál es. Si y son ortogonales, esta tarea es fácil: el conjunto formará un PVM, y una medición proyectiva en esta base determinará el estado con certeza. Sin embargo, si y no son ortogonales, esta tarea es imposible , en el sentido de que no hay ninguna medición, ni PVM ni POVM, que los distinga con certeza. ^{[3] : 87} La imposibilidad de discriminar perfectamente entre estados no ortogonales es la base de los protocolos de información cuántica como la criptografía cuántica , el lanzamiento de monedas cuántico y el dinero cuántico . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

La tarea de discriminación inequívoca de estados cuánticos (UQSD) es la segunda mejor opción: nunca cometer un error sobre si el estado es o , a costa de tener a veces un resultado no concluyente. Es posible hacer esto con mediciones proyectivas. ^[8] Por ejemplo, si mides el PVM , donde es el estado cuántico ortogonal a , y obtienes el resultado , entonces sabes con certeza que el estado era . Si el resultado era , entonces no es concluyente. El razonamiento análogo es válido para el PVM , donde es el estado ortogonal a . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Sin embargo, esto no es satisfactorio, ya que no se pueden detectar ambos con una sola medición, y la probabilidad de obtener un resultado concluyente es menor que con los POVM. El POVM que ofrece la mayor probabilidad de un resultado concluyente en esta tarea se da en ^{[8] [9]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

dónde

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Nótese que , por lo tanto, cuando se obtiene el resultado, estamos seguros de que el estado cuántico es , y cuando se obtiene el resultado, estamos seguros de que el estado cuántico es . ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

La probabilidad de tener un resultado concluyente está dada por

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

cuando el sistema cuántico está en el mismo estado o con la misma probabilidad. Este resultado se conoce como el límite de Ivanović-Dieks-Peres, llamado así por los autores que fueron pioneros en la investigación de UQSD. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Dado que los POVM son de rango 1, podemos utilizar el caso simple de la construcción anterior para obtener una medición proyectiva que realice físicamente este POVM. Etiquetando los tres estados posibles del espacio de Hilbert ampliado como , , y , vemos que el unitario resultante lleva el estado a ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$ ${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

y de manera similar, el Estado debe ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

Una medición proyectiva proporciona entonces los resultados deseados con las mismas probabilidades que el POVM.

Este POVM se ha utilizado para distinguir experimentalmente estados de polarización no ortogonal de un fotón. La realización del POVM con una medición proyectiva fue ligeramente diferente de la descrita aquí. ^{[13] [14]}

Véase también

• SIC-POVM
• Medición cuántica
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Matriz de densidad
• Operación cuántica
• Medida con valor de proyección
• Medida vectorial

Referencias

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2. Davies, Edward Brian (1976). Teoría cuántica de sistemas abiertos . Londres: Acad. Press. p. 35. ISBN. 978-0-12-206150-9.
3. M. Nielsen e I. Chuang, Computación cuántica e información cuántica, Cambridge University Press, (2000)
4. IM Gelfand y MA Neumark, Sobre la incrustación de anillos normados en el anillo de operadores en el espacio de Hilbert, Rec. Math. [Mat. Sbornik] NS 12(54) (1943), 197–213.
5. A. Peres. Teoría cuántica: conceptos y métodos. Kluwer Academic Publishers, 1993.
6. J. Preskill, Notas de clase de Física: Información y computación cuántica, Capítulo 3, http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/index.html
7. J. Watrous. La teoría de la información cuántica. Cambridge University Press, 2018. Capítulo 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
8. JA Bergou; U. Herzog; M. Hillery (2004). "Discriminación de estados cuánticos". En M. Paris; J. Řeháček (eds.). Estimación de estados cuánticos . Springer. págs. 417–465. doi :10.1007/978-3-540-44481-7_11. ISBN 978-3-540-44481-7.
9. Chefles, Anthony (2000). "Discriminación de estados cuánticos". Física contemporánea . 41 (6). Informa UK Limited: 401–424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Código Bibliográfico :2000ConPh..41..401C. doi :10.1080/00107510010002599. ISSN  0010-7514. S2CID  119340381.
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• POVM
  • K. Kraus, Estados, efectos y operaciones, Apuntes de Física 190, Springer (1983).
  • AS Holevo , Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica, North-Holland Publ. Cy., Amsterdam (1982).

Enlaces externos

• Demostración interactiva sobre la discriminación de estados cuánticos