Operación cuántica

Clase de transformaciones que pueden experimentar los sistemas y procesos cuánticos

En mecánica cuántica , una operación cuántica (también conocida como mapa dinámico cuántico o proceso cuántico ) es un formalismo matemático utilizado para describir una amplia clase de transformaciones que puede experimentar un sistema mecánico cuántico. Esto fue discutido por primera vez como una transformación estocástica general para una matriz de densidad por George Sudarshan . ^[1] El formalismo de operación cuántica describe no solo la evolución temporal unitaria o las transformaciones de simetría de sistemas aislados, sino también los efectos de la medición y las interacciones transitorias con un entorno. En el contexto de la computación cuántica , una operación cuántica se denomina canal cuántico .

Obsérvese que algunos autores utilizan el término "operación cuántica" para referirse específicamente a mapas completamente positivos (CP) y que no aumentan las trazas en el espacio de matrices de densidad, y el término " canal cuántico " para referirse al subconjunto de aquellos que son estrictamente preservadores de trazas. ^[2]

Las operaciones cuánticas se formulan en términos de la descripción del operador de densidad de un sistema mecánico cuántico. En rigor, una operación cuántica es una función lineal completamente positiva del conjunto de operadores de densidad en sí misma. En el contexto de la información cuántica, a menudo se impone la restricción adicional de que una operación cuántica debe ser física , ^[3] es decir, satisfacer para cualquier estado . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$ ${\displaystyle \rho }$

Algunos procesos cuánticos no pueden ser capturados dentro del formalismo de operaciones cuánticas; ^[4] en principio, la matriz de densidad de un sistema cuántico puede experimentar una evolución temporal completamente arbitraria. Las operaciones cuánticas son generalizadas por los instrumentos cuánticos , que capturan la información clásica obtenida durante las mediciones, además de la información cuántica .

Fondo

La imagen de Schrödinger proporciona una explicación satisfactoria de la evolución temporal del estado para un sistema mecánico cuántico bajo ciertas suposiciones. Estas suposiciones incluyen:

• El sistema no es relativista.
• El sistema está aislado.

La imagen de Schrödinger para la evolución temporal tiene varias formulaciones matemáticamente equivalentes. Una de ellas expresa la tasa de cambio temporal del estado mediante la ecuación de Schrödinger . Una formulación más adecuada para esta exposición se expresa de la siguiente manera:

El efecto del paso de t unidades de tiempo sobre el estado de un sistema aislado S viene dado por un operador unitario U _t sobre el espacio de Hilbert H asociado a S .

Esto significa que si el sistema está en un estado correspondiente a v ∈ H en un instante de tiempo s , entonces el estado después de t unidades de tiempo será U _t v . Para los sistemas relativistas , no hay un parámetro de tiempo universal, pero aún podemos formular el efecto de ciertas transformaciones reversibles en el sistema mecánico cuántico. Por ejemplo, las transformaciones de estado que relacionan observadores en diferentes marcos de referencia están dadas por transformaciones unitarias. En cualquier caso, estas transformaciones de estado llevan estados puros a estados puros; esto a menudo se formula diciendo que en este marco idealizado, no hay decoherencia .

En el caso de los sistemas en interacción (o abiertos), como los que se someten a una medición, la situación es completamente diferente. Para empezar, los cambios de estado que experimentan dichos sistemas no pueden explicarse exclusivamente por una transformación en el conjunto de estados puros (es decir, los asociados a vectores de norma 1 en H ). Después de una interacción de este tipo, un sistema en un estado puro φ puede dejar de estar en el estado puro φ . En general, estará en una mezcla estadística de una secuencia de estados puros φ ₁ , ..., φ _k con probabilidades respectivas λ ₁ , ..., λ _k . La transición de un estado puro a un estado mixto se conoce como decoherencia.

Se han establecido numerosos formalismos matemáticos para abordar el caso de un sistema en interacción. El formalismo de operaciones cuánticas surgió alrededor de 1983 a partir del trabajo de Karl Kraus , quien se basó en el trabajo matemático anterior de Man-Duen Choi. Tiene la ventaja de que expresa operaciones como la medición como una aplicación de estados de densidad a estados de densidad. En particular, el efecto de las operaciones cuánticas se mantiene dentro del conjunto de estados de densidad.

Definición

Recuerde que un operador de densidad es un operador no negativo en un espacio de Hilbert con traza unitaria.

Matemáticamente, una operación cuántica es una función lineal Φ entre espacios de operadores de clase traza en espacios de Hilbert H y G tales que

• Si S es un operador de densidad, Tr(Φ( S )) ≤ 1.
• Φ es completamente positivo , es decir, para cualquier número natural n , y cualquier matriz cuadrada de tamaño n cuyas entradas sean operadores de la clase traza y que no sea negativa, entonces también será no negativa. En otras palabras, Φ es completamente positivo si es positivo para todo n , donde denota la función identidad en el C*-álgebra de matrices. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Obsérvese que, según la primera condición, las operaciones cuánticas pueden no preservar la propiedad de normalización de los conjuntos estadísticos. En términos probabilísticos, las operaciones cuánticas pueden ser submarkovianas. Para que una operación cuántica preserve el conjunto de matrices de densidad, necesitamos la suposición adicional de que preserva las trazas.

En el contexto de la información cuántica , las operaciones cuánticas definidas aquí, es decir, mapas completamente positivos que no aumentan la traza, también se denominan canales cuánticos o mapas estocásticos . La formulación aquí se limita a los canales entre estados cuánticos; sin embargo, se puede ampliar para incluir también los estados clásicos, lo que permite manejar simultáneamente la información cuántica y clásica.

Operadores de Kraus

El teorema de Kraus (llamado así por Karl Kraus ) caracteriza a los mapas completamente positivos , que modelan las operaciones cuánticas entre estados cuánticos. De manera informal, el teorema asegura que la acción de cualquier operación cuántica de este tipo sobre un estado siempre se puede escribir como , para algún conjunto de operadores que satisfacen , donde es el operador identidad. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$ ${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$

Enunciado del teorema

Teorema . ^[5] Sean y espacios de Hilbert de dimensión y respectivamente, y una operación cuántica entre y . Entonces, existen matrices que mapean a tales que, para cualquier estado , Inversamente, cualquier mapa de esta forma es una operación cuántica siempre que . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ $${\displaystyle \{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.}$$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$

Las matrices se denominan operadores de Kraus (a veces se las conoce como operadores de ruido u operadores de error , especialmente en el contexto del procesamiento de información cuántica , donde la operación cuántica representa los efectos ruidosos y productores de errores del entorno). El teorema de factorización de Stinespring extiende el resultado anterior a espacios de Hilbert separables arbitrarios H y G. Allí, S se reemplaza por un operador de clase de traza y por una secuencia de operadores acotados. ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}$

Equivalencia unitaria

Las matrices de Kraus no están determinadas únicamente por la operación cuántica en general. Por ejemplo, distintas factorizaciones de Cholesky de la matriz de Choi podrían dar diferentes conjuntos de operadores de Kraus. El siguiente teorema establece que todos los sistemas de matrices de Kraus que representan la misma operación cuántica están relacionados por una transformación unitaria: ${\displaystyle \Phi }$

Teorema . Sea una operación cuántica (no necesariamente que preserve la traza) en un espacio de Hilbert de dimensión finita H con dos que representan secuencias de matrices de Kraus y . Entonces existe una matriz de operadores unitarios tal que ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$ ${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$ $${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$$

En el caso de dimensión infinita, esto se generaliza a una relación entre dos representaciones mínimas de Stinespring .

Una consecuencia del teorema de Stinespring es que todas las operaciones cuánticas pueden implementarse mediante evolución unitaria después de acoplar un ancilla adecuado al sistema original.

Observaciones

Estos resultados también pueden derivarse del teorema de Choi sobre mapas completamente positivos , que caracteriza un mapa de dimensión finita completamente positivo mediante un único operador de densidad positivo hermítico (matriz de Choi) con respecto a la traza. Entre todas las posibles representaciones de Kraus de un canal dado , existe una forma canónica que se distingue por la relación de ortogonalidad de los operadores de Kraus, . Este conjunto canónico de operadores de Kraus ortogonales puede obtenerse diagonalizando la matriz de Choi correspondiente y reformando sus vectores propios en matrices cuadradas. ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

También existe una generalización algebraica de dimensión infinita del teorema de Choi, conocida como "teorema de Radon-Nikodym de Belavkin para mapas completamente positivos", que define un operador de densidad como una "derivada de Radon-Nikodym" de un canal cuántico con respecto a un mapa completamente positivo dominante (canal de referencia). Se utiliza para definir las fidelidades relativas y las informaciones mutuas para canales cuánticos.

Dinámica

Para un sistema mecánico cuántico no relativista, su evolución temporal se describe mediante un grupo monoparamétrico de automorfismos {α _t } _t de Q . Esto se puede reducir a transformaciones unitarias: bajo ciertas condiciones técnicas débiles (véase el artículo sobre lógica cuántica y la referencia de Varadarajan), existe un grupo monoparamétrico fuertemente continuo { U _t } _t de transformaciones unitarias del espacio de Hilbert subyacente tal que los elementos E de Q evolucionan de acuerdo con la fórmula

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

La evolución temporal del sistema también puede considerarse dualmente como evolución temporal del espacio de estados estadísticos. La evolución del estado estadístico está dada por una familia de operadores {β _t } _t tales que $${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

Es claro que para cada valor de t , S → U * _t S U _t es una operación cuántica. Además, esta operación es reversible .

Esto se puede generalizar fácilmente: si G es un grupo de Lie conexo de simetrías de Q que satisfacen las mismas condiciones de continuidad débil, entonces la acción de cualquier elemento g de G está dada por un operador unitario U : Esta aplicación g → U _g se conoce como una representación proyectiva de G . Las aplicaciones S → U * _g S U _g son operaciones cuánticas reversibles. $${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$

Medición cuántica

Las operaciones cuánticas se pueden utilizar para describir el proceso de medición cuántica . La presentación a continuación describe la medición en términos de proyecciones autoadjuntas sobre un espacio de Hilbert complejo separable H , es decir, en términos de un PVM ( Projection-valued measure ). En el caso general, las mediciones se pueden realizar utilizando operadores no ortogonales, a través de las nociones de POVM . El caso no ortogonal es interesante, ya que puede mejorar la eficiencia general del instrumento cuántico .

Medidas binarias

Los sistemas cuánticos pueden medirse mediante la aplicación de una serie de preguntas de respuesta sí o no . Se puede entender que este conjunto de preguntas se elige de una red ortocomplementada Q de proposiciones en lógica cuántica . La red es equivalente al espacio de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert complejo separable H.

Consideremos un sistema en algún estado S , con el objetivo de determinar si tiene alguna propiedad E , donde E es un elemento de la red de preguntas cuánticas de sí-no . Medición, en este contexto, significa someter al sistema a algún procedimiento para determinar si el estado satisface la propiedad. La referencia al estado del sistema, en esta discusión, puede tener un significado operacional considerando un conjunto estadístico de sistemas. Cada medición produce algún valor definido 0 o 1; además, la aplicación del proceso de medición al conjunto da como resultado un cambio predecible del estado estadístico. Esta transformación del estado estadístico está dada por la operación cuántica Aquí E puede entenderse como un operador de proyección . $${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).}$$

Caso general

En el caso general, las mediciones se realizan sobre observables que toman más de dos valores.

Cuando un observable A tiene un espectro de puntos puro , se puede escribir en términos de una base ortonormal de vectores propios. Es decir, A tiene una descomposición espectral donde E _A (λ) es una familia de proyecciones ortogonales por pares , cada una sobre el respectivo espacio propio de A asociado con el valor de medición λ. $${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$$

La medición del observable A produce un valor propio de A . Las mediciones repetidas, realizadas en un conjunto estadístico S de sistemas, dan como resultado una distribución de probabilidad sobre el espectro de valores propios de A . Es una distribución de probabilidad discreta y está dada por $${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$$

La medición del estado estadístico S viene dada por el mapa Es decir, inmediatamente después de la medición, el estado estadístico es una distribución clásica sobre los espacios propios asociados a los posibles valores λ del observable: S es un estado mixto . $${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$$

Mapas no completamente positivos

Shaji y Sudarshan argumentaron en un artículo de Physical Review Letters que, tras un examen minucioso, la positividad completa no es un requisito para una buena representación de la evolución cuántica abierta. Sus cálculos muestran que, al comenzar con algunas correlaciones iniciales fijas entre el sistema observado y el entorno, el mapa restringido al sistema en sí no es necesariamente positivo. Sin embargo, no es positivo solo para aquellos estados que no satisfacen el supuesto sobre la forma de las correlaciones iniciales. Por lo tanto, muestran que para obtener una comprensión completa de la evolución cuántica, también se deben considerar mapas no completamente positivos. ^{[4] [6] [7]}

Véase también

• Semigrupo dinámico cuántico
• Superoperador

Referencias

1. Sudarshan, ECG; Mathews, PM; Rau, Jayaseetha (1 de febrero de 1961). "Dinámica estocástica de sistemas mecánico-cuánticos". Physical Review . 121 (3). American Physical Society (APS): 920–924. Bibcode :1961PhRv..121..920S. doi :10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
2. Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J.; Ralph, Timothy C.; et al. (1 de mayo de 2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Bibcode :2012RvMP...84..621W. doi :10.1103/revmodphys.84.621. hdl : 1721.1/71588 . ISSN  0034-6861. S2CID  119250535.
3. Nielsen y Chuang (2010).
4. Pechukas, Philip (22 de agosto de 1994). "La dinámica reducida no tiene por qué ser completamente positiva". Physical Review Letters . 73 (8). American Physical Society (APS): 1060–1062. Bibcode :1994PhRvL..73.1060P. doi :10.1103/physrevlett.73.1060. ISSN  0031-9007. PMID  10057614.
5. Este teorema se demuestra en Nielsen y Chuang (2010), Teoremas 8.1 y 8.3.
6. Shaji, Anil; Sudarshan, ECG (2005). "¿Quién teme a los mapas no completamente positivos?". Physics Letters A . 341 (1–4). Elsevier BV: 48–54. Bibcode :2005PhLA..341...48S. doi :10.1016/j.physleta.2005.04.029. ISSN  0375-9601.
7. Cuffaro, Michael E.; Myrvold, Wayne C. (2013). "Sobre el debate relativo a la caracterización adecuada de la evolución dinámica cuántica". Filosofía de la ciencia . 80 (5). University of Chicago Press: 1125–1136. arXiv : 1206.3794 . doi :10.1086/673733. ISSN  0031-8248. S2CID  31842197.

• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (10.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107002173.OCLC 665137861  .
• Choi, Man-Duen (1975). "Aplicaciones lineales completamente positivas en matrices complejas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 10 (3). Elsevier BV: 285–290. doi : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN  0024-3795.
• Sudarshan, ECG; Mathews, PM; Rau, Jayaseetha (1961-02-01). "Dinámica estocástica de sistemas mecánico-cuánticos". Physical Review . 121 (3). American Physical Society (APS): 920–924. Bibcode :1961PhRv..121..920S. doi :10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
• Belavkin, VP; Staszewski, P. (1986). "Un teorema de Radon-Nikodym para aplicaciones completamente positivas". Informes sobre física matemática . 24 (1). Elsevier BV: 49–55. Bibcode :1986RpMP...24...49B. doi :10.1016/0034-4877(86)90039-x. ISSN  0034-4877.
• K. Kraus, Estados, efectos y operaciones: nociones fundamentales de la teoría cuántica , Springer Verlag 1983
• WF Stinespring, Funciones positivas en álgebras C* , Actas de la American Mathematical Society, 211–216, 1955
• V. Varadarajan, La geometría de la mecánica cuántica, vols. 1 y 2, Springer-Verlag, 1985