En mecánica clásica , las variables de ángulo de acción son un conjunto de coordenadas canónicas que son útiles para caracterizar la naturaleza de los flujos conmutativos en sistemas integrables cuando el conjunto de niveles de energía conservados es compacto y los flujos conmutativos son completos. Las variables de ángulo de acción también son importantes para obtener las frecuencias de movimiento oscilatorio o rotacional sin resolver las ecuaciones de movimiento . Solo existen, proporcionando una caracterización clave de la dinámica, cuando el sistema es completamente integrable , es decir, el número de invariantes conmutativos de Poisson independientes es máximo y la superficie de energía conservada es compacta. Esto suele tener un valor de cálculo práctico cuando la ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable y las constantes de separación se pueden resolver como funciones en el espacio de fases. Las variables de ángulo de acción definen una foliación por toros lagrangianos invariantes porque los flujos inducidos por los invariantes conmutativos de Poisson permanecen dentro de sus conjuntos de niveles conjuntos, mientras que la compacidad del conjunto de niveles de energía implica que son toros. Las variables angulares proporcionan coordenadas en las hojas en las que los flujos de desplazamiento son lineales.
La conexión entre los sistemas hamiltonianos clásicos y su cuantificación en el enfoque de la mecánica de ondas de Schrödinger se hace evidente al considerar la ecuación de Hamilton-Jacobi como el término de orden principal en la serie asintótica WKB para la ecuación de Schrödinger. En el caso de los sistemas integrables, las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld se utilizaron por primera vez, antes del advenimiento de la mecánica cuántica, para calcular el espectro del átomo de hidrógeno. Requieren que las variables del ángulo de acción existan y que sean múltiplos enteros de la constante de Planck reducida . La idea de Einstein en la cuantificación EBK sobre la dificultad de cuantificar sistemas no integrables se basó en este hecho.
Las coordenadas de acción-ángulo también son útiles en la teoría de perturbaciones de la mecánica hamiltoniana , especialmente para determinar invariantes adiabáticos . Uno de los primeros resultados de la teoría del caos , para la estabilidad dinámica de sistemas dinámicos integrables bajo pequeñas perturbaciones, es el teorema KAM , que establece que los toros invariantes son parcialmente estables.
En la teoría moderna de sistemas integrables se utilizaron variables de ángulo de acción en la solución de la red de Toda , la definición de pares Lax o, más generalmente, la evolución isoespectral de un operador lineal que caracteriza la dinámica integrable y la interpretación de los datos espectrales asociados como variables de ángulo de acción en la formulación hamiltoniana.
Los ángulos de acción resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generadora es la función característica de Hamilton ( no la función principal de Hamilton ). Dado que el hamiltoniano original no depende del tiempo explícitamente, el nuevo hamiltoniano es simplemente el hamiltoniano antiguo expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos como (los ángulos de acción , que son las coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados . No necesitaremos resolver aquí la función generadora en sí; en cambio, la usaremos simplemente como un vehículo para relacionar las coordenadas canónicas nuevas y antiguas .
En lugar de definir directamente los ángulos de acción, definimos sus momentos generalizados, que se asemejan a la acción clásica para cada coordenada generalizada original.
donde la trayectoria de integración está dada implícitamente por la función de energía constante . Dado que el movimiento real no está involucrado en esta integración, estos momentos generalizados son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas
donde se dan por la ecuación típica para una transformación canónica de tipo 2
Por lo tanto, el nuevo hamiltoniano depende únicamente de los nuevos momentos generalizados .
La dinámica de los ángulos de acción viene dada por las ecuaciones de Hamilton.
El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todas las s lo son). Por lo tanto, la solución está dada por
donde es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original sufre una oscilación o rotación de período , el ángulo de acción correspondiente cambia en .
Estas son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales . Para demostrarlo, integramos el cambio neto en el ángulo de acción sobre exactamente una variación completa (es decir, oscilación o rotación) de sus coordenadas generalizadas.
Igualando las dos expresiones obtenemos la ecuación deseada
Los ángulos de acción son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Por lo tanto, en el caso general, cada coordenada generalizada original se puede expresar como una serie de Fourier en todos los ángulos de acción.
donde es el coeficiente de la serie de Fourier. En la mayoría de los casos prácticos, sin embargo, una coordenada generalizada original será expresable como una serie de Fourier solo en sus propios ángulos de acción.
El procedimiento general tiene tres pasos:
En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, es decir, para . En tales casos, el movimiento se denomina degenerado .
El movimiento degenerado indica que hay cantidades generales conservadas adicionales; por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que corresponde a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz .
El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema de coordenadas; por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas .
