Ordenamiento de rutas

Procedimiento de pedido de un producto a los operadores

En física teórica , el ordenamiento de trayectorias es el procedimiento (o un metaoperador ) que ordena un producto de operadores según el valor de un parámetro elegido : ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

Aquí p es una permutación que ordena los parámetros por valor:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

En muchos campos de la física, el tipo más común de ordenamiento de trayectorias es el ordenamiento temporal , que se analiza en detalle a continuación.

Ejemplos

Si un operador no se expresa simplemente como un producto, sino como una función de otro operador, primero debemos realizar una expansión de Taylor de esta función. Este es el caso del bucle de Wilson , que se define como una exponencial ordenada por trayectorias para garantizar que el bucle de Wilson codifique la holonomía de la conexión de calibre . El parámetro σ que determina el orden es un parámetro que describe el contorno y, debido a que el contorno es cerrado, el bucle de Wilson debe definirse como una traza para ser invariante respecto del calibre .

Ordenamiento por tiempo

En la teoría cuántica de campos resulta útil tomar el producto ordenado en el tiempo de los operadores. Esta operación se denota por . (Aunque a menudo se la denomina "operador de ordenación en el tiempo", en sentido estricto no es ni un operador sobre estados ni un superoperador sobre operadores). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Para dos operadores A ( x ) y B ( y ) que dependen de las ubicaciones del espacio-tiempo x e y definimos:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

Aquí y denotan las coordenadas temporales escalares invariantes de los puntos x e y. ^[1] ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$

Explícitamente tenemos

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

donde denota la función escalonada de Heaviside y depende de si los operadores son de naturaleza bosónica o fermiónica . Si son bosónicos, siempre se elige el signo +; si son fermiónicos, el signo dependerá de la cantidad de intercambios de operadores necesarios para lograr el ordenamiento temporal adecuado. Tenga en cuenta que los factores estadísticos no entran aquí. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm }$

Dado que los operadores dependen de su ubicación en el espacio-tiempo (es decir, no solo del tiempo), esta operación de ordenamiento temporal solo es independiente de las coordenadas si los operadores en puntos separados de manera espacial conmutan . Por eso es necesario utilizar en lugar de , ya que generalmente indica el índice temporal dependiente de las coordenadas del punto del espacio-tiempo. Tenga en cuenta que el ordenamiento temporal generalmente se escribe con el argumento de tiempo aumentando de derecha a izquierda. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$

En general, para el producto de n operadores de campo A ₁ ( t ₁ ), …, A _n ( t _n ) el producto ordenado en el tiempo de los operadores se define como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

donde la suma se extiende a lo largo de todos los p's y del grupo simétrico de permutaciones de n grados y

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}}$

La matriz S en la teoría cuántica de campos es un ejemplo de un producto ordenado en el tiempo. La matriz S, que transforma el estado en t = −∞ en un estado en t = +∞ , también puede considerarse como una especie de " holonomía ", análoga al bucle de Wilson . Obtenemos una expresión ordenada en el tiempo por la siguiente razón:

Comenzamos con esta sencilla fórmula para la exponencial

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

Consideremos ahora el operador de evolución discretizada

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

donde es el operador de evolución en un intervalo de tiempo infinitesimal . Los términos de orden superior pueden ignorarse en el límite . El operador se define por ${\displaystyle 1+h_{j}}$ ${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle h_{j}}$

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

Nótese que los operadores de evolución sobre los intervalos de tiempo "pasados" aparecen en el lado derecho del producto. Vemos que la fórmula es análoga a la identidad anterior satisfecha por la exponencial, y podemos escribir

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

La única sutileza que tuvimos que incluir fue el operador de ordenamiento temporal porque los factores en el producto que define S arriba también estaban ordenados temporalmente (y los operadores no conmutan en general) y el operador asegura que este ordenamiento se conservará. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Véase también

• Exponencial ordenada (esencialmente el mismo concepto)
• Serie Dyson
• Teoría de calibre
• Matriz S

Referencias

1. Steven Weinberg , La teoría cuántica de campos , vol. 3, Cambridge University Press, 1995, ISBN  0-521-55001-7 , pág. 143.