En matemáticas , la categoría Grp (o Gp [1] ) tiene la clase de todos los grupos para los objetos y los homomorfismos de grupo para los morfismos . Como tal, es una categoría concreta . El estudio de esta categoría se conoce como teoría de grupos .
Hay dos funtores olvidadizos de Grp , M: Grp → Mon de grupos a monoides y U: Grp → Set de grupos a conjuntos . M tiene dos adjuntos : uno derecho, I: Mon → Grp , y uno izquierdo, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp es el funtor que envía cada monoide al submonoide de elementos invertibles y K: Mon → Grp el funtor que envía cada monoide al grupo de Grothendieck de ese monoide. El funtor olvidadizo U: Grp → Set tiene un adjunto izquierdo dado por el compuesto KF: Set → Mon → Grp , donde F es el funtor libre ; este funtor asigna a cada conjunto S el grupo libre en S.
Los monomorfismos en Grp son precisamente los homomorfismos inyectivos , los epimorfismos son precisamente los homomorfismos sobreyectivos , y los isomorfismos son precisamente los homomorfismos biyectivos .
La categoría Grp es completa y cocompleta . El producto teórico de categorías en Grp es simplemente el producto directo de grupos , mientras que el coproducto teórico de categorías en Grp es el producto libre de grupos. Los objetos cero en Grp son los grupos triviales (que consisten solo en un elemento de identidad).
Todo morfismo f : G → H en Grp tiene un núcleo de teoría de categorías (dado por el núcleo ordinario del álgebra ker f = { x en G | f ( x ) = e }), y también un co-núcleo de teoría de categorías (dado por el grupo factorial de H por la clausura normal de f ( G ) en H ). A diferencia de las categorías abelianas, no es cierto que todo monomorfismo en Grp sea el núcleo de su co-núcleo.
La categoría de grupos abelianos , Ab , es una subcategoría completa de Grp . Ab es una categoría abeliana , pero Grp no lo es. De hecho, Grp ni siquiera es una categoría aditiva , porque no hay una forma natural de definir la "suma" de dos homomorfismos de grupo. Una prueba de esto es la siguiente: el conjunto de morfismos del grupo simétrico S 3 de orden tres consigo mismo, , tiene diez elementos: un elemento z cuyo producto en cada lado con cada elemento de E es z (el homomorfismo envía cada elemento a la identidad), tres elementos tales que su producto en un lado fijo es siempre él mismo (las proyecciones sobre los tres subgrupos de orden dos), y seis automorfismos. Si Grp fuera una categoría aditiva, entonces este conjunto E de diez elementos sería un anillo . En cualquier anillo, el elemento cero está singularizado por la propiedad de que 0 x = x 0=0 para todo x en el anillo, y por lo tanto z tendría que ser el cero de E. Sin embargo, no hay dos elementos distintos de cero de E cuyo producto sea z , por lo que este anillo finito no tendría divisores de cero . Un anillo finito sin divisores de cero es un cuerpo según el pequeño teorema de Wedderburn , pero no hay ningún cuerpo con diez elementos porque todo cuerpo finito tiene como orden la potencia de un primo.
La noción de secuencia exacta tiene sentido en Grp , y algunos resultados de la teoría de categorías abelianas, como el lema de los nueve , el lema de los cinco y sus consecuencias, son válidos en Grp . Sin embargo, el lema de la serpiente no es válido en Grp . [ dudoso – discutir ] [ cita requerida ]
Grp es una categoría regular .
