Los teoremas de incrustación de Nash (o teoremas de incrustación ), llamados así en honor a John Forbes Nash Jr. , afirman que toda variedad de Riemann puede incrustarse isométricamente en algún espacio euclidiano . Isométrico significa preservar la longitud de cada camino . Por ejemplo, doblar pero no estirar ni rasgar una página de papel da una incrustación isométrica de la página en el espacio euclidiano porque las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de arco sin importar cómo se doble la página.
El primer teorema es para incrustaciones continuamente diferenciables ( C 1 ) y el segundo para incrustaciones analíticas o suaves de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una demostración muy simple pero conduce a algunas conclusiones contraintuitivas, mientras que el segundo teorema tiene una demostración técnica y contraintuitiva pero conduce a un resultado menos sorprendente.
El teorema C 1 se publicó en 1954, el teorema C k en 1956. El teorema analítico real fue tratado por primera vez por Nash en 1966; su argumento fue simplificado considerablemente por Greene y Jacobowitz (1971). ( Élie Cartan y Maurice Janet demostraron una versión local de este resultado en la década de 1920). En el caso analítico real, los operadores de suavizado (ver más abajo) en el argumento de la función inversa de Nash pueden reemplazarse por estimaciones de Cauchy. La prueba de Nash del caso C k se extrapoló posteriormente al principio h y al teorema de la función implícita de Nash-Moser . Günther (1989) obtuvo una prueba más simple del segundo teorema de incrustación de Nash, quien redujo el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales a un sistema elíptico, al que se podría aplicar el teorema de mapeo de contracción . [1]
Dada una variedad Riemanniana m -dimensional ( M , g ) , una incrustación isométrica es una incrustación topológica continuamente diferenciable f : M → ℝ n tal que el retroceso de la métrica euclidiana es igual a g . En términos analíticos, esto puede verse (en relación con un gráfico de coordenadas fluido x ) como un sistema de1/2m ( m + 1) muchas ecuaciones diferenciales parciales de primer ordenpara n funciones desconocidas (de valor real):
Si n es menor que1/2m ( m + 1) , entonces hay más ecuaciones que incógnitas. Desde esta perspectiva, se considera sorprendente la existencia de incrustaciones isométricas dadas por el siguiente teorema.
Teorema de Nash-Kuiper. [2] Sea ( M , g ) una variedad de Riemann m -dimensional y f : M → ℝ n una incrustación (o inmersión ) corta y suave en el espacio euclidiano ℝ n , donde n ≥ m + 1 . No es necesario que este mapa sea isométrico. Luego hay una secuencia de incrustaciones (o inmersiones) isométricas continuamente diferenciables M → ℝ n de g que convergen uniformemente a f .
El teorema fue demostrado originalmente por John Nash con el supuesto más fuerte n ≥ m + 2 . Nicolaas Kuiper modificó su método para obtener el teorema anterior. [3] [4]
Las incrustaciones isométricas producidas por el teorema de Nash-Kuiper a menudo se consideran contraintuitivas y patológicas. [5] A menudo no logran ser fácilmente diferenciables. Por ejemplo, un conocido teorema de David Hilbert afirma que el plano hiperbólico no puede sumergirse suavemente isométricamente en ℝ 3 . Cualquier variedad de Einstein de curvatura escalar negativa no puede sumergirse suavemente isométricamente como una hipersuperficie, [6] y un teorema de Shiing-Shen Chern y Kuiper incluso dice que cualquier variedad m cerrada de curvatura seccional no positiva no puede sumergirse suavemente isométricamente en ℝ 2 metro – 1 . [7] Además, algunas incrustaciones isométricas suaves exhiben fenómenos de rigidez que son violados por la elección en gran medida ilimitada de f en el teorema de Nash-Kuiper. Por ejemplo, la imagen de cualquier inmersión en hipersuperficie isométrica suave de la esfera redonda debe ser en sí misma una esfera redonda. [8] Por el contrario, el teorema de Nash-Kuiper asegura la existencia de inmersiones isométricas de hipersuperficie continuamente diferenciables de la esfera redonda que están arbitrariamente cercanas (por ejemplo) a una incrustación topológica de la esfera como un pequeño elipsoide .
Cualquier colector bidimensional cerrado y orientado se puede incrustar suavemente en ℝ 3 . Cualquier incrustación de este tipo se puede escalar mediante una constante arbitrariamente pequeña para que sea corta, en relación con cualquier métrica de Riemann dada en la superficie. Del teorema de Nash-Kuiper se deduce que existen incrustaciones isométricas continuamente diferenciables de cualquier superficie de Riemann donde el radio de una bola circunscrita es arbitrariamente pequeño. Por el contrario, ninguna superficie cerrada curvada negativamente puede incluso incrustarse isométricamente suavemente en ℝ 3 . [9] Además, para cualquier incrustación isométrica suave (o incluso C 2 ) de una superficie de Riemann cerrada arbitraria, existe un límite inferior cuantitativo (positivo) en el radio de una bola circunscrita en términos del área de superficie y curvatura de la superficie incrustada. métrico. [10]
En una dimensión superior, como se desprende del teorema de incrustación de Whitney , el teorema de Nash-Kuiper muestra que cualquier variedad de Riemann de m -dimensional cerrada admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en una vecindad arbitrariamente pequeña en un espacio euclidiano de 2 m -dimensional. Aunque el teorema de Whitney también se aplica a variedades no compactas, tales incrustaciones no pueden simplemente escalarse mediante una pequeña constante para acortarse. Nash demostró que cada variedad de Riemannian m -dimensional admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en ℝ 2 m + 1 . [11]
En la época del trabajo de Nash, su teorema se consideraba una especie de curiosidad matemática. El resultado en sí no ha encontrado aplicaciones importantes. Sin embargo, el método de prueba de Nash fue adaptado por Camillo De Lellis y László Székelyhidi para construir soluciones de baja regularidad, con energía cinética prescrita , de las ecuaciones de Euler del estudio matemático de la mecánica de fluidos . En términos analíticos, las ecuaciones de Euler tienen una similitud formal con las ecuaciones de inclusión isométricas, a través de la no linealidad cuadrática en las primeras derivadas de la función desconocida. [12] Las ideas de la prueba de Nash fueron resumidas por Mikhael Gromov al principio de integración convexa , con un correspondiente principio h . [13] Esto fue aplicado por Stefan Müller y Vladimír Šverák al decimonoveno problema de Hilbert , construyendo minimizadores de diferenciabilidad mínima en el cálculo de variaciones . [14]
La declaración técnica que aparece en el artículo original de Nash es la siguiente: si M es una variedad de Riemann de m dimensiones dada (analítica o de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞), entonces existe un número n (con n ≤ m (3 m +11)/2 si M es una variedad compacta, y con n ≤ m ( m +1)(3 m +11)/2 si M es una variedad no compacta) y una incrustación isométrica ƒ: M → R n (también analítico o de clase C k ). [15] Es decir, ƒ es una incorporación de variedades C k y para cada punto p de M , la derivada dƒ p es una aplicación lineal del espacio tangente T p M a R n que es compatible con el producto interno dado en T p M y el producto escalar estándar de R n en el siguiente sentido:
para todos los vectores u , v en T p M. Cuando n es mayor que1/2m ( m + 1) , este es un sistema indeterminado de ecuaciones diferenciales parciales (PDE).
El teorema de incrustación de Nash es un teorema global en el sentido de que toda la variedad está incrustada en R n . Un teorema de incrustación local es mucho más simple y se puede demostrar utilizando el teorema de función implícita del cálculo avanzado en una vecindad de coordenadas de la variedad. La prueba del teorema de incrustación global se basa en el teorema de función implícita de Nash para incrustaciones isométricas. Este teorema ha sido generalizado por varios otros autores a contextos abstractos, donde se lo conoce como teorema de Nash-Moser . La idea básica en la prueba del teorema de la función implícita de Nash es el uso del método de Newton para construir soluciones. El método estándar de Newton no logra converger cuando se aplica al sistema; Nash utiliza operadores de suavizado definidos por convolución para hacer converger la iteración de Newton: este es el método de Newton con poscondicionamiento. El hecho de que esta técnica proporcione una solución es en sí mismo un teorema de existencia y de interés independiente. En otros contextos, Leonid Kantorovich había demostrado anteriormente la convergencia del método estándar de Newton .
