Teorema de Clairaut (gravedad)

Teorema sobre la gravedad

Figura 1: Un elipsoide

Figura 2: Representación en alambre de un elipsoide (esferoide achatado)

El teorema de Clairaut caracteriza la gravedad superficial sobre un elipsoide viscoso rotatorio en equilibrio hidrostático bajo la acción de su campo gravitatorio y la fuerza centrífuga. Fue publicado en 1743 por Alexis Claude Clairaut en un tratado ^{[1] que sintetizaba evidencia física y geodésica de que la Tierra es un} elipsoide rotacional achatado . ^{[2] [3]} Inicialmente se utilizó para relacionar la gravedad en cualquier punto de la superficie de la Tierra con la posición de ese punto, lo que permitió calcular la elipticidad de la Tierra a partir de mediciones de la gravedad en diferentes latitudes. Hoy en día ha sido suplantado en gran medida por la ecuación de Somigliana .

Historia

Aunque se sabía desde la antigüedad que la Tierra era esférica, en el siglo XVII se acumulaban pruebas de que no era una esfera perfecta. En 1672, Jean Richer encontró la primera evidencia de que la gravedad no era constante sobre la Tierra (como lo sería si la Tierra fuera una esfera); llevó un reloj de péndulo a Cayena , en la Guayana Francesa , y descubrió que perdía 2+1 ⁄ 2 minutos por día en comparación con su ritmo en París. ^{[4] [5]} Esto indicó que la aceleración de la gravedad era menor en Cayena que en París. Los gravímetros de péndulo comenzaron a usarse en viajes a partes remotas del mundo y poco a poco se descubrió que la gravedad aumenta suavemente con el aumento de la latitud, siendo la aceleración gravitacional aproximadamente un 0,5% mayor en los polos que en el ecuador.

El físico británico Isaac Newton lo explicó en sus Principia Mathematica (1687), en los que expuso su teoría y sus cálculos sobre la forma de la Tierra. ^[6] Newton teorizó correctamente que la Tierra no era exactamente una esfera, sino que tenía una forma elipsoidal achatada , ligeramente achatada en los polos debido a la fuerza centrífuga de su rotación. Utilizando cálculos geométricos, dio un argumento concreto sobre la hipotética forma elipsoidal de la Tierra. ^[7]

El objetivo de los Principia no era proporcionar respuestas exactas a los fenómenos naturales, sino teorizar posibles soluciones a estos factores no resueltos en la ciencia. Newton presionó a los científicos para que investigaran más a fondo las variables inexplicadas. Dos investigadores destacados a los que inspiró fueron Alexis Clairaut y Pierre Louis Maupertuis . Ambos intentaron demostrar la validez de la teoría de Newton sobre la forma de la Tierra. Para ello, realizaron una expedición a Laponia en un intento de medir con precisión un arco meridiano . A partir de esas mediciones, pudieron calcular la excentricidad de la Tierra, su grado de desviación de una esfera perfecta.

Clairaut confirmó que la teoría de Newton de que la Tierra era elipsoidal era correcta, pero que sus cálculos eran erróneos, y escribió una carta a la Royal Society de Londres con sus hallazgos. ^[8] La sociedad publicó un artículo en Philosophical Transactions al año siguiente, 1737. ^[9] En él, Clairaut señaló (Sección XVIII) que la Proposición XX de Newton del Libro 3 no se aplica a la Tierra real. Afirmaba que el peso de un objeto en algún punto de la Tierra dependía únicamente de la proporción de su distancia desde el centro de la Tierra a la distancia desde el centro a la superficie en el objeto o por encima de él, de modo que el peso total de una columna de agua en el centro de la Tierra sería el mismo sin importar en qué dirección subiera la columna a la superficie. De hecho, Newton había dicho que esto se basaba en el supuesto de que la materia dentro de la Tierra tenía una densidad uniforme (en la Proposición XIX). Newton se dio cuenta de que la densidad probablemente no era uniforme y propuso esto como una explicación de por qué las mediciones de la gravedad encontraron una diferencia mayor entre las regiones polares y las regiones ecuatoriales de lo que predijo su teoría. Sin embargo, también pensó que esto significaría que el ecuador estaba más lejos del centro de lo que predijo su teoría, y Clairaut señala que lo contrario es cierto. Clairaut señala al comienzo de su artículo que Newton no explicó por qué pensaba que la Tierra era un elipsoide en lugar de como cualquier otro óvalo, sino que Clairaut, y James Stirling casi simultáneamente, habían demostrado por qué la Tierra debería ser un elipsoide en 1736.

El artículo de Clairaut tampoco proporcionó una ecuación válida para respaldar su argumento, lo que generó mucha controversia en la comunidad científica. No fue hasta que Clairaut escribió Théorie de la figure de la terre en 1743 que se proporcionó una respuesta adecuada. En ella, promulgó lo que hoy se conoce más formalmente como el teorema de Clairaut.

Fórmula

El teorema de Clairaut dice que la aceleración debida a la gravedad g (incluyendo el efecto de la fuerza centrífuga) sobre la superficie de un esferoide en equilibrio hidrostático (siendo un fluido o haber sido un fluido en el pasado, o tener una superficie cerca del nivel del mar) en la latitud φ es: ^{[10] [11]}

$${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\,,}$$

donde es el valor de la aceleración de la gravedad en el ecuador, m la relación entre la fuerza centrífuga y la gravedad en el ecuador, y f el aplanamiento de una sección meridiana de la tierra, definida como: ${\displaystyle G_{e}}$

$${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}\,,}$$

(donde a = semieje mayor, b = semieje menor). La contribución de la fuerza centrífuga es aproximadamente mientras que la atracción gravitatoria en sí varía aproximadamente como Esta fórmula se cumple cuando la superficie es perpendicular a la dirección de la gravedad (incluida la fuerza centrífuga), incluso si (como suele ser habitual) la densidad no es constante (en cuyo caso la atracción gravitatoria se puede calcular en cualquier punto a partir de la forma únicamente, sin referencia a ). Para la Tierra, y mientras que es mayor en los polos que en el ecuador. ^[12] ${\displaystyle -G_{e}m\cos ^{2}\varphi ,}$ ${\displaystyle G_{e}\left({\frac {3}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi .}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\approx 1/289,}$ ${\displaystyle {\frac {5}{2}}m\approx 1/116,}$ ${\displaystyle f\approx 1/300,}$ ${\displaystyle g}$

Clairaut derivó la fórmula bajo el supuesto de que el cuerpo estaba compuesto de capas esferoidales coaxiales concéntricas de densidad constante. ^[13] Este trabajo fue posteriormente continuado por Laplace , quien asumió superficies de igual densidad que eran casi esféricas. ^{[12] [14]} El matemático inglés George Stokes demostró en 1849 ^[12] que el teorema se aplicaba a cualquier ley de densidad siempre que la superficie externa fuera un esferoide de equilibrio. ^{[15] [16]} Se puede encontrar una historia de desarrollos más recientes y ecuaciones más detalladas para g en Khan. ^[17]

La expresión anterior para g ha sido suplantada por la ecuación de Somigliana (según Carlo Somigliana ).

Geodesia

La forma esferoidal de la Tierra es el resultado de la interacción entre la gravedad y la fuerza centrífuga causada por la rotación de la Tierra sobre su eje. ^{[18] [19]} En sus Principia , Newton propuso que la forma de equilibrio de una Tierra rotatoria homogénea era un elipsoide rotacional con un aplanamiento f dado por 1/230. ^{[20] [21]} Como resultado, la gravedad aumenta desde el ecuador hasta los polos. Aplicando el teorema de Clairaut, Laplace encontró a partir de 15 valores de gravedad que f = 1/330. Una estimación moderna es 1/298.25642. ^[22] Consulte Figura de la Tierra para obtener más detalles.

Para una descripción detallada de la construcción del modelo de referencia de la Tierra para la geodesia, véase Chatfield. ^[23]

Referencias

1. Teoría de la forma de la tierra, basada en los principios de la hidrostática ( Theory de la forma de la tierra, extraída de los principios de la hidrostática ) Del catálogo de libros científicos de la biblioteca de la Royal Society.
2. Wolfgang Torge (2001). Geodesia: una introducción (3ª ed.). Walter de Gruyter . pag. 10.ISBN​ 3-11-017072-8.
3. Edward John Routh (2001). Tratado sobre estática analítica con numerosos ejemplos. Vol. 2. Adamant Media Corporation. pág. 154. ISBN 1-4021-7320-2.Una reimpresión de la obra original publicada en 1908 por Cambridge University Press.
4. Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). Un libro de texto de física, 4.ª edición. Londres: Charles Griffin & Co., pág. 20.
5. Victor F., Lenzen; Robert P. Multauf (1964). "Documento 44: Desarrollo de péndulos de gravedad en el siglo XIX". Boletín 240 del Museo Nacional de los Estados Unidos: Contribuciones del Museo de Historia y Tecnología reimpreso en Boletín del Instituto Smithsoniano . Washington: Smithsonian Institution Press . p. 307. Consultado el 28 de enero de 2009 .
6. Proposiciones X-XXIV (Movimientos de los cuerpos celestes y del mar), Proposiciones XIX y XX. Original en latín.
7. Newton, Isaac. Principia, Libro III, Proposición XIX, Problema III .
8. Greenburg, John (1995). El problema de la forma de la Tierra desde Newton hasta Clairaut. Nueva York: Cambridge University Press . pp. 132. ISBN. 0-521-38541-5.
9. Clairaut, Alexis; Colson, John (1737). "Una investigación sobre la figura de los planetas que giran alrededor de un eje, suponiendo que la densidad varía continuamente desde el centro hacia la superficie". Philosophical Transactions . JSTOR  103921.
10. WW Rouse Ball Breve relato de la historia de las matemáticas (4.ª edición, 1908)
11. Walter William Rouse Ball (1901). Breve relato de la historia de las matemáticas (3.ª ed.). Macmillan. pág. 384. Breve relato de la historia de las matemáticas (4.ª edición, 1908) de WW Rouse Ball.
12. Stokes, GG (1849). "Sobre atracciones y sobre el teorema de Clairaut". The Cambridge and Dublin Mathematical Journal . 4 : 194–219.
13. Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). Un libro de texto de física (4.ª ed.). Londres: Charles Griffin & Co., págs. 22-23.
14. Isaac Todhunter (enero de 1999). Una historia de las teorías matemáticas de la atracción y la figura de la Tierra desde la época de Newton hasta la de Laplace. Vol. 2. Elibron Classics. ISBN 1-4021-1717-5.Reimpresión de la edición original de 1873 publicada por Macmillan and Co.
15. Osmond Fisher (1889). Física de la corteza terrestre. Macmillan and Co., pág. 27.
16. John Henry Poynting; Joseph John Thomson (1907). Un libro de texto de física. C. Griffin. pág. 22. Teorema de Clairaut.
17. Expediente de la NASA sobre la figura de equilibrio de la Tierra por Mohammad A. Khan (1968)
18. John P. Vinti; Gim J. Der; Nino L. Bonavito (1998). Mecánica orbital y celeste. Progreso en astronáutica y aeronáutica, v. 177. Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . p. 171. ISBN 1-56347-256-2.
19. Arthur Gordon Webster (1904). Dinámica de partículas y de cuerpos rígidos, elásticos y fluidos: lecciones sobre física matemática. BG Teubner . pág. 468.
20. Isaac Newton: Principia Libro III Proposición XIX Problema III, pág. 407 en la traducción de Andrew Motte.
21. Véase los Principia en línea en Andrew Motte Translation
22. Tabla 1.1 Estándares numéricos del IERS (2003))
23. Averil B. Chatfield (1997). Fundamentos de navegación inercial de alta precisión. Volumen 174 en Progress in Astronautics and Aeronautics . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. Capítulo 1, Parte VIII p. 7. ISBN 1-56347-243-0.