Un elipsoide terrestre o esferoide terrestre es una figura matemática que se aproxima a la forma de la Tierra y se utiliza como marco de referencia para cálculos en geodesia , astronomía y geociencias . Se han utilizado varios elipsoides diferentes como aproximaciones.
Se trata de un esferoide (un elipsoide de revolución ) cuyo eje menor (diámetro más corto), que une el Polo Norte geográfico y el Polo Sur , está aproximadamente alineado con el eje de rotación de la Tierra. El elipsoide está definido por el eje ecuatorial ( a ) y el eje polar ( b ); su diferencia radial es de algo más de 21 km, o el 0,335% de a (que no es exactamente 6.400 km).
Existen muchos métodos para determinar los ejes de un elipsoide terrestre, que van desde los arcos meridianos hasta la geodesia satelital moderna o el análisis e interconexión de redes geodésicas continentales . Entre los diferentes conjuntos de datos utilizados en los estudios nacionales hay varios de especial importancia: el elipsoide de Bessel de 1841, el elipsoide internacional de Hayford de 1924 y (para posicionamiento GPS ) el elipsoide WGS84 .
Hay dos tipos de elipsoide: medio y de referencia.
El conjunto de datos que describe el promedio global de la curvatura de la superficie terrestre se denomina elipsoide terrestre medio . Hace referencia a una coherencia teórica entre la latitud geográfica y la curvatura meridional del geoide . Esta última es cercana al nivel medio del mar y, por lo tanto, un elipsoide terrestre ideal tiene el mismo volumen que el geoide.
Si bien el elipsoide terrestre medio es la base ideal de la geodesia global, para las redes regionales un elipsoide de referencia puede ser la mejor opción. [1] Cuando las mediciones geodésicas deben calcularse en una superficie de referencia matemática, esta superficie debe tener una curvatura similar a la del geoide regional; de lo contrario, la reducción de las mediciones producirá pequeñas distorsiones.
Esta es la razón de la "larga vida" de los antiguos elipsoides de referencia, como el de Hayford o el de Bessel , a pesar de que sus ejes principales se desvían varios cientos de metros de los valores modernos. Otra razón es de carácter jurídico: las coordenadas de millones de mojones deben permanecer fijas durante un largo periodo de tiempo. Si cambia su superficie de referencia, también cambian las propias coordenadas.
Sin embargo, para las redes internacionales, el posicionamiento GPS o la astronáutica , estas razones regionales son menos relevantes. A medida que el conocimiento de la figura de la Tierra es cada vez más preciso, la Unión Geocientífica Internacional (IUGG) suele adaptar los ejes del elipsoide terrestre a los mejores datos disponibles.
En geodesia , un elipsoide de referencia es una superficie definida matemáticamente que se aproxima al geoide , que es la figura más verdadera e imperfecta de la Tierra u otro cuerpo planetario, a diferencia de una esfera perfecta, lisa e inalterada, que tiene en cuenta las ondulaciones de la gravedad de los cuerpos debido a las variaciones en la composición y densidad del interior , así como el aplanamiento posterior causado por la fuerza centrífuga de la rotación de estos objetos masivos (para los cuerpos planetarios que sí giran). Debido a su relativa simplicidad, los elipsoides de referencia se utilizan como una superficie preferida en la que se realizan cálculos de redes geodésicas y se definen coordenadas de puntos como latitud , longitud y elevación .
En el contexto de la estandarización y las aplicaciones geográficas, un elipsoide de referencia geodésica es el modelo matemático utilizado como base por las definiciones de sistemas de referencia espacial o de datos geodésicos .
En 1687 Isaac Newton publicó los Principia en los que incluyó una prueba de que un cuerpo fluido autogravitante giratorio en equilibrio toma la forma de un elipsoide de revolución aplanado ("oblato"), generado por una elipse rotada alrededor de su diámetro menor; una forma que él denominó esferoide oblato . [2] [3]
En geofísica, geodesia y áreas relacionadas, la palabra "elipsoide" se entiende como "elipsoide achatado de revolución", y el término más antiguo "esferoide achatado" casi no se utiliza. [4] [5] Para los cuerpos que no pueden aproximarse bien mediante un elipsoide de revolución se utiliza un elipsoide triaxial (o escaleno).
La forma de un elipsoide de revolución está determinada por los parámetros de forma de esa elipse . El semieje mayor de la elipse, a , se convierte en el radio ecuatorial del elipsoide; el semieje menor de la elipse, b , se convierte en la distancia desde el centro hasta cualquiera de los polos. Estas dos longitudes especifican por completo la forma del elipsoide.
Sin embargo, en las publicaciones de geodesia es común especificar el semieje mayor (radio ecuatorial) a y el aplanamiento f , definido como:
Es decir, f es la cantidad de aplanamiento en cada polo, en relación con el radio en el ecuador. Esto se expresa a menudo como una fracción 1/ m ; m = 1/ f es entonces el "aplanamiento inverso". En geodesia se utilizan muchos otros parámetros de elipse , pero todos pueden estar relacionados con uno o dos de los conjuntos a , b y f .
En el pasado se han utilizado muchos elipsoides para modelar la Tierra, con distintos valores supuestos de a y b , así como distintas posiciones supuestas del centro y distintas orientaciones del eje en relación con la Tierra sólida. A partir de finales del siglo XX, las mediciones mejoradas de las órbitas de los satélites y de las posiciones de las estrellas han proporcionado determinaciones extremadamente precisas del centro de masas de la Tierra y de su eje de revolución; y esos parámetros se han adoptado también para todos los elipsoides de referencia modernos.
El elipsoide WGS-84 , ampliamente utilizado para cartografía y navegación por satélite, tiene una f cercana a 1/300 (más precisamente, 1/298,257223563, por definición), lo que corresponde a una diferencia de los semiejes mayor y menor de aproximadamente 21 km (13 millas) (más precisamente, 21,3846857548205 km). A modo de comparación, la Luna de la Tierra es incluso menos elíptica, con un achatamiento de menos de 1/825, mientras que Júpiter es visiblemente achatado en alrededor de 1/15 y una de las lunas triaxiales de Saturno , Telesto , está muy achatada, con f entre 1/3 y 1/2 (lo que significa que el diámetro polar está entre el 50% y el 67% del ecuatorial).
La medición de arcos es el método histórico para determinar el elipsoide. Dos mediciones de arcos meridianos permitirán la derivación de dos parámetros necesarios para especificar un elipsoide de referencia. Por ejemplo, si las mediciones se realizaran hipotéticamente exactamente sobre el plano del ecuador y cualquiera de los polos geográficos, los radios de curvatura así obtenidos estarían relacionados con el radio ecuatorial y el radio polar, respectivamente a y b (véase: Radio de curvatura polar y ecuatorial de la Tierra ). Entonces, el aplanamiento se deduciría fácilmente de su definición:
Para dos mediciones de arco cada una en latitudes promedio arbitrarias , , la solución parte de una aproximación inicial para el radio ecuatorial y para el aplanamiento . El radio de curvatura meridional teórico de la Tierra se puede calcular en la latitud de cada medición de arco como:
donde . [6] Entonces las discrepancias entre los valores empíricos y teóricos del radio de curvatura se pueden formar como . Finalmente, las correcciones para el radio ecuatorial inicial y el aplanamiento se pueden resolver mediante un sistema de ecuaciones lineales formuladas mediante la linealización de : [7]
donde las derivadas parciales son: [7]
Los arcos más largos con múltiples determinaciones de latitud intermedia pueden determinar por completo el elipsoide que mejor se ajusta a la región estudiada. En la práctica, se utilizan múltiples mediciones de arcos para determinar los parámetros del elipsoide mediante el método de ajuste de mínimos cuadrados . Los parámetros determinados suelen ser el semieje mayor, , y cualquiera de los semiejes menores, , aplanamiento o excentricidad.
Los efectos sistemáticos a escala regional observados en las mediciones del radio de curvatura reflejan la ondulación del geoide y la desviación de la vertical , como se explora en la nivelación astrogeodésica .
La gravimetría es otra técnica para determinar el aplanamiento de la Tierra, según el teorema de Clairaut .
La geodesia moderna ya no utiliza simples arcos meridianos o redes de triangulación terrestre, sino los métodos de la geodesia satelital , especialmente la gravimetría satelital .
Las coordenadas geodésicas son un tipo de sistema de coordenadas ortogonales curvilíneas que se utiliza en geodesia y que se basa en un elipsoide de referencia . Incluyen la latitud geodésica (norte/sur) ϕ , la longitud (este/oeste) λ y la altura elipsoidal h (también conocida como altura geodésica [8] ).
La tríada también se conoce como coordenadas elipsoidales de la Tierra [9] (que no deben confundirse con coordenadas elipsoidales-armónicas o coordenadas elipsoidales ).
Los modelos de elipsoides de referencia que se enumeran a continuación han sido útiles en el trabajo geodésico y muchos de ellos todavía se utilizan. Los elipsoides más antiguos llevan el nombre de la persona que los derivó y se indica el año de desarrollo. En 1887, el agrimensor inglés coronel Alexander Ross Clarke CB FRS RE recibió la Medalla de Oro de la Royal Society por su trabajo en la determinación de la figura de la Tierra. El elipsoide internacional fue desarrollado por John Fillmore Hayford en 1910 y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1924, que lo recomendó para su uso internacional.
En la reunión de la IUGG de 1967 celebrada en Lucerna (Suiza), se recomendó la adopción del elipsoide denominado GRS-67 ( Sistema de Referencia Geodésica de 1967) en la lista. No se recomendó que el nuevo elipsoide sustituyera al Elipsoide Internacional (1924), pero se abogó por su uso cuando se requiere un mayor grado de precisión. Pasó a formar parte del GRS-67, que fue aprobado y adoptado en la reunión de la IUGG de 1971 celebrada en Moscú. Se utiliza en Australia para el Datum Geodésico Australiano y en el Datum Sudamericano de 1969.
El GRS-80 (Sistema de Referencia Geodética 1980) aprobado y adoptado por la IUGG en su reunión de Canberra, Australia, de 1979 se basa en el radio ecuatorial (semieje mayor del elipsoide terrestre) , la masa total , el factor de forma dinámico y la velocidad angular de rotación , lo que hace que el aplanamiento inverso sea una cantidad derivada. La pequeña diferencia observada entre el GRS-80 y el WGS-84 resulta de un truncamiento involuntario en las constantes definitorias de este último: mientras que el WGS-84 fue diseñado para adherirse estrechamente al GRS-80, incidentalmente el aplanamiento derivado del WGS-84 resultó diferir ligeramente del aplanamiento del GRS-80 porque el coeficiente gravitacional armónico zonal de segundo grado normalizado, que se derivó del valor del GRS-80 para , se truncó a ocho dígitos significativos en el proceso de normalización. [10]
Un modelo elipsoidal describe únicamente la geometría del elipsoide y una fórmula de campo de gravedad normal que la acompaña. Por lo general, un modelo elipsoidal es parte de un datum geodésico más amplio . Por ejemplo, el antiguo ED-50 ( Datum europeo de 1950 ) se basa en el Elipsoide Hayford o Internacional . El WGS-84 tiene la particularidad de que se utiliza el mismo nombre tanto para el sistema de referencia geodésico completo como para su modelo elipsoidal componente. Sin embargo, los dos conceptos (modelo elipsoidal y sistema de referencia geodésico) siguen siendo distintos.
Tenga en cuenta que el mismo elipsoide puede tener distintos nombres. Es mejor mencionar las constantes que lo definen para una identificación inequívoca.
