Descomposición primaria

En álgebra, expresión de un ideal como la intersección de ideales de un tipo específico.

En matemáticas , el teorema de Lasker-Noether establece que cada anillo noetheriano es un anillo de Lasker , lo que significa que cada ideal puede descomponerse como una intersección, llamada descomposición primaria , de un número finito de ideales primarios (que están relacionados, pero no son exactamente iguales). como, poderes de ideales primos ). El teorema fue demostrado por primera vez por Emanuel Lasker  (1905) para el caso especial de anillos polinomiales y anillos de series de potencias convergentes, y Emmy Noether  (1921) lo demostró en toda su generalidad .

El teorema de Lasker-Noether es una extensión del teorema fundamental de la aritmética y, de manera más general, del teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente para todos los anillos noetherianos. El teorema juega un papel importante en la geometría algebraica , al afirmar que todo conjunto algebraico puede descomponerse de forma única en una unión finita de componentes irreducibles .

Tiene una extensión sencilla a los módulos que indica que cada submódulo de un módulo generado de forma finita sobre un anillo noetheriano es una intersección finita de submódulos primarios. Este contiene el caso de los anillos como un caso especial, considerando el anillo como un módulo sobre sí mismo, de modo que los ideales son submódulos. Esto también generaliza la forma de descomposición primaria del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , y para el caso especial de anillos polinomiales sobre un campo, generaliza la descomposición de un conjunto algebraico en una unión finita de variedades (irreducibles). .

El primer algoritmo para calcular descomposiciones primarias de anillos polinomiales sobre un campo de característica 0 ^{[Nota 1]} fue publicado por la alumna de Noether, Grete Hermann  (1926). ^{[1] [2]} La descomposición no es válida en general para los anillos noetherianos no conmutativos. Noether dio un ejemplo de un anillo noetheriano no conmutativo con un ideal correcto que no es una intersección de ideales primarios.

Descomposición primaria de un ideal.

Sea un anillo conmutativo noetheriano. Un ideal de se llama primario si es un ideal propio y para cada par de elementos y en tal que está en , cualquiera o alguna potencia de está en ; de manera equivalente, cada divisor cero en el cociente es nilpotente. El radical de un ideal primario es un ideal primario y se dice que es primario para . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}$

Sea un ideal en . Luego tiene una descomposición primaria irreundante en ideales primarios: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\ }$.

Irreundancia significa:

• Eliminando cualquiera de los cambios la intersección, es decir, para cada uno tenemos: . ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}}$
• Los ideales principales son todos distintos. ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$

Además, esta descomposición es única en dos sentidos:

• El conjunto está determinado únicamente por , y ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$
• Si es un elemento mínimo del conjunto anterior, entonces está determinado únicamente por ; de hecho, es la imagen previa debajo del mapa de localización . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$

Los ideales primarios que corresponden a ideales primos no mínimos en general no son únicos (ver un ejemplo a continuación). Para conocer la existencia de la descomposición, consulte #Descomposición primaria de primos asociados a continuación. ${\displaystyle I}$

Los elementos de se llaman divisores primos de o primos pertenecientes a . En el lenguaje de la teoría de módulos, como se analiza más adelante, el conjunto es también el conjunto de primos asociados del módulo . Explícitamente, eso significa que existen elementos tales que ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.}$^[3]

A modo de atajo, algunos autores llaman a un primo asociado de simplemente un primo asociado de (tenga en cuenta que esta práctica entrará en conflicto con el uso en la teoría del módulo). ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$

• Los elementos mínimos de son los mismos que contienen los ideales primos mínimos y se llaman primos aislados . ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$
• Los elementos no mínimos, por otro lado, se denominan primos incrustados .

En el caso del anillo de los números enteros , el teorema de Lasker-Noether equivale al teorema fundamental de la aritmética . Si un número entero tiene factorización prima , entonces la descomposición primaria del ideal generado por in , es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}}$ ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

De manera similar, en un dominio de factorización único , si un elemento tiene una factorización prima donde es una unidad , entonces la descomposición primaria del ideal principal generado por es ${\displaystyle f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

Ejemplos

Los ejemplos de la sección están diseñados para ilustrar algunas propiedades de las descomposiciones primarias, que pueden parecer sorprendentes o contraintuitivas. Todos los ejemplos son ideales en un anillo polinomial sobre un campo k .

Intersección versus producto

La descomposición primaria del ideal es ${\displaystyle k[x,y,z]}$ ${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .}$

Debido al generador de grado uno, I no es producto de dos ideales mayores. Un ejemplo similar se da, en dos indeterminados por

${\displaystyle I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .}$

Poder primario versus poder primario

En , el ideal es un ideal primario que tiene como primo asociado. No es un poder de su prima asociada. ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \langle x,y^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

No unicidad y prima incrustada

Para cada entero positivo n , una descomposición primaria en del ideal es ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .}$

Los primos asociados son

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .}$

Ejemplo: Sea N  =  R  =  k [ x ,  y ] para algún campo k y sea M el ideal ( xy ,  y ² ). Entonces M tiene dos descomposiciones primarias mínimas diferentes M = ( y ) ∩ ( x , y ² ) = ( y ) ∩ ( x  +  y ,  y ² ). El primo mínimo es ( y ) y el primo incrustado es ( x ,  y ).

Primo no asociado entre dos primos asociados

En el ideal tiene la descomposición primaria (no única) ${\displaystyle k[x,y,z],}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .}$

Los ideales primos asociados son y son un ideal primo no asociado tal que ${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .}$

Un ejemplo complicado

A menos que se trate de ejemplos muy simples, una descomposición primaria puede ser difícil de calcular y puede tener un resultado muy complicado. El siguiente ejemplo ha sido diseñado para proporcionar un resultado tan complicado y, sin embargo, ser accesible para cálculos escritos a mano.

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}}$

ser dos polinomios homogéneos en x , y , cuyos coeficientes sean polinomios en otros indeterminados sobre un cuerpo k . Es decir, P y Q pertenecen y es en este anillo donde se busca una descomposición primaria del ideal. Para calcular la descomposición primaria, suponemos primero que 1 es el máximo común divisor de P y Q. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{h}}$ ${\displaystyle R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],}$ ${\displaystyle I=\langle P,Q\rangle }$

Esta condición implica que I no tiene un componente primario de altura uno. Como I es generado por dos elementos, esto implica que es una intersección completa (más precisamente, define un conjunto algebraico , que es una intersección completa) y, por lo tanto, todos los componentes primarios tienen altura dos. Por lo tanto, los primos asociados de I son exactamente los primos ideales de altura dos que contienen a I.

Se deduce que es un primo asociado de I. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

Sea la resultante homogénea en x , y de P y Q . Como el máximo común divisor de P y Q es una constante, la resultante D no es cero y la teoría resultante implica que I contiene todos los productos de D por un monomio en x , y de grado m + n – 1 . Como todos estos monomios pertenecen al componente primario contenido en Este componente primario contiene P y Q , y el comportamiento de las descomposiciones primarias bajo localización muestra que este componente primario es ${\displaystyle D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]}$ ${\displaystyle D\not \in \langle x,y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$

${\displaystyle \{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.}$

En resumen, tenemos un componente primario, con el primo asociado muy simple, de modo que todos sus conjuntos generadores involucran todos los indeterminados. ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

El otro componente principal contiene D . Se puede demostrar que si P y Q son suficientemente genéricos (por ejemplo , si los coeficientes de P y Q son indeterminados distintos), entonces sólo hay otro componente primario, que es un ideal primo, y es generado por P , Q y D.

Interpretación geométrica

En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín V ( I ) se define como el conjunto de los ceros comunes de un ideal I de un anillo polinómico. ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

Una descomposición primaria irreundante

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}}$

de I define una descomposición de V ( I ) en una unión de conjuntos algebraicos V ( Q _i ) , que son irreducibles, como no ser la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños.

Si es el primo asociado de , entonces el teorema de Lasker-Noether muestra que V ( I ) tiene una descomposición irredundante única en variedades algebraicas irreducibles ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle V(P_{i})=V(Q_{i}),}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup V(P_{i}),}$

donde la unión está restringida a números primos asociados mínimos. Estos primos mínimos asociados son los componentes primarios del radical de I. Por esta razón, la descomposición primaria del radical de I a veces se denomina descomposición primaria de I.

Los componentes de una descomposición primaria (así como de la descomposición algebraica de conjuntos) correspondientes a números primos mínimos se dicen aislados , y los demás se dicenincorporado .

Para la descomposición de variedades algebraicas, sólo los números primos mínimos son interesantes, pero en la teoría de intersecciones y, más generalmente, en la teoría de esquemas , la descomposición primaria completa tiene un significado geométrico.

Descomposición primaria de primos asociados

Hoy en día es común hacer descomposición primaria de ideales y módulos dentro de la teoría de primos asociados . El influyente libro de texto Algèbre conmutativo de Bourbaki , en particular, adopta este enfoque.

Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Por definición, un primo asociado es un primo ideal que es el aniquilador de un elemento distinto de cero de M ; es decir, para algunos (esto implica ). De manera equivalente, un ideal primo es un primo asociado de M si hay una inyección de R -módulos . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M}$

Se puede demostrar que un elemento máximo del conjunto de aniquiladores de elementos distintos de cero de M es un ideal primo y, por tanto, cuando R es un anillo noetheriano, existe un primo asociado de M si y sólo si M es distinto de cero.

El conjunto de primos asociados de M se denota por o . Directamente de la definición, ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

• Si entonces . ${\displaystyle M=\bigoplus _{i}M_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})}$
• Para una secuencia exacta , . ^[4] ${\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}$
• Si R es un anillo noetheriano, entonces se refiere al soporte . ^[5] Además, el conjunto de elementos mínimos de es el mismo que el conjunto de elementos mínimos de . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$

Si M es un módulo generado finitamente sobre R , entonces hay una secuencia ascendente finita de submódulos

${\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}$

tal que cada cociente M _i / M _i−1 es isomorfo para algunos ideales primos , cada uno de los cuales necesariamente apoya a M. ^[6] Además, cada primo asociado de M ocurre entre el conjunto de primos ; es decir, ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)}$. ^[7]

(En general, estas inclusiones no son igualdades). En particular, es un conjunto finito cuando M se genera de forma finita. ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

Sea un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano R y N un submódulo de M. Dado el conjunto de primos asociados de , existen submódulos tales que y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle Q_{i}\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$

${\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.}$^{[8] [9]}

Un submódulo N de M se llama -primario si . Un submódulo del R -módulo R es -primario como submódulo si y sólo si es un -primario ideal; así, cuando , la descomposición anterior es precisamente una descomposición primaria de un ideal. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M=R}$

Tomando , la descomposición anterior dice que el conjunto de números primos asociados de un módulo M generado finitamente es el mismo que cuando (sin generación finita, puede haber infinitos números primos asociados). ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})|i\}}$ ${\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}$

Propiedades de los primos asociados

Sea un anillo noetheriano. Entonces ${\displaystyle R}$

• El conjunto de divisores cero de R es el mismo que la unión de los primos asociados de R (esto se debe a que el conjunto de divisores cero de R es la unión del conjunto de aniquiladores de elementos distintos de cero, cuyos elementos máximos son primos asociados ). ^[10]
• Por la misma razón, la unión de los primos asociados de un R -módulo M es exactamente el conjunto de divisores cero en M , es decir, un elemento r tal que el endomorfismo no es inyectivo. ^[11] ${\displaystyle m\mapsto rm,M\to M}$
• Dado un subconjunto , M y un módulo R , existe un submódulo tal que y . ^[12] ${\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\Phi }$
• Sea un subconjunto multiplicativo, un módulo y el conjunto de todos los ideales primos de no intersección . Entonces es una biyección. ^[13] Además, . ^[14] ${\displaystyle S\subset R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}$$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)}$
• Cualquier primo ideal mínimo con respecto a contener un ideal J está en Estos primos son precisamente los primos aislados. ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J).}$
• Un módulo M sobre R tiene longitud finita si y sólo si M se genera de forma finita y consta de ideales máximos. ^[15] ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$
• Sea un homomorfismo de anillo entre anillos noetherianos y F un módulo B que es plano sobre A. Entonces, para cada A -módulo E , ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)}$. ^[16]

Caso no noetheriano

El siguiente teorema da las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo tenga descomposiciones primarias para sus ideales.

Teorema  :  Sea R un anillo conmutativo. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. Todo ideal en R tiene una descomposición primaria.
2. R tiene las siguientes propiedades:
   • (L1 ) Para cada ideal propio I y un ideal primo _P , existe una x en R - P tal que ( I  : x ) es la preimagen de IRP bajo el mapa de localización R → R _P.
   • (L2) Para cada ideal I , el conjunto de todas las preimágenes de I S ⁻¹ R bajo el mapa de localización R → S ⁻¹ R , S que se ejecuta sobre todos los subconjuntos multiplicativamente cerrados de R , es finito.

La prueba se presenta en el Capítulo 4 de Atiyah-Macdonald como una serie de ejercicios. ^[17]

Existe el siguiente teorema de unicidad para un ideal que tiene una descomposición primaria.

Teorema  :  Sea R un anillo conmutativo y I un ideal. Supongamos que I tiene una descomposición primaria mínima (nota: "mínimo" implica que son distintos). Entonces ${\displaystyle I=\cap _{1}^{r}Q_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$

1. El conjunto es el conjunto de todos los ideales primos del conjunto . ${\displaystyle E=\left\{{\sqrt {Q_{i}}}|1\leq i\leq r\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\sqrt {(I:x)}}|x\in R\right\}}$
2. El conjunto de elementos mínimos de E es el mismo que el conjunto de ideales primos mínimos sobre I. Además, el ideal primario correspondiente a un primo mínimo P es la preimagen de IRP y _, por lo tanto , está determinado únicamente por I.

Ahora, para cualquier anillo conmutativo R , un ideal I y un primo mínimo P sobre I , la preimagen de I R _P bajo el mapa de localización es el P - ideal primario más pequeño que contiene I. ^[18] Por lo tanto, en el marco del teorema anterior, el ideal primario Q correspondiente a un primo mínimo P es también el ideal P -primario más pequeño que contiene I y se llama P -componente primario de I.

Por ejemplo, si la potencia P ⁿ de un primo P tiene una descomposición primaria, entonces su componente P -primario es la n -ésima potencia simbólica de P .

Teoría aditiva de los ideales

Este resultado es el primero en un área ahora conocida como teoría aditiva de ideales, que estudia las formas de representar un ideal como la intersección de una clase especial de ideales. La decisión sobre la "clase especial", es decir, los ideales primarios, es un problema en sí mismo. En el caso de anillos no conmutativos, la clase de ideales terciarios es un sustituto útil de la clase de ideales primarios.

Notas

1. La descomposición primaria requiere probar la irreductibilidad de los polinomios, lo que no siempre es algorítmicamente posible en características distintas de cero.

1. Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina , eds. (2001). Aplicaciones de la geometría algebraica a la teoría de la codificación, la física y la computación. Dordrecht: Springer Países Bajos. ISBN 978-94-010-1011-5.
2. Hermann, G. (1926). "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale". Mathematische Annalen (en alemán). 95 : 736–788. doi :10.1007/BF01206635. S2CID  115897210.
3. En otras palabras, es el cociente ideal. ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=(I:g_{i})}$
4. Bourbaki, cap. IV, § 1, nº 1, Proposición 3.
5. Bourbaki, cap. IV, § 1, n° 3, Corolario 1.
6. Bourbaki, cap. IV, § 1, n° 4, Teorema 1.
7. Bourbaki, cap. IV, § 1, n° 4, Teorema 2.
8. Bourbaki, cap. IV, § 2, núm. 2. Teorema 1.
9. Aquí está la prueba de la existencia de la descomposición (siguiendo a Bourbaki). Sea M un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano R y N un submódulo. Para demostrar que N admite una descomposición primaria, reemplazando M por , basta demostrar que cuando . Ahora, ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle N=0}$

   ${\displaystyle 0=\cap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})}$

   donde están los submódulos primarios de M . En otras palabras, 0 tiene una descomposición primaria si, para cada primo asociado P de M , existe un submódulo primario Q tal que . Ahora, considere el conjunto (que no está vacío ya que contiene cero). El conjunto tiene un elemento máximo Q ya que M es un módulo noetheriano. Si Q no es P -primario, digamos, está asociado con , entonces para algún submódulo Q' , contradice la maximalidad. Por tanto, Q es primario y la demostración está completa. Observación: La misma prueba muestra que si R , M , N están todos calificados, entonces en la descomposición se puede considerar que también están calificados. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P\not \in \operatorname {Ass} (Q)}$ ${\displaystyle \{N\subseteq M|P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}}$ ${\displaystyle P'\neq P}$ ${\displaystyle M/Q}$ ${\displaystyle R/P'\simeq Q'/Q}$ ${\displaystyle Q_{i}}$
10. Bourbaki, cap. IV, § 1, Corolario 3.
11. Bourbaki, cap. IV, § 1, Corolario 2.
12. Bourbaki, cap. IV, § 1, Proposición 4.
13. Bourbaki, cap. IV, § 1, núm. 2, Proposición 5.
14. Matsumura 1970, 7.C Lema
15. Cohn, PM (2003), Álgebra básica, Springer, Ejercicio 10.9.7, pág. 391, ISBN 9780857294289.
16. Bourbaki, cap. IV, § 2. Teorema 2.
17. Atiyah y Macdonald 1994
18. Atiyah y Macdonald 1994, cap. 4. Ejercicio 11

Referencias

• Atiyah, M .; Macdonald, IG (1994). Introducción al Álgebra Conmutativa . Addison-Wesley . ISBN 0-201-40751-5.
• Bourbaki, Algèbre conmutativo
• Danilov, VI (2001) [1994], "Anillo Lasker", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960, especialmente sección 3.3.
• Hermann, Grete (1926), "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale", Mathematische Annalen (en alemán), 95 : 736–788, doi :10.1007/BF01206635, S2CID  115897210. Traducción al inglés en Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
• Lasker, E. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale", Math. Ana. , 60 : 20–116, doi : 10.1007/BF01447495, S2CID  120367750
• Markov, VT (2001) [1994], "Descomposición primaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa
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• Curtis, Charles (1952), "Sobre la teoría ideal aditiva en anillos generales", American Journal of Mathematics , 74 (3), The Johns Hopkins University Press: 687–700, doi :10.2307/2372273, JSTOR  2372273
• Krull, Wolfgang (1928), "Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen", Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 481–503, doi :10.1007/BF01181179, S2CID  122870138

Enlaces externos

• "¿Sigue siendo importante la descomposición primaria?". Desbordamiento matemático . 21 de agosto de 2012.