Teorema de Goddard-Thorn

Resultado en las matemáticas de la teoría de cuerdas en un funtor que cuantiza cuerdas bosónicas

En matemáticas , y en particular en el trasfondo matemático de la teoría de cuerdas , el teorema de Goddard-Thorn (también llamado teorema del no fantasma ) es un teorema que describe las propiedades de un funtor que cuantifica cuerdas bosónicas . Lleva el nombre de Peter Goddard y Charles Thorn .

El nombre "teorema sin fantasmas" proviene del hecho de que en el enunciado original del teorema, el producto interno natural inducido en el espacio vectorial de salida es definido positivo. Por tanto, no existían los llamados fantasmas ( fantasmas de Pauli-Villars ), ni vectores de norma negativa. El nombre "teorema de no fantasma" es también un juego de palabras con el teorema de no ir de la mecánica cuántica.

Declaración

Esta afirmación es la de Borcherds (1992).

Supongamos que es una representación unitaria del álgebra de Virasoro , por lo que está equipada con una forma bilineal no degenerada y existe un homomorfismo del álgebra de modo que donde el adjunto se define con respecto a la forma bilineal, y supongamos también que se descompone en una suma directa de espacios propios de con valores propios enteros no negativos , denotados , y que cada uno es de dimensión finita (dando una calificación ). Supongamos también que se admite una acción de un grupo que preserva esta calificación. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathrm {Vir} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Vir} \rightarrow \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle \rho (L_{i})^{\dagger }=\rho (L_{-i})}$$ $${\displaystyle \rho (c)=24\mathrm {id} _{V}.}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Para la red Lorentziana bidimensional incluso unimodular II _1,1 , denota el álgebra de vértice de la red correspondiente por . Esta es un álgebra graduada II _1,1 con forma bilineal y conlleva una acción del álgebra de Virasoro. ${\displaystyle V_{II_{1,1}}}$

Sea el subespacio del álgebra de vértices formado por vectores tales que para . Sea el subespacio de de grado . Cada espacio hereda una acción que actúa según lo prescrito y de manera trivial . ${\displaystyle P^{1}}$ ${\displaystyle V\otimes V_{II_{1,1}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L_{0}\cdot v=v,L_{n}\cdot v=0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle P_{r}^{1}}$ ${\displaystyle P^{1}}$ ${\displaystyle r\in II_{1,1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{II_{1,1}}}$

El cociente de por el espacio nulo de su forma bilineal es naturalmente isomorfo como un módulo con una forma bilineal invariante, a if y if . ${\displaystyle P_{r}^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V^{1-(r,r)/2}}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle V^{1}\oplus \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r=0}$

II 1,1

La red II _1,1 es la red de rango 2 con forma bilineal. Es par, unimodular e integral con firma (+,-). $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

Formalismo

Hay dos functores naturalmente isomorfos que normalmente se utilizan para cuantificar cuerdas bosónicas. En ambos casos, se comienza con representaciones de energía positiva del álgebra de Virasoro de carga central 26, equipadas con formas bilineales invariantes de Virasoro, y se termina con espacios vectoriales equipados con formas bilineales. Aquí, "Virasoro-invariante" significa que L _n es adjunto a L _{− n} para todos los números enteros n .

Históricamente, el primer funtor es la "cuantización canónica antigua", y se obtiene tomando el cociente del subespacio primario de peso 1 por el radical de la forma bilineal. Aquí, "subespacio primario" es el conjunto de vectores aniquilados por L _n para todo n estrictamente positivo , y "peso 1" significa que L ₀ actúa por identidad. Un segundo funtor, naturalmente isomorfo, viene dado por la cohomología BRST de grado 1. Los tratamientos más antiguos de cohomología BRST a menudo tienen un cambio en el grado debido a un cambio en la elección de la carga BRST, por lo que se puede ver cohomología de grado −1/2 en artículos y textos anteriores a 1995. Una prueba de que los functores son naturalmente isomorfos puede ser que se encuentra en la Sección 4.4 del texto de Teoría de Cuerdas de Polchinski .

El teorema de Goddard-Thorn equivale a la afirmación de que este functor de cuantificación cancela más o menos la adición de dos bosones libres, como lo conjeturó Lovelace en 1971. La afirmación precisa de Lovelace fue que en la dimensión crítica 26, las identidades de Ward de tipo Virasoro cancelan dos conjuntos completos. de osciladores. Matemáticamente, esta es la siguiente afirmación:

Sea V una representación unitarizable de Virasoro de la carga central 24 con forma bilineal invariante de Virasoro, y sea π^1,1
_λSea el módulo irreducible del álgebra de Lie de Heisenberg R ^1,1 adjunto a un vector λ distinto de cero en R ^1,1 . Entonces la imagen de V  ⊗  π^1,1
_λbajo cuantificación es canónicamente isomorfo al subespacio de V sobre el cual L ₀ actúa por 1-( λ , λ ).

La propiedad de no fantasma sigue inmediatamente, ya que la estructura hermitiana definida positiva de V se transfiere a la imagen bajo cuantificación.

Aplicaciones

Los functores de cuantificación de cuerdas bosónicas descritos aquí se pueden aplicar a cualquier álgebra de vértice conforme de la carga central 26, y la salida naturalmente tiene una estructura de álgebra de Lie. Luego, el teorema de Goddard-Thorn se puede aplicar para describir concretamente el álgebra de Lie en términos del álgebra de vértices de entrada.

Quizás el caso más espectacular de esta aplicación es la prueba de Richard Borcherds de la monstruosa conjetura de la luz de la luna, donde la representación unitarizable de Virasoro es el álgebra del vértice del monstruo (también llamado "módulo de la luz de la luna") construido por Frenkel , Lepowsky y Meurman . Al tomar un producto tensorial con el álgebra de vértices adjunta a una red hiperbólica de rango 2 y aplicar la cuantificación, se obtiene el álgebra de Lie monstruosa , que es un álgebra generalizada de Kac-Moody graduada por la red. Utilizando el teorema de Goddard-Thorn, Borcherds demostró que las piezas homogéneas del álgebra de Lie son naturalmente isomorfas a las piezas graduadas del módulo de luz de luna, como representaciones del grupo simple de monstruos .

Las aplicaciones anteriores incluyen la determinación de Frenkel de los límites superiores de las multiplicidades de raíces del álgebra de Kac-Moody Lie, cuyo diagrama de Dynkin es la red Leech , y la construcción de Borcherds de un álgebra de Kac-Moody Lie generalizada que contiene el álgebra de Lie de Frenkel y satura el límite 1/∆ de Frenkel. .

Referencias

• Borcherds, Richard E (1990). "El monstruo álgebra de la mentira". Avances en Matemáticas . 83 (1): 30–47. doi : 10.1016/0001-8708(90)90067-w . ISSN  0001-8708.
• Borcherds, Richard E. (1992). "Monstruosa luz de luna y monstruosas superálgebras de Lie" (PDF) . Invenciones Mathematicae . 109 (1). Springer Science y Business Media LLC: 405–444. Código Bib : 1992 InMat.109..405B. doi :10.1007/bf01232032. ISSN  0020-9910. S2CID  16145482.
• I. Frenkel, Representaciones de álgebras de Kac-Moody y modelos de resonancia dual Aplicaciones de la teoría de grupos en física teórica, Lect. Aplica. Matemáticas. 21 AMS (1985) 325–353.
• Goddard, P.; Espina, CB (1972). "Compatibilidad del Pomeron dual con la unitaridad y ausencia de fantasmas en el modelo de resonancia dual". Letras de Física B. 40 (2). Elsevier BV: 235–238. Código bibliográfico : 1972PhLB...40..235G. doi :10.1016/0370-2693(72)90420-0. ISSN  0370-2693.
• Lovelace, C. (1971). "Factores de forma de Pomeron y cortes duales de Regge". Letras de Física B. 34 (6). Elsevier BV: 500–506. Código bibliográfico : 1971PhLB...34..500L. doi :10.1016/0370-2693(71)90665-4. ISSN  0370-2693.
• Polchinski, José (1998). Teoria de las cuerdas . vol. 95. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 11039–40. doi : 10.1017/cbo9780511816079. ISBN 978-0-511-81607-9. PMC  33894 . PMID  9736684. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )