Teoría de cuerdas bosónicas

Teoría de cuerdas de 26 dimensiones

La teoría de cuerdas bosónica es la versión original de la teoría de cuerdas , desarrollada a finales de la década de 1960 y que lleva el nombre de Satyendra Nath Bose . Se llama así porque contiene sólo bosones en el espectro.

En la década de 1980, se descubrió la supersimetría en el contexto de la teoría de cuerdas, y una nueva versión de la teoría de cuerdas llamada teoría de supercuerdas (teoría de cuerdas supersimétrica) se convirtió en el verdadero foco de atención. Sin embargo, la teoría de cuerdas bosónicas sigue siendo un modelo muy útil para comprender muchas características generales de la teoría de cuerdas perturbativas , y muchas dificultades teóricas de las supercuerdas ya se pueden encontrar en el contexto de las cuerdas bosónicas.

Problemas

Aunque la teoría de cuerdas bosónicas tiene muchas características atractivas, se queda corta como modelo físico viable en dos áreas importantes.

En primer lugar, predice sólo la existencia de bosones , mientras que muchas partículas físicas son fermiones .

En segundo lugar, predice la existencia de un modo de la cuerda con masa imaginaria , lo que implica que la teoría tiene una inestabilidad en un proceso conocido como " condensación de taquiones ".

Además, la teoría de cuerdas bosónicas en una dimensión espacio-temporal general muestra inconsistencias debido a la anomalía conforme . Pero, como fue observado por primera vez por Claud Lovelace , ^[1] en un espacio-tiempo de 26 dimensiones (25 dimensiones de espacio y una de tiempo), la dimensión crítica para la teoría, la anomalía se cancela. Esta alta dimensionalidad no es necesariamente un problema para la teoría de cuerdas, porque puede formularse de tal manera que a lo largo de las 22 dimensiones sobrantes el espaciotiempo se pliegue para formar un pequeño toroide u otra variedad compacta. Esto dejaría sólo las conocidas cuatro dimensiones del espacio-tiempo visibles para los experimentos de baja energía. La existencia de una dimensión crítica donde la anomalía se cancela es una característica general de todas las teorías de cuerdas.

Tipos de cuerdas bosónicas

Hay cuatro teorías de cuerdas bosónicas posibles, dependiendo de si se permiten cuerdas abiertas y si las cuerdas tienen una orientación específica . Una teoría de cuerdas abiertas también debe incluir cuerdas cerradas, porque se puede pensar que las cuerdas abiertas tienen sus puntos finales fijos en una brana D25 que llena todo el espacio-tiempo. Una orientación específica de la cadena significa que sólo se permite la interacción correspondiente a una hoja mundial orientable (por ejemplo, dos cadenas sólo pueden fusionarse con la misma orientación). Un bosquejo de los espectros de las cuatro teorías posibles es el siguiente:

Tenga en cuenta que las cuatro teorías tienen un taquión de energía negativa ( ) y un gravitón sin masa. ${\displaystyle M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}}$

El resto de este artículo se aplica a la teoría cerrada y orientada, correspondiente a hojas de mundo orientables y sin fronteras.

Matemáticas

Teoría de la perturbación integral de trayectoria

Se puede decir que la teoría de cuerdas bosónicas ^[2] está definida por la cuantificación integral de trayectoria de la acción de Polyakov :

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu }(\xi )}$es el campo en la hoja mundial que describe la mayor incrustación de la cadena en el espacio-tiempo 36+1; en la formulación de Polyakov, no debe entenderse como la métrica inducida por la incrustación, sino como un campo dinámico independiente. es la métrica del espacio-tiempo objetivo, que generalmente se considera la métrica de Minkowski en la teoría perturbativa. Bajo una rotación de Wick , esto se lleva a una métrica euclidiana . M es la hoja del mundo como una variedad topológica parametrizada por las coordenadas. es la tensión de la cuerda y está relacionada con la pendiente de Regge como . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$

${\displaystyle I_{0}}$tiene difeomorfismo e invariancia de Weyl . La simetría de Weyl se rompe durante la cuantificación ( anomalía conforme ) y por lo tanto esta acción debe complementarse con un contratérmino, junto con un término hipotético puramente topológico, proporcional a la característica de Euler :

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

La ruptura explícita de la invariancia de Weyl por el contratérmino puede cancelarse en la dimensión crítica 26.

Luego, las cantidades físicas se construyen a partir de la función de partición (euclidiana) y la función de N puntos :

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })}$

La serie perturbativa se expresa como una suma de topologías, indexadas por género.

La suma discreta es una suma de topologías posibles, que para cuerdas cerradas orientables bosónicas euclidianas son superficies riemannianas orientables compactas y, por lo tanto, se identifican mediante un género . Se introduce un factor de normalización para compensar el conteo excesivo debido a las simetrías. Mientras que el cálculo de la función de partición corresponde a la constante cosmológica , la función de N puntos, incluidos los operadores de vértices, describe la amplitud de dispersión de las cadenas. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle p}$

El grupo de simetría de la acción en realidad reduce drásticamente el espacio de integración a una variedad de dimensión finita. La integral de ruta en la función de partición es a priori una suma de posibles estructuras riemannianas; sin embargo, el cociente con respecto a las transformaciones de Weyl nos permite considerar sólo estructuras conformes , es decir, clases de equivalencia de métricas bajo las identificaciones de métricas relacionadas por ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

Dado que la hoja del mundo es bidimensional, existe una correspondencia 1-1 entre estructuras conformes y estructuras complejas . Todavía hay que descartar los difeomorfismos. Esto nos deja con una integración en el espacio de todas las posibles estructuras complejas módulo difeomorfismos, que es simplemente el espacio de módulos de la superficie topológica dada, y de hecho es una variedad compleja de dimensión finita . Por lo tanto, el problema fundamental de las cuerdas bosónicas perturbativas es la parametrización del espacio Moduli, que no es trivial para el género . ${\displaystyle h\geq 4}$

h = 0

A nivel de árbol, correspondiente al género 0, la constante cosmológica desaparece: . ${\displaystyle Z_{0}=0}$

La función de cuatro puntos para la dispersión de cuatro taquiones es la amplitud de Shapiro-Virasoro:

${\displaystyle A_{4}\propto (2\pi )^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2)\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}}$

Dónde está el impulso total y , , son las variables de Mandelstam . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$

h = 1

La región sombreada es un posible dominio fundamental para el grupo modular.

El género 1 es el toro y corresponde al nivel de un bucle . La función de partición asciende a:

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}}$

${\displaystyle \tau }$es un número complejo con parte imaginaria positiva ; , holomorfo al espacio de módulos del toro, es cualquier dominio fundamental para el grupo modular que actúa en el semiplano superior , por ejemplo . es la función eta de Dedekind . El integrando es, por supuesto, invariante bajo el grupo modular: la medida es simplemente la métrica de Poincaré que tiene PSL(2,R) como grupo de isometría; el resto del integrando también es invariante en virtud de y por el hecho de que es una forma modular de peso 1/2. ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

Esta integral diverge. Esto se debe a la presencia del taquión y está relacionado con la inestabilidad del vacío perturbativo.

Ver también

• Acción Nambu-Goto
• acción de poliakov

Notas

1. Lovelace, Claud (1971), "Factores de forma de Pomeron y cortes duales de Regge", Physics Letters , B34 (6): 500–506, Bibcode :1971PhLB...34..500L, doi :10.1016/0370-2693(71 )90665-4.
2. D'Hoker, Phong

Referencias

D'Hoker, Eric y Phong, DH (octubre de 1988). "La geometría de la teoría de la perturbación de cuerdas". Mod. Rev. Física . 60 (4). Sociedad Estadounidense de Física: 917–1065. Código bibliográfico : 1988RvMP...60..917D. doi : 10.1103/RevModPhys.60.917.

Belavin, AA y Knizhnik, VG (febrero de 1986). "Geometría compleja y teoría de cuerdas cuánticas". ZhETF . 91 (2): 364–390. Código Bib : 1986ZhETF..91..364B. Archivado desde el original el 26 de febrero de 2021 . Consultado el 24 de abril de 2015 .

Enlaces externos

• ¿Cuántas teorías de cuerdas existen?
• PIRSA:C09001 - Introducción a la Cuerda Bosónica