Dimensión de la cubierta de Lebesgue

En matemáticas , la dimensión de cobertura de Lebesgue o dimensión topológica de un espacio topológico es una de varias formas diferentes de definir la dimensión del espacio de una manera topológicamente invariante . ^[1]^[2]

Discusión informal

Para los espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de recubrimiento de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para los puntos, uno para las líneas, dos para los planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que se necesita una definición precisa en tales casos. La definición procede examinando lo que sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .

En general, un espacio topológico X puede ser cubierto por conjuntos abiertos , en el sentido de que se puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tales que X se encuentre dentro de su unión . La dimensión de recubrimiento es el número más pequeño n tal que para cada recubrimiento, hay un refinamiento en el que cada punto en X se encuentra en la intersección de no más de n + 1 conjuntos de recubrimiento. Esta es la esencia de la definición formal a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un entero ) que describa el espacio y no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que sea invariante bajo homeomorfismos .

La idea general se ilustra en los diagramas siguientes, que muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.

Definición formal

Henri Lebesgue utilizó "ladrillos" cerrados para estudiar la dimensión del recubrimiento en 1921. ^[3]

La primera definición formal de dimensión de cobertura fue dada por Eduard Čech , basándose en un resultado anterior de Henri Lebesgue . ^[4]

Una definición moderna es la siguiente. Una cubierta abierta de un espacio topológico $X$ es una familia de conjuntos abiertos $U$ _$α$ tales que su unión es todo el espacio, $U$ _$α$ = $X$ . El orden o capa de una cubierta abierta = { $U$ _$α$ } es el número más pequeño $m$ (si existe) para el cual cada punto del espacio pertenece a como máximo $m$ conjuntos abiertos en la cubierta: en otras palabras $U$ _$α$_₁ ∩ ⋅⋅⋅ ∩ $U$ _$α$_{_$m$}_₊₁ = para $α$ ₁ , ..., $α$ _$m$₊₁ distinto. Un refinamiento de una cubierta abierta = { $U$ _$α$ } es otra cubierta abierta = { $V$ _$β$ }, tal que cada $V$ _$β$ está contenido en algún $U$ _$α$ . La dimensión de cubierta de un espacio topológico $X$ se define como el valor mínimo de $n$ tal que cada cubierta abierta finita de X tiene un refinamiento abierto con orden $n$ + 1. El refinamiento siempre se puede elegir para que sea finito. ^[5] Por lo tanto, si $n$ es finito, $V$ _$β$_₁ ∩ ⋅⋅⋅ ∩ $V$ _$β$_{_$n$}_₊₂ = para $β$ ₁ , ..., $β$ _$n$₊₂ distinto. Si no existe tal $n$ mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita. $\cup _{\alpha }$ ${\mathfrak {A}}$ $\emptyset$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $\emptyset$

Como caso especial, un espacio topológico no vacío es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura si cada cobertura abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en conjuntos abiertos disjuntos , lo que significa que cualquier punto en el espacio está contenido en exactamente un conjunto abierto de este refinamiento.

Ejemplos

El conjunto vacío tiene dimensión de cobertura -1: para cualquier cobertura abierta del conjunto vacío, cada punto del conjunto vacío no está contenido en ningún elemento de la cobertura, por lo que el orden de cualquier cobertura abierta es 0.

Cualquier cubierta abierta dada del círculo unitario tendrá un refinamiento que consistirá en una colección de arcos abiertos . El círculo tiene dimensión uno, según esta definición, porque cualquier cubierta de este tipo puede refinarse aún más hasta el punto en que un punto x dado del círculo esté contenido en, como máximo, dos arcos abiertos. Es decir, cualquiera sea la colección de arcos con la que comencemos, algunos pueden descartarse o reducirse, de modo que el resto aún cubra el círculo, pero con superposiciones simples.

De manera similar, cualquier cubierta abierta del disco unitario en el plano bidimensional puede refinarse de modo que cualquier punto del disco esté contenido en no más de tres conjuntos abiertos, mientras que dos en general no son suficientes. La dimensión de la cubierta del disco es, por lo tanto, dos.

De manera más general, el espacio euclidiano n -dimensional tiene una dimensión de cobertura n . $\mathbb {E} ^{n}$

Propiedades

Los espacios homeomorfos tienen la misma dimensión de recubrimiento, es decir, la dimensión de recubrimiento es un invariante topológico .
La dimensión de recubrimiento de un espacio normal X es si y solo si para cualquier subconjunto cerrado A de X , si es continua, entonces existe una extensión de a . Aquí, es la esfera n -dimensional . $\leq n$ $f:A\rightarrow S^{n}$ $f$ $g:X\rightarrow S^{n}$ $S^{n}$
Teorema de Ostrand sobre dimensión coloreada. Si $X$ es un espacio topológico normal y = { $U$ _$α$ } es una cobertura localmente finita de $X$ de orden ≤ $n$ + 1, entonces, para cada 1 ≤ $i$ ≤ $n$ + 1, existe una familia de conjuntos abiertos disjuntos por pares _$i$ = { $V$ _$i$_,_$α$ } que se encogen , es decir $V$ _$i$_,_$α$ ⊆ $U$ _$α$ , y que juntos cubren $a X$ . ^[6] ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {A}}$

Relaciones con otras nociones de dimensión

Para un espacio paracompacto $X$ , la dimensión de cobertura se puede definir de manera equivalente como el valor mínimo de $n$ , de modo que cada cobertura abierta de $X$ (de cualquier tamaño) tiene un refinamiento abierto con orden $n$ + 1. ^[7] En particular, esto es válido para todos los espacios métricos. ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$
Teorema de recubrimiento de Lebesgue. La dimensión de recubrimiento de Lebesgue coincide con la dimensión afín de un complejo simplicial finito .
La dimensión de cobertura de un espacio normal es menor o igual a la dimensión inductiva grande .
La dimensión de recubrimiento de un espacio de Hausdorff paracompacto es mayor o igual a su dimensión cohomológica (en el sentido de haces ), ^[8] es decir, se tiene para cada haz de grupos abelianos en y cada mayor que la dimensión de recubrimiento de . $X$ $H^{i}(X,A)=0$ $A$ $X$ $i$ $X$
En un espacio métrico , se puede reforzar la noción de multiplicidad de una cubierta: una cubierta tiene $r$ -multiplicidad $n + 1$ si cada $r$ -bola interseca como máximo $n + 1$ conjuntos en la cubierta. Esta idea conduce a las definiciones de dimensión asintótica y dimensión de Assouad–Nagata de un espacio: un espacio con dimensión asintótica $n$ es $n$ -dimensional "a grandes escalas", y un espacio con dimensión de Assouad–Nagata $n$ es $n$ -dimensional "a cualquier escala".

Véase también

Notas

^ Lebesgue, Henri (1921). "Sur les correspondencias entre les point de deux espaces" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 2 : 256–285. doi :10.4064/fm-2-1-256-285.
^ Duda, R. (1979). "Los orígenes del concepto de dimensión". Colloquium Mathematicum . 42 : 95–110. doi : 10.4064/cm-42-1-95-110 . MR 0567548.
^ Lebesgue 1921.
^ Kuperberg, Krystyna , ed. (1995), Obras completas de Witold Hurewicz, American Mathematical Society, Serie de obras completas, vol. 4, American Mathematical Society, pág. xxiii, nota al pie 3, ISBN 9780821800119El descubrimiento de Lebesgue condujo posteriormente a la introducción por E. Čech de la dimensión de recubrimiento ..
^ Proposición 1.6.9 de Engelking, Ryszard (1978). Teoría de la dimensión (PDF) . North-Holland Mathematical Library. Vol. 19. Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3.Sr. 0482697 .
^ Ostrand 1971.
^ Proposición 3.2.2 de Engelking, Ryszard (1978). Teoría de la dimensión (PDF) . North-Holland Mathematical Library. Vol. 19. Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3.Sr. 0482697 .
^ Godement 1973, II.5.12, pág. 236

Referencias

Edgar, Gerald A. (2008). "Dimensión topológica". Medida, topología y geometría fractal . Textos de pregrado en matemáticas (segunda edición). Springer-Verlag . pp. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4.Sr. 2356043 .
Engelking, Ryszard (1978). Teoría de la dimensión (PDF) . Biblioteca matemática de Holanda Septentrional. Vol. 19. Ámsterdam-Oxford-Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-85176-3.Sr. 0482697 .
Godement, Roger (1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux . Publicaciones del Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (en francés). vol. III. París: Hermann. SEÑOR 0102797.
Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Teoría de la dimensión . Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press . MR 0006493.
Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.Señor 3728284 .
Ostrand, Phillip A. (1971). "Dimensiones de recubrimiento en espacios generales". Topología general y aplicaciones . 1 (3): 209–221. MR 0288741.

Lectura adicional

Histórico

Karl Menger , Espacios generales y espacios cartesianos , (1926) Comunicaciones a la Academia de Ciencias de Ámsterdam. Traducción al inglés reimpresa en Classics on Fractals , Gerald A. Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
Karl Menger , Teoría de las dimensiones , (1928) Editorial BG Teubner, Leipzig.

Moderno

Pears, Alan R. (1975). Teoría dimensional de espacios generales. Cambridge University Press . ISBN 0-521-20515-8.Sr. 0394604 .
VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 .

Enlaces externos

"Dimensión de Lebesgue", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]