Teorema de la bisectriz del ángulo

Teorema geométrico que relaciona las longitudes de dos segmentos que dividen un triángulo

El teorema establece que para cualquier triángulo ∠ DAB y ∠ DAC donde AD es una bisectriz, entonces ${\displaystyle |BD|:|CD|=|AB|:|AC|.}$

En geometría , el teorema de la bisectriz de un ángulo se ocupa de las longitudes relativas de los dos segmentos en los que se divide el lado de un triángulo mediante una línea que biseca el ángulo opuesto . Iguala sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

Tenga en cuenta que este teorema no debe confundirse con el teorema del ángulo inscrito , que también implica la bisección del ángulo (pero de un ángulo de un triángulo inscrito en un círculo).

Teorema

Consideremos un triángulo △ ABC . Sea la bisectriz del ángulo ∠ A la intersección del lado BC en un punto D entre B y C . El teorema de la bisectriz del ángulo establece que la razón entre la longitud del segmento de línea BD y la longitud del segmento CD es igual a la razón entre la longitud del lado AB y la longitud del lado AC :

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BA|}{|CA|}},}$

y a la inversa , si un punto D en el lado BC de △ ABC divide a BC en la misma razón que los lados AB y AC , entonces AD es la bisectriz del ángulo ∠ A.

El teorema generalizado de la bisectriz del ángulo establece que si D se encuentra en la línea BC , entonces

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BA|\sin \angle DAB}{|CA|\sin \angle DAC}}.}$

Esto se reduce a la versión anterior si AD es la bisectriz de ∠ BAC . Cuando D es externo al segmento BC , se deben utilizar segmentos de línea dirigidos y ángulos dirigidos en el cálculo.

El teorema de la bisectriz de un ángulo se utiliza habitualmente cuando se conocen las bisectrices de los ángulos y las longitudes de los lados. Se puede utilizar en un cálculo o en una demostración.

Una consecuencia inmediata del teorema es que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles también bisecará al lado opuesto.

Pruebas

Existen muchas formas distintas de demostrar el teorema de la bisectriz de un ángulo. A continuación se muestran algunas de ellas.

Demostración utilizando triángulos semejantes

Ilustración animada del teorema de la bisectriz del ángulo.

Como se muestra en la animación adjunta, el teorema se puede demostrar utilizando triángulos semejantes. En la versión ilustrada aquí, el triángulo se refleja a través de una línea que es perpendicular a la bisectriz del ángulo , lo que da como resultado el triángulo con bisectriz . El hecho de que los ángulos producidos por la bisección y sean iguales significa que y son líneas rectas. Esto permite la construcción de un triángulo que es semejante a . Debido a que las razones entre los lados correspondientes de triángulos semejantes son todas iguales, se deduce que . Sin embargo, se construyó como una reflexión de la línea , por lo que esas dos líneas tienen la misma longitud. Por lo tanto, , lo que produce el resultado establecido por el teorema. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle \triangle AB_{2}C_{2}}$ ${\displaystyle AD_{2}}$ ${\displaystyle \angle BAD}$ ${\displaystyle \angle CAD}$ ${\displaystyle BAC_{2}}$ ${\displaystyle CAB_{2}}$ ${\displaystyle \triangle C_{2}BC}$ ${\displaystyle \triangle ABD}$ ${\displaystyle |AB|/|AC_{2}|=|BD|/|CD|}$ ${\displaystyle AC_{2}}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle |AB|/|AC|=|BD|/|CD|}$

Prueba usando la ley de senos

En el diagrama anterior, utilice la ley de los senos en los triángulos △ ABD y △ ACD :

Los ángulos ∠ ADB y ∠ ADC forman un par lineal, es decir, son ángulos suplementarios adyacentes . Como los ángulos suplementarios tienen senos iguales,

${\displaystyle {\sin \angle ADB}={\sin \angle ADC}.}$

Los ángulos ∠ DAB y ∠ DAC son iguales. Por lo tanto, los lados derechos de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) son iguales, por lo que sus lados izquierdos también deben ser iguales.

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

que es el teorema de la bisectriz del ángulo.

Si los ángulos ∠ DAB , ∠ DAC son desiguales, las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) pueden reescribirse como:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB=\sin \angle ADB},}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC=\sin \angle ADC}.}$

Los ángulos ∠ ADB , ∠ ADC siguen siendo suplementarios, por lo que los lados derechos de estas ecuaciones siguen siendo iguales, por lo que obtenemos:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB={\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC},}$

que se reorganiza en la versión "generalizada" del teorema.

Demostración utilizando alturas de triángulos

Sea D un punto de la recta BC , no igual a B ni a C y tal que AD no sea una altura del triángulo △ ABC .

Sea B ₁ la base (pie) de la altura en el triángulo △ ABD a través de B y sea C ₁ la base de la altura en el triángulo △ ACD a través de C . Entonces, si D está estrictamente entre B y C , uno y solo uno de B ₁ o C ₁ se encuentra dentro de △ ABC y se puede suponer sin pérdida de generalidad que B ₁ lo está. Este caso se representa en el diagrama adyacente. Si D se encuentra fuera del segmento BC , entonces ni B ₁ ni C ₁ se encuentran dentro del triángulo.

∠ DB ₁ B , ∠ DC ₁ C son ángulos rectos, mientras que los ángulos ∠ B ₁ DB , ∠ C ₁ DC son congruentes si D está en el segmento BC (es decir, entre B y C ) y son idénticos en los demás casos considerados, por lo que los triángulos △ DB ₁ B , △ DC ₁ C son semejantes (AAA), lo que implica que:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}$

Si D es el pie de una altitud, entonces,

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ and }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,}$

y sigue la forma generalizada.

Prueba usando áreas de triángulos

${\textstyle \alpha ={\frac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD}$

Se puede obtener una prueba rápida observando la relación de las áreas de los dos triángulos △ BAD , △ CAD , que son creados por la bisectriz del ángulo en A . Calcular esas áreas dos veces usando diferentes fórmulas , es decir, con base y altitud h y con lados a, b y su ángulo encerrado γ , arrojará el resultado deseado. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$

Sea h la altura de los triángulos sobre la base BC y la mitad del ángulo en A. Entonces ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}}$

y

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

rendimientos

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}$

Longitud de la bisectriz del ángulo

Diagrama del teorema de Stewart

La longitud de la bisectriz del ángulo se puede encontrar mediante , ${\displaystyle d}$ ${\textstyle d^{2}=bc-mn=mn(k^{2}-1)=bc\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}$

donde es la constante de proporcionalidad del teorema de la bisectriz del ángulo. ${\displaystyle k={\frac {b}{n}}={\frac {c}{m}}={\frac {b+c}{a}}}$

Demostración : Por el teorema de Stewart , tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=a(d^{2}+mn)\\(kn)^{2}m+(km)^{2}n&=a(d^{2}+mn)\\k^{2}(m+n)mn&=(m+n)(d^{2}+mn)\\k^{2}mn&=d^{2}+mn\\(k^{2}-1)mn&=d^{2}\\\end{aligned}}}$

Bisectrices de ángulos exteriores

bisectrices de ángulos exteriores (punteadas en rojo):
Los puntos D, E, F son colineales y se cumplen las siguientes ecuaciones para proporciones: , ,
${\displaystyle {\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}}$

Para las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo no equilátero existen ecuaciones similares para las razones de las longitudes de los lados del triángulo. Más precisamente, si la bisectriz del ángulo exterior en A interseca el lado prolongado BC en E , la bisectriz del ángulo exterior en B interseca el lado prolongado AC en D y la bisectriz del ángulo exterior en C interseca el lado prolongado AB en F , entonces se cumplen las siguientes ecuaciones: ^[1]

${\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$, , ${\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}$ ${\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}}$

Los tres puntos de intersección entre las bisectrices de los ángulos exteriores y los lados extendidos del triángulo D, E, F son colineales, es decir, se encuentran en una línea común. ^[2]

Historia

El teorema de la bisectriz de un ángulo aparece como Proposición 3 del Libro VI de los Elementos de Euclides . Según Heath (1956, p. 197 (vol. 2)), el enunciado correspondiente para una bisectriz de un ángulo externo fue dado por Robert Simson , quien señaló que Pappus supuso este resultado sin prueba. Heath continúa diciendo que Augustus De Morgan propuso que los dos enunciados deberían combinarse de la siguiente manera: ^[3]

Si un ángulo de un triángulo es dividido interna o externamente por una línea recta que corta el lado opuesto o el lado opuesto producido, los segmentos de ese lado tendrán la misma proporción que los otros lados del triángulo; y, si un lado de un triángulo es dividido interna o externamente de modo que sus segmentos tengan la misma proporción que los otros lados del triángulo, la línea recta trazada desde el punto de sección hasta el punto angular opuesto al primer lado mencionado dividirá en dos el ángulo interior o exterior en ese punto angular.

Aplicaciones

Este teorema se ha utilizado para demostrar los siguientes teoremas/resultados:

• Coordenadas del incentro de un triangulo
• Círculos de Apolonio

Referencias

1. Alfred S. Posamentier: Geometría euclidiana avanzada: excursiones para estudiantes y profesores . Springer, 2002, ISBN  9781930190856 , págs. 3-4
2. Roger A. Johnson: Geometría euclidiana avanzada . Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , pág. 149 (publicación original en 1929 con Houghton Mifflin Company (Boston) como Modern Geometry ). 
3. Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Dover Publications.

   (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Traducción autorizada de Heath más extensa investigación histórica y comentarios detallados a lo largo del texto.   

Lectura adicional

• GWIS Amarasinghe: Sobre las longitudes estándar de las bisectrices de los ángulos y el teorema de la bisectriz de los ángulos, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 01(01), págs. 15-27, 2012

Enlaces externos

• Una propiedad de las bisectrices de ángulos en el corte del nudo
• Introducción al teorema de la bisectriz de un ángulo en Khan Academy