Un sector hiperbólico es una región del plano cartesiano delimitada por una hipérbola y dos rayos que la forman desde el origen. Por ejemplo, los dos puntos ( a , 1/ a ) y ( b , 1/ b ) en la hipérbola rectangular xy = 1 , o la región correspondiente cuando se cambia la escala de esta hipérbola y se altera su orientación mediante una rotación que deja el centro en el origen, como en el caso de la hipérbola unitaria . Un sector hiperbólico en posición estándar tiene a = 1 y b > 1 .
Los sectores hiperbólicos son la base de las funciones hiperbólicas .
El área de un sector hiperbólico en posición estándar es el logaritmo natural de b .
Demostración: Integrar bajo 1/ x desde 1 hasta b , sumar el triángulo {(0, 0), (1, 0), (1, 1)}, y restar el triángulo {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1/ b )} (ambos triángulos tienen la misma área). [1]
En posición estándar, un sector hiperbólico corresponde a un ángulo hiperbólico positivo en el origen, siendo la medida de este último definida como el área del primero.
Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico determina un triángulo hiperbólico , el triángulo rectángulo con un vértice en el origen, base en el rayo diagonal y = x y tercer vértice en la hipérbola.
siendo la hipotenusa el segmento desde el origen hasta el punto ( x, y ) de la hipérbola. La longitud de la base de este triángulo es
y la altitud es
donde u es el ángulo hiperbólico apropiado .
La analogía entre funciones circulares e hiperbólicas fue descrita por Augustus De Morgan en su obra Trigonometry and Double Algebra (1849). [2] William Burnside utilizó este tipo de triángulos, proyectando desde un punto de la hipérbola xy = 1 sobre la diagonal principal, en su artículo "Nota sobre el teorema de la adición para funciones hiperbólicas". [3]
Se sabe que f( x ) = x p tiene una antiderivada algebraica excepto en el caso p = –1 correspondiente a la cuadratura de la hipérbola. Los otros casos se dan por la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Mientras que la cuadratura de la parábola había sido realizada por Arquímedes en el siglo III a. C. (en La cuadratura de la parábola ), la cuadratura hiperbólica requirió la invención en 1647 de una nueva función: Gregoire de Saint-Vincent abordó el problema de calcular las áreas limitadas por una hipérbola. Sus hallazgos llevaron a la función logaritmo natural, alguna vez llamada logaritmo hiperbólico ya que se obtiene integrando, o hallando el área, bajo la hipérbola. [4]
Antes de 1748 y de la publicación de Introducción al análisis del infinito , el logaritmo natural se conocía en términos del área de un sector hiperbólico. Leonhard Euler cambió eso cuando introdujo funciones trascendentales como 10 x . Euler identificó e como el valor de b que produce una unidad de área (bajo la hipérbola o en un sector hiperbólico en posición estándar). Entonces, el logaritmo natural podía reconocerse como la función inversa de la función trascendental e x .
Para dar cabida al caso de logaritmos negativos y los ángulos hiperbólicos negativos correspondientes, se construyen diferentes sectores hiperbólicos según que x sea mayor o menor que uno. Un triángulo rectángulo variable con área 1/2 es El caso isósceles es El logaritmo natural se conoce como el área bajo y = 1/ x entre uno y x . Un ángulo hiperbólico positivo viene dado por el área de Un ángulo hiperbólico negativo viene dado por el negativo del área Esta convención concuerda con un logaritmo natural negativo para x en (0,1).
Cuando en 1928 se publicó el libro de Felix Klein sobre geometría no euclidiana , se proporcionó una base para el tema haciendo referencia a la geometría proyectiva . Para establecer la medida hiperbólica de una línea, Klein observó que el área de un sector hiperbólico proporcionaba una ilustración visual del concepto. [5]
También se pueden dibujar sectores hiperbólicos sobre la hipérbola . El área de dichos sectores hiperbólicos se ha utilizado para definir la distancia hiperbólica en un libro de texto de geometría. [6]
