En álgebra abstracta , una serie de composición proporciona una manera de dividir una estructura algebraica , como un grupo o un módulo , en partes simples. La necesidad de considerar series de composición en el contexto de módulos surge del hecho de que muchos módulos que ocurren naturalmente no son semisimples y, por lo tanto, no pueden descomponerse en una suma directa de módulos simples . Una serie de composición de un módulo M es una filtración finita creciente de M por submódulos de modo que los cocientes sucesivos sean simples y sirva como reemplazo de la descomposición por suma directa de M en sus constituyentes simples.
Es posible que una serie de composición no exista y, cuando exista, no es necesario que sea única. Sin embargo, un grupo de resultados conocidos con el nombre general de teorema de Jordan-Hölder afirma que siempre que existen series de composición, las clases de isomorfismo de piezas simples (aunque, quizás, no su ubicación en la serie de composición en cuestión) y sus multiplicidades están determinadas de forma única. Por tanto, las series de composición se pueden utilizar para definir invariantes de grupos finitos y módulos artinianos .
Un concepto relacionado pero distinto es el de serie principal : una serie de composición es una serie subnormal máxima , mientras que una serie principal es una serie normal máxima .
Si un grupo G tiene un subgrupo normal N , entonces se puede formar el grupo de factores G / N , y algunos aspectos del estudio de la estructura de G pueden descomponerse estudiando los grupos "más pequeños" G/N y N. Si G no tiene un subgrupo normal que sea diferente de G y del grupo trivial, entonces G es un grupo simple . De lo contrario, surge naturalmente la pregunta de si G se puede reducir a "piezas" simples y, de ser así, ¿hay alguna característica única en la forma en que se puede hacer esto?
Más formalmente, una serie de composición de un grupo G es una serie subnormal de longitud finita
con inclusiones estrictas, de modo que cada Hi es un subgrupo normal propio máximo de Hi +1 . De manera equivalente, una serie de composición es una serie subnormal tal que cada grupo de factores Hi +1 / Hi es simple . Los grupos de factores se denominan factores de composición .
Una serie subnormal es una serie de composición si y sólo si tiene una longitud máxima. Es decir, no existen subgrupos adicionales que puedan "insertarse" en una serie de composición. La longitud n de la serie se llama longitud de la composición .
Si existe una serie de composición para un grupo G , entonces cualquier serie subnormal de G puede refinarse a una serie de composición, de manera informal, insertando subgrupos en la serie hasta la máximaidad. Todo grupo finito tiene una serie de composición, pero no todo grupo infinito tiene una. Por ejemplo, no tiene serie de composición.
Un grupo puede tener más de una serie de composición. Sin embargo, el teorema de Jordan-Hölder (llamado así por Camille Jordan y Otto Hölder ) establece que dos series de composición cualesquiera de un grupo determinado son equivalentes. Es decir, tienen la misma longitud de composición y los mismos factores de composición, hasta la permutación y el isomorfismo . Este teorema se puede demostrar utilizando el teorema de refinamiento de Schreier . El teorema de Jordan-Hölder también es válido para series de composición ascendente transfinitas , pero no para series de composición descendentes transfinitas (Birkhoff 1934). Baumslag (2006) ofrece una breve prueba del teorema de Jordan-Hölder al cruzar los términos de una serie subnormal con los de la otra serie.
Para un grupo cíclico de orden n , las series de composición corresponden a factorizaciones primas ordenadas de n y, de hecho, proporcionan una prueba del teorema fundamental de la aritmética .
Por ejemplo, el grupo cíclico tiene y como tres series de composición diferente. Las secuencias de factores de composición obtenidas en los respectivos casos son y
La definición de series de composición para módulos restringe toda la atención a los submódulos, ignorando todos los subgrupos aditivos que no son submódulos. Dado un anillo R y un R -módulo M , una serie de composición para M es una serie de submódulos
donde todas las inclusiones son estrictas y J k es un submódulo máximo de J k +1 para cada k . En cuanto a los grupos, si M tiene alguna serie de composición, entonces cualquier serie finita estrictamente creciente de submódulos de M puede refinarse a una serie de composición, y dos series de composición cualesquiera para M son equivalentes. En ese caso, los módulos de cociente (simple) J k +1 / J k se conocen como factores de composición de M, y se cumple el teorema de Jordan-Hölder, lo que garantiza que el número de apariciones de cada tipo de isomorfismo de módulo R simple como un factor de composición no depende de la elección de la serie de composición.
Es bien sabido [1] que un módulo tiene una serie de composición finita si y sólo si es a la vez un módulo artiniano y un módulo noetheriano . Si R es un anillo artiniano , entonces cada módulo R finitamente generado es artiniano y noetheriano y, por tanto, tiene una serie de composición finita. En particular, para cualquier campo K , cualquier módulo de dimensión finita para un álgebra de dimensión finita sobre K tiene una serie de composición, única hasta la equivalencia.
Los grupos con un conjunto de operadores generalizan acciones grupales y hacen sonar acciones en un grupo. Se puede seguir un enfoque unificado tanto para los grupos como para los módulos como en (Bourbaki 1974, capítulo 1) o (Isaacs 1994, capítulo 10), simplificando parte de la exposición. Se considera que el grupo G actúa sobre elementos (operadores) de un conjunto Ω. La atención se restringe completamente a los subgrupos invariantes bajo la acción de elementos de Ω, llamados Ω-subgrupos. Por lo tanto, las series de composición Ω deben usar solo subgrupos Ω, y los factores de composición Ω solo necesitan ser Ω simples. Los resultados estándar anteriores, como el teorema de Jordan-Hölder, se establecen con demostraciones casi idénticas.
Los casos especiales recuperados incluyen cuando Ω = G de modo que G actúa sobre sí mismo. Un ejemplo importante de esto es cuando los elementos de G actúan por conjugación, de modo que el conjunto de operadores consta de automorfismos internos . Una serie de composición bajo esta acción es exactamente una serie principal . Las estructuras de módulos son un caso de acciones Ω donde Ω es un anillo y se satisfacen algunos axiomas adicionales.
Una serie de composición de un objeto A en una categoría abeliana es una secuencia de subobjetos
tal que cada objeto cociente X i / X i + 1 es simple (para 0 ≤ i < n ). Si A tiene una composición en serie, el número entero n solo depende de A y se llama longitud de A. [2]
