El teorema de Hasse-Minkowski es un resultado fundamental en la teoría de números que establece que dos formas cuadráticas sobre un cuerpo numérico son equivalentes si y solo si son equivalentes localmente en todos los lugares , es decir, equivalentes sobre cada completitud topológica del cuerpo (que puede ser real , complejo o p-ádico ). Un resultado relacionado es que un espacio cuadrático sobre un cuerpo numérico es isótropo si y solo si es isótropo localmente en todas partes, o equivalentemente, que una forma cuadrática sobre un cuerpo numérico representa cero de manera no trivial si y solo si esto se cumple para todas las completitudes del cuerpo. El teorema fue demostrado en el caso del cuerpo de números racionales por Hermann Minkowski y generalizado a los cuerpos numéricos por Helmut Hasse . La misma afirmación se cumple de manera aún más general para todos los cuerpos globales .
La importancia del teorema de Hasse-Minkowski radica en el paradigma novedoso que presenta para responder a las cuestiones aritméticas: para determinar si una ecuación de un determinado tipo tiene solución en números racionales, es suficiente comprobar si tiene solución en cuerpos completos de números reales y p -ádicos, donde se pueden aplicar técnicas analíticas como el método de Newton y su análogo p -ádico, el lema de Hensel . Este es el primer ejemplo significativo de un principio local-global , una de las técnicas más fundamentales de la geometría aritmética .
El teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de clasificar formas cuadráticas sobre un cuerpo numérico K hasta la equivalencia con el conjunto de cuestiones análogas pero mucho más simples sobre cuerpos locales . Los invariantes básicos de una forma cuadrática no singular son su dimensión , que es un entero positivo, y su discriminante módulo los cuadrados de K , que es un elemento del grupo multiplicativo K * / K *2 . Además, para cada lugar v de K , hay un invariante que proviene de la compleción K v . Dependiendo de la elección de v , esta compleción puede ser los números reales R , los números complejos C o un cuerpo numérico p-ádico , cada uno de los cuales tiene diferentes tipos de invariantes:
Estos invariantes deben satisfacer algunas condiciones de compatibilidad: una relación de paridad (el signo del discriminante debe coincidir con el índice de inercia negativo) y una fórmula de producto (una relación local-global). A la inversa, para cada conjunto de invariantes que satisfacen estas relaciones, existe una forma cuadrática sobre K con estos invariantes.