Teorema de Frisch-Waugh-Lovell

Teorema en estadística y econometría.

En econometría , el teorema de Frisch-Waugh-Lovell (FWL) lleva el nombre de los econometristas Ragnar Frisch , Frederick V. Waugh y Michael C. Lovell . ^{[1] [2] [3]}

El teorema de Frisch-Waugh-Lovell establece que si la regresión que nos interesa se expresa en términos de dos conjuntos separados de variables predictoras:

${\displaystyle Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u}$

donde y son matrices , y son vectores (y es el término de error), entonces la estimación de será la misma que la estimación de una regresión modificada de la forma: ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

${\displaystyle M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u,}$

donde se proyecta sobre el complemento ortogonal de la imagen de la matriz de proyección . De manera equivalente, M _{X 1} se proyecta sobre el complemento ortogonal del espacio columna de  X ₁ . Específicamente, ${\displaystyle M_{X_{1}}}$ ${\displaystyle X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}},}$

y esta matriz de proyección ortogonal particular se conoce como matriz creadora residual o matriz aniquiladora . ^{[4] [5]}

El vector es el vector de residuos de la regresión de en las columnas de . ${\textstyle M_{X_{1}}Y}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X_{1}}$

La consecuencia más relevante del teorema es que los parámetros en no se aplican a pero a , es decir: la parte de no correlacionada con . Esta es la base para comprender la contribución de cada variable a una regresión multivariada (ver, por ejemplo, el Capítulo 13 en ^[6] ). ${\textstyle \beta _{2}}$ ${\textstyle X_{2}}$ ${\textstyle M_{X_{1}}X_{2}}$ ${\textstyle X_{2}}$ ${\textstyle X_{1}}$

El teorema también implica que la regresión secundaria utilizada para la obtención es innecesaria cuando las variables predictoras no están correlacionadas: usar matrices de proyección para hacer que las variables explicativas sean ortogonales entre sí conducirá a los mismos resultados que ejecutar la regresión con todos los explicadores no ortogonales incluidos. ${\displaystyle M_{X_{1}}}$

Además, los errores estándar de la regresión parcial son iguales a los de la regresión completa. ^[7]

Historia

El origen del teorema es incierto, pero estaba bien establecido en el ámbito de la regresión lineal antes del artículo de Frisch y Waugh. El análisis exhaustivo de las regresiones parciales de George Udny Yule , publicado en 1907, incluía el teorema en la sección 9 de la página 184. ^[8] Yule enfatizó la importancia del teorema para comprender los coeficientes de correlación y regresión parcial y múltiple, como se menciona en la sección 10 del mismo papel. ^[8]

En 1933, los hallazgos de Yule fueron generalmente reconocidos ^{[ palabras de comadreja ]} , gracias en parte a la discusión detallada de la correlación parcial y la introducción de su notación innovadora en 1907. ^{[ cita necesaria ]} El teorema, más tarde asociado con Frisch, Waugh y Lovell, también se incluyó en el capítulo 10 del exitoso libro de texto de estadística de Yule, publicado por primera vez en 1911. El libro alcanzó su décima edición en 1932. ^[9]

En un artículo de 1931 en coautoría con Mudgett, Frisch citó los resultados de Yule. ^[10] Las fórmulas de Yule para regresiones parciales fueron citadas y atribuidas explícitamente a él para rectificar una cita errónea de otro autor. ^[10] Aunque Yule no fue mencionado explícitamente en el artículo de 1933 de Frisch y Waugh, utilizaron la notación para coeficientes de regresión parcial introducida inicialmente por Yule en 1907, que fue ampliamente aceptada en 1933 ^{[ ¿investigación original? ]} .

En 1963, Lovell publicó una prueba ^[11] considerada más sencilla e intuitiva. En reconocimiento, la gente generalmente añade su nombre al nombre del teorema.

Referencias

1. Frisch, Ragnar; Waugh, Federico V. (1933). "Regresiones a tiempo parcial en comparación con tendencias individuales". Econométrica . 1 (4): 387–401. doi :10.2307/1907330. JSTOR  1907330.
2. Lovell, M. (1963). "Ajuste estacional de series temporales económicas y análisis de regresión múltiple". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 58 (304): 993–1010. doi :10.1080/01621459.1963.10480682.
3. Lovell, M. (2008). "Una prueba simple del teorema FWL". Revista de Educación Económica . 39 (1): 88–91. doi :10.3200/JECE.39.1.88-91. S2CID  154907484.
4. Hayashi, Fumio (2000). Econometría. Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 18-19. ISBN 0-691-01018-8.
5. Davidson, James (2000). Teoría econométrica. Malden: Blackwell. pag. 7.ISBN​ 0-631-21584-0.
6. Mosteller, F.; Tukey, JW (1977). Análisis de datos y regresión un segundo curso de estadística . Addison-Wesley.
7. Peng, Ding (2021). "El teorema de Frisch-Waugh-Lovell para errores estándar". Cartas de Estadística y Probabilidad . 168 : 108945.
8. Navidad, George Udny (1907). "Sobre la teoría de la correlación para cualquier número de variables, tratada mediante un nuevo sistema de notación". Actas de la Royal Society A. 79 (529): 182-193. doi :10.1098/rspa.1907.0028. hdl : 2027/coo.31924081088423 .
9. Navidad, George Udny (1932). Introducción a la teoría de la estadística, décima edición. Londres: Charles Griffin &Co.
10. Frisch, Ragnar; Mudgett, BD (1931). "Correlación estadística y teoría de los tipos de conglomerados" (PDF) . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 21 (176): 375–392. doi :10.1080/01621459.1931.10502225.
11. Lovell, M. (1963). "Ajuste estacional de series temporales económicas y análisis de regresión múltiple". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 58 (304): 993–1010. doi :10.1080/01621459.1963.10480682.

Otras lecturas

• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e Inferencia en Econometría. Nueva York: Oxford University Press. págs. 19-24. ISBN 0-19-506011-3.
• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (2004). Teoría y Métodos Econométricos . Nueva York: Oxford University Press. págs. 62–75. ISBN 0-19-512372-7.
• Hastie, Trevor ; Tibshirani, Robert ; Friedman, Jerome (2017). "Regresión múltiple a partir de regresión univariada simple" (PDF) . Los elementos del aprendizaje estadístico: minería de datos, inferencia y predicción (2ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 52–55. ISBN 978-0-387-84857-0.
• Ruud, PA (2000). Introducción a la teoría econométrica clásica. Nueva York: Oxford University Press. págs. 54–60. ISBN 0-19-511164-8.
• Stachurski, John (2016). Una introducción a la teoría econométrica. Prensa del MIT. págs. 311–314. ISBN 9780262337465.