Teorema de Frisch-Waugh-Lovell

Teorema en estadística y econometría

En econometría , el teorema de Frisch-Waugh-Lovell (FWL) recibe su nombre de los econometristas Ragnar Frisch , Frederick V. Waugh y Michael C. Lovell . ^{[1] [2] [3]}

El teorema de Frisch-Waugh-Lovell establece que si la regresión que nos ocupa se expresa en términos de dos conjuntos separados de variables predictoras:

${\displaystyle Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u}$

donde y son matrices , y son vectores (y es el término de error), entonces la estimación de será la misma que la estimación de ella a partir de una regresión modificada de la forma: ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

${\displaystyle M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u,}$

donde se proyecta sobre el complemento ortogonal de la imagen de la matriz de proyección . De manera equivalente, M _{X 1} se proyecta sobre el complemento ortogonal del espacio columna de  X ₁ . Específicamente, ${\displaystyle M_{X_{1}}}$ ${\displaystyle X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}},}$

y esta matriz de proyección ortogonal particular se conoce como matriz creadora residual o matriz aniquiladora . ^{[4] [5]}

El vector es el vector de residuos de la regresión de en las columnas de . ${\textstyle M_{X_{1}}Y}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X_{1}}$

La consecuencia más relevante del teorema es que los parámetros en no se aplican a sino a , es decir: la parte de no correlacionada con . Esta es la base para entender la contribución de cada variable individual a una regresión multivariante (véase, por ejemplo, el Cap. 13 en ^[6] ). ${\textstyle \beta _{2}}$ ${\textstyle X_{2}}$ ${\textstyle M_{X_{1}}X_{2}}$ ${\textstyle X_{2}}$ ${\textstyle X_{1}}$

El teorema también implica que la regresión secundaria utilizada para la obtención es innecesaria cuando las variables predictoras no están correlacionadas: usar matrices de proyección para hacer que las variables explicativas sean ortogonales entre sí conducirá a los mismos resultados que ejecutar la regresión con todos los explicadores no ortogonales incluidos. ${\displaystyle M_{X_{1}}}$

Además, los errores estándar de la regresión parcial son iguales a los de la regresión completa. ^[7]

Historia

El origen del teorema es incierto, pero ya estaba bien establecido en el ámbito de la regresión lineal antes del artículo de Frisch y Waugh. El análisis exhaustivo de las regresiones parciales de George Udny Yule , publicado en 1907, incluyó el teorema en la sección 9 de la página 184. ^[8] Yule enfatizó la importancia del teorema para comprender la regresión múltiple y parcial y los coeficientes de correlación, como se menciona en la sección 10 del mismo artículo. ^[8]

Yule 1907 ^[8] también introdujo la notación de regresión parcial que todavía se utiliza hoy en día.

El teorema, posteriormente asociado con Frisch, Waugh y Lovell, y la notación de regresión parcial de Yule, se incluyeron en el capítulo 10 del exitoso libro de texto de estadística de Yule, publicado por primera vez en 1911. El libro alcanzó su décima edición en 1932. ^[9]

En un artículo de 1931 escrito en coautoría con Mudgett, Frisch citó explícitamente los resultados de Yule. ^[10] Las fórmulas de Yule para regresiones parciales fueron citadas y explícitamente atribuidas a él para rectificar una cita errónea de otro autor. ^[10] Aunque Yule no fue mencionado explícitamente en el artículo de 1933 de Frisch y Waugh, utilizaron la notación para coeficientes de regresión parcial introducida inicialmente por Yule en 1907, que en 1933 era bien conocida debido al éxito del libro de texto de Yule.

En 1963, Lovell publicó una demostración ^[11] considerada más sencilla e intuitiva. En reconocimiento a ello, la gente suele añadir su nombre al nombre del teorema.

Referencias

1. Frisch, Ragnar; Waugh, Frederick V. (1933). "Regresiones de tiempo parcial en comparación con tendencias individuales". Econometrica . 1 (4): 387–401. doi :10.2307/1907330. JSTOR  1907330.
2. Lovell, M. (1963). "Ajuste estacional de series temporales económicas y análisis de regresión múltiple". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 58 (304): 993–1010. doi :10.1080/01621459.1963.10480682.
3. Lovell, M. (2008). "Una demostración sencilla del teorema FWL". Revista de educación económica . 39 (1): 88–91. doi :10.3200/JECE.39.1.88-91. S2CID  154907484.
4. Hayashi, Fumio (2000). Econometría. Princeton: Princeton University Press. Págs. 18-19. ISBN. 0-691-01018-8.
5. Davidson, James (2000). Teoría econométrica. Malden: Blackwell. pág. 7. ISBN 0-631-21584-0.
6. Mosteller, F.; Tukey, JW (1977). Análisis de datos y regresión: un segundo curso de estadística . Addison-Wesley.
7. Peng, Ding (2021). "El teorema de Frisch-Waugh-Lovell para errores estándar". Statistics and Probability Letters . 168 : 108945.
8. Yule, George Udny (1907). "Sobre la teoría de la correlación para cualquier número de variables, tratada mediante un nuevo sistema de notación". Actas de la Royal Society A . 79 (529): 182–193. doi :10.1098/rspa.1907.0028. hdl : 2027/coo.31924081088423 .
9. Yule, George Udny (1932). Introducción a la teoría de la estadística, décima edición. Londres: Charles Griffin &Co.
10. Frisch, Ragnar; Mudgett, BD (1931). "Correlación estadística y la teoría de los tipos de conglomerados" (PDF) . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 21 (176): 375–392. doi :10.1080/01621459.1931.10502225.
11. Lovell, M. (1963). "Ajuste estacional de series temporales económicas y análisis de regresión múltiple". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 58 (304): 993–1010. doi :10.1080/01621459.1963.10480682.

Lectura adicional

• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e inferencia en econometría. Nueva York: Oxford University Press. pp. 19–24. ISBN 0-19-506011-3.
• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (2004). Teoría y métodos econométricos . Nueva York: Oxford University Press. pp. 62–75. ISBN 0-19-512372-7.
• Hastie, Trevor ; Tibshirani, Robert ; Friedman, Jerome (2017). "Regresión múltiple a partir de regresión univariante simple" (PDF) . Los elementos del aprendizaje estadístico: minería de datos, inferencia y predicción (2.ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 52–55. ISBN 978-0-387-84857-0.
• Ruud, PA (2000). Introducción a la teoría econométrica clásica. Nueva York: Oxford University Press. pp. 54–60. ISBN 0-19-511164-8.
• Stachurski, John (2016). Una introducción a la teoría econométrica. Prensa del MIT. págs. 311–314. ISBN 9780262337465.