Teorema de Dold-Thom

Sobre los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un complejo CW conexo

En topología algebraica , el teorema de Dold-Thom establece que los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un complejo CW conexo son los mismos que sus grupos de homología reducidos . La versión más común de su demostración consiste en mostrar que la composición de los funtores del grupo de homotopía con el producto simétrico infinito define una teoría de homología reducida. Una de las principales herramientas utilizadas para hacerlo son las cuasifibraciones . El teorema se ha generalizado de diversas maneras, por ejemplo mediante el teorema de isomorfismo de Almgren .

Existen otros teoremas que establecen relaciones entre homotopía y homología, como por ejemplo el teorema de Hurewicz . Otro enfoque lo proporciona la teoría de homotopía estable . Gracias al teorema de suspensión de Freudenthal , se puede ver que este último define en realidad una teoría de homología. Sin embargo, ninguno de ellos permite reducir directamente la homología a homotopía. Esta ventaja del teorema de Dold-Thom lo hace particularmente interesante para la geometría algebraica .

El teorema

Teorema de Dold-Thom. Para un complejo CW conexo X se tiene π _n SP( X ) ≅ H̃ _n ( X ), donde H̃ _n denota homología reducida y SP representa el producto simétrico infinito.

También es muy útil que exista un isomorfismo φ : π _n SP( X ) → H̃ _n ( X ) que es compatible con el homomorfismo de Hurewicz h : π _n ( X ) → H̃ _n ( X ), lo que significa que se tiene un diagrama conmutativo.

donde i _* es el mapa inducido por la inclusión i : X = SP ¹ ( X ) → SP( X ).

El siguiente ejemplo ilustra que el requisito de que X sea un complejo CW no se puede descartar de inmediato: sea X = C H ∨ C H la suma en cuña de dos copias del cono sobre el pendiente hawaiano . Se supone que el punto común de las dos copias es el punto 0 ∈ H que corta cada círculo. Por un lado, H ₁ ( X ) es un grupo infinito ^[1] mientras que H ₁ ( C H ) es trivial. Por otra parte, π ₁ (SP( X )) ≅ π ₁ (SP( C H )) × π ₁ (SP( C H )) se cumple ya que φ : SP( X ) × SP( Y ) → SP( X ∨ Y ) definido por φ([ x ₁ , ..., x _n ], [ y ₁ , ..., y _n ]) = ([ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ]) es un homeomorfismo para X e Y compactos .

Pero esto implica que o bien π ₁ (SP( C H )) ≅ H ₁ ( C H ) o bien π ₁ (SP( X )) ≅ H ₁ ( X ) no se cumple.

Bosquejo de la prueba

Se quiere demostrar que la familia de funtores h _n = π _n ∘ SP define una teoría de homología . Dold y Thom eligieron en su prueba inicial una ligera modificación de los axiomas de Eilenberg-Steenrod , es decir, llamar teoría de homología reducida a una familia de funtores ( h̃ n ) _n ∈ _{N 0 de la} categoría de complejos CW conexos y de base puntual a la categoría de grupos abelianos si satisfacen

1. Si f ≃ g : X → Y , entonces f _* = g _* : h̃ _n ( X ) → h̃ _n ( Y ), donde ≃ denota equivalencia de homotopía puntiaguda .
2. Existen homomorfismos de contorno naturales ∂ : h̃ _n ( X / A ) → h̃ _{n −1} ( A ) para cada par ( X , A ) con X y A conectados, lo que produce una secuencia exacta
   ${\displaystyle \qquad \dots \xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n}(A)\xrightarrow {i_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X)\xrightarrow {q_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X/A)\xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n-1}(A)\xrightarrow {i_{*}} \dots }$
   donde i : A → X es la inclusión y q : X → X / A es la función cociente.
3. h̃ _n ( S ¹ ) = 0 para n ≠ 1, donde S ¹ denota el círculo.
4. Sea ( X _λ ) el sistema de subespacios compactos de un espacio puntiagudo X que contiene el punto base. Entonces ( X _λ ) es un sistema directo junto con las inclusiones. Denotemos por respectivamente la inclusión si X _λ ⊂ X _μ . h̃ _n ( X _λ ) es un sistema directo también con los morfismos . Entonces el homomorfismo ${\displaystyle i_{\lambda }\colon X_{\lambda }\to X}$ ${\displaystyle i_{\lambda }^{\mu }\colon X_{\lambda }\to X_{\mu }}$ ${\displaystyle {i_{\lambda }^{\mu }}_{*}}$
   ${\displaystyle \qquad i_{*}\colon \varinjlim {\tilde {h}}_{n}(X_{\lambda })\to {\tilde {h}}_{n}(X),}$
   inducido por el se requiere que sea un isomorfismo. ${\displaystyle i_{\lambda *}}$

Se puede demostrar que para una teoría de homología reducida ( h̃ _n ) _{n ∈ N 0} existe un isomorfismo natural h̃ _n ( X ) ≅ H̃ _n ( X ; G ) con G = h̃ ₁ ( S ¹ ). ^[2]

Claramente, h _n es un funtor que cumple la propiedad 1, ya que SP es un funtor de homotopía. Además, la tercera propiedad es clara, ya que se tiene SP( S ¹ ) ≃ S ¹ . Por lo tanto, solo queda verificar los axiomas 2 y 4. El quid de esta tarea será el primer punto. Aquí es donde entran en juego las cuasifibraciones :

El objetivo es demostrar que la función p _* : SP( X ) → SP( X / A ) inducida por la función cociente p : X → X / A es una cuasifibración para un par CW ( X , A ) que consiste en complejos conexos. En primer lugar, como cada complejo CW es homotópicamente equivalente a un complejo simplicial, ^[3] X y A pueden asumirse como complejos simpliciales . Además, X será reemplazado por el cilindro de aplicación de la inclusión A → X . Esto no cambiará nada ya que SP es un funtor de homotopía. Basta con demostrar por inducción que p _*  : E _n → B _n es una cuasifibración con B _n = SP ⁿ ( X / A ) y E _n = p _* ⁻¹ ( B _n ). Para n = 0 esto se cumple trivialmente. En el paso de inducción, se descompone B _n en un entorno abierto de B _{n −1} y B _n − B _{n −1} y se muestra que estos dos conjuntos, junto con su intersección, se distinguen, es decir, que p restringido a cada una de las preimágenes de estos tres conjuntos es una cuasifibración. Se puede mostrar que B _n ya se distingue en sí mismo. Por lo tanto, p _* es de hecho una cuasifibración en todo SP( X ) y la larga secuencia exacta de tal implica que el axioma 2 se satisface cuando p _* ⁻¹ ([e]) ≅ SP( A ) se cumple.

Uno puede preguntarse si p _* ni siquiera es una fibración. Sin embargo, resulta que no es el caso: tome un camino arbitrario x _t para t ∈ [0, 1) en X − A que se aproxima a algún a ∈ A e interprételo como un camino en X / A ⊂ SP( X / A ). Entonces cualquier elevación de este camino a SP( X ) es de la forma x _t α _t con α _t ∈ A para cada t . Pero esto significa que su punto final a α ₁ es un múltiplo de a , por lo tanto diferente del punto base, por lo que la propiedad de elevación de homotopía no se cumple.

La verificación del cuarto axioma se puede hacer de forma bastante elemental, a diferencia del anterior.

Hay que tener en cuenta que hay una variedad de demostraciones diferentes, aunque esta es aparentemente la más popular. Por ejemplo, se han establecido demostraciones mediante la factorización por homología o conjuntos simpliciales . También se puede demostrar el teorema utilizando otras nociones de una teoría de homología (por ejemplo, los axiomas de Eilenberg-Steenrod).

Compatibilidad con el homomorfismo de Hurewicz

Para verificar la compatibilidad con el homomorfismo de Hurewicz, basta con demostrar que el enunciado es válido para X = S ⁿ . Esto se debe a que entonces se obtiene un prisma

para cada Elemento [ f ] ∈ π _n ( X ) representado por una función f : S ⁿ → X . Todos los lados excepto posiblemente el de abajo conmutan en este diagrama. Por lo tanto, se ve que todo el diagrama conmuta al considerar dónde se asigna 1 ∈ π _n ( S ⁿ ) ≅ Z. ​​Sin embargo, al usar los isomorfismos de suspensión para homotopía respectivamente grupos de homología, la tarea se reduce a mostrar la afirmación para S ¹ . Pero en este caso la inclusión SP ¹ ( S ¹ ) → SP( S ¹ ) es una equivalencia de homotopía.

Aplicaciones

Secuencia de Mayer-Vietoris

Una consecuencia directa del teorema de Dold-Thom es una nueva forma de derivar la sucesión de Mayer-Vietoris . Se obtiene el resultado formando primero el cuadrado de expulsión de homotopía de las inclusiones de la intersección A ∩ B de dos subespacios A , B ⊂ X en A y B. Luego se aplica SP a ese cuadrado y finalmente π _* al cuadrado de retirada resultante. ^[4]

Un teorema de Moore

Otra aplicación es una nueva demostración de un teorema enunciado por primera vez por Moore. Básicamente, predica lo siguiente:

Teorema. Un H-espacio X conmutativo, asociativo y conexo por trayectorias con un elemento identidad estricto tiene el tipo de homotopía débil de un espacio de Eilenberg-MacLane generalizado .

Obsérvese que SP( Y ) tiene esta propiedad para cada complejo CW conexo Y y que, por lo tanto, tiene el tipo de homotopía débil de un espacio de Eilenberg-MacLane generalizado. El teorema equivale a decir que todos los k -invariantes de un H-espacio conmutativo y asociativo con unidad estricta, conexo por trayectorias, se anulan.

Prueba

Sea G _n = π _n ( X ). Entonces existen funciones M ( G _n , n ) → X que inducen un isomorfismo en π _n si n ≥ 2 y un isomorfismo en H ₁ si n = 1 para un espacio de Moore M ( G _n , n ). ^[5] Estas dan una función

${\displaystyle \bigvee _{n}M(G_{n},n)\to X}$

Si se considera que las funciones preservan el punto base, entonces la estructura especial del espacio H de X produce una función

${\displaystyle f\colon \operatorname {SP} \left(\bigvee _{n}M(G_{n},n)\right)\to X}$

se obtiene sumando las imágenes de las coordenadas. Pero como hay homeomorfismos naturales

${\displaystyle \operatorname {SP} \left(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha }\right)\cong \prod _{\alpha }\operatorname {SP} (X_{\alpha }),}$

con Π denotando el producto débil, f induce isomorfismos en π _n para n ≥ 2. Pero como π ₁ ( X ) → π ₁ SP( X ) = H ₁ ( X ) inducido por la inclusión X → SP( X ) es el homomorfismo de Hurewicz y como los H-espacios tienen grupos fundamentales abelianos, f también induce isomorfismos en π ₁ . Gracias al teorema de Dold-Thom, cada SP( M ( G _n , n )) es ahora un espacio de Eilenberg-MacLane K ( G _n , n ). Esto también implica que la inclusión natural del producto débil Π _n SP( M ( G _n , n )) en el producto cartesiano es una equivalencia de homotopía débil. Por lo tanto, X tiene el tipo de homotopía débil de un espacio de Eilenberg-MacLane generalizado.

Geometría algebraica

Lo que distingue al teorema de Dold-Thom de otros fundamentos alternativos de la homología, como la cohomología de Cech o Alexander-Spanier, es que es de particular interés para la geometría algebraica, ya que permite reformular la homología utilizando únicamente la homotopía. Dado que la aplicación de métodos de la topología algebraica puede ser bastante reveladora en este campo, se intenta transferirlos a la geometría algebraica. Esto podría lograrse para la teoría de la homotopía, pero para la teoría de la homología solo de una manera bastante limitada utilizando una formulación mediante haces . Por lo tanto, el teorema de Dold-Thom produce un fundamento de la homología que tiene un análogo algebraico. ^[6]

Notas

1. Dold y Thom (1958), Ejemplo 6.11
2. Dold y Thom (1958), Satz 6,8
3. Hatcher (2002), Teorema 2C.5
4. El teorema de Dold-Thom en nLab
5. Hatcher (2002), Lema 4.31
6. El teorema de Dold-Thom Un ensayo de Thomas Barnet-Lamb

Referencias

• Aguilar, Marcelo; Gitler, Samuel; Prieto, Carlos (2008). Topología algebraica desde un punto de vista homotópico . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22489-3.
• Bandklayder, Lauren (2019), "El teorema de Dold-Thom a través de la homología de factorización", Journal of Homotopy and Related Sources , 14 (2): 579–593, doi : 10.1007/s40062-018-0219-1 , S2CID  256333418
• Döld, Albrecht; Thom, René (1958), "Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte", Annals of Mathematics , segunda serie, 67 (2): 239–281, doi :10.2307/1970005, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970005, MR  0097062
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• May, J. Peter (1990), "Equivalencias débiles y cuasifibraciones", Grupos de autoequivalencias y temas relacionados , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1425, págs. 91-101, doi :10.1007/BFb0083834, ISBN 978-3-540-52658-2
• Piccinini, Renzo A. (1992). Lecciones sobre teoría de la homotopía . Elsevier. ISBN 9780080872827.
• Spanier, Edwin (1959), "Productos simétricos infinitos, espacios funcionales y dualidad", Anales de matemáticas , 69 (1): 142–198, doi :10.2307/1970099, JSTOR  1970099

Enlaces externos

• ¿Por qué el teorema de Dold-Thom? en MathOverflow
• ¿El teorema de Dold-Thom para categorías infinitas? en MathOverflow
• Estructura de grupos en espacios de Eilenberg-MacLane en StackExchange