Teorema de mínimo-máximo

Caracterización variacional de valores propios de operadores hermíticos compactos en espacios de Hilbert

En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema de mínimo-máximo , o teorema variacional , o principio de mínimo-máximo de Courant-Fischer-Weyl , es un resultado que proporciona una caracterización variacional de los valores propios de los operadores hermíticos compactos en espacios de Hilbert . Puede considerarse como el punto de partida de muchos resultados de naturaleza similar.

En este artículo se analiza primero el caso de dimensión finita y sus aplicaciones antes de considerar los operadores compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Veremos que, para los operadores compactos, la demostración del teorema principal utiliza esencialmente la misma idea del argumento de dimensión finita.

En el caso de que el operador no sea hermítico, el teorema proporciona una caracterización equivalente de los valores singulares asociados . El teorema de mínimo-máximo puede extenderse a operadores autoadjuntos que estén acotados por debajo.

Matrices

Sea A una matriz hermítica n × n . Como ocurre con muchos otros resultados variacionales sobre valores propios, se considera el cociente de Rayleigh-Ritz R _A  : C ⁿ \ {0} → R definido por

${\displaystyle R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}$

donde (⋅, ⋅) denota el producto interno euclidiano sobre C ⁿ . Claramente, el cociente de Rayleigh de un vector propio es su valor propio asociado. De manera equivalente, el cociente de Rayleigh-Ritz se puede reemplazar por

${\displaystyle f(x)=(Ax,x),\;\|x\|=1.}$

Para las matrices hermíticas A , el rango de la función continua R _A ( x ), o f ( x ), es un intervalo compacto [ a , b ] de la recta real. El máximo b y el mínimo a son el valor propio más grande y más pequeño de A , respectivamente. El teorema de mínimo-máximo es un refinamiento de este hecho.

Teorema de mínimo-máximo

Sea hermítico en un espacio de producto interno con dimensión , con espectro ordenado en orden descendente . ${\textstyle A}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$

Sean los vectores propios ortogonales de longitud unitaria correspondientes. ${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$

Invierta el orden del espectro, de modo que . ${\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}$

(Desigualdad de Poincaré)  —  Sea un subespacio de con dimensión , entonces existen vectores unitarios , tales que ${\textstyle M}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle x,y\in M}$

${\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _{k}}$, y . ${\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}$

Prueba

La parte 2 es un corolario, utilizando . ${\textstyle -A}$

${\textstyle M}$es un subespacio dimensional, por lo que si elegimos cualquier lista de vectores, su extensión debe intersecarse en al menos una sola línea. ${\textstyle k}$ ${\textstyle n-k+1}$ ${\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}$ ${\textstyle M}$

Tomar la unidad . Eso es lo que necesitamos. ${\textstyle x\in M\cap N}$

${\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}$, desde . ${\textstyle x\in N}$

Desde entonces , encontramos . ${\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}$ ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}$

 teorema  mínimo-máximo $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}}$$

Prueba

La parte 2 es un corolario de la parte 1, al utilizar . ${\textstyle -A}$

Por la desigualdad de Poincaré, es un límite superior en el lado derecho. ${\textstyle \lambda _{k}}$

Al establecer , se alcanza el límite superior. ${\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}$

Contraejemplo en el caso no hermítico

Sea N la matriz nilpotente

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Defina el cociente de Rayleigh exactamente como se indicó anteriormente en el caso hermítico. Entonces es fácil ver que el único valor propio de N es cero, mientras que el valor máximo del cociente de Rayleigh es ⁠ ${\displaystyle R_{N}(x)}$1/2⁠ . Es decir, el valor máximo del cociente de Rayleigh es mayor que el valor propio máximo.

Aplicaciones

Principio de mínimo-máximo para valores singulares

Los valores singulares { σ _k } de una matriz cuadrada M son las raíces cuadradas de los valores propios de M * M (equivalentemente MM* ). Una consecuencia inmediata ^{[ cita requerida ]} de la primera igualdad en el teorema de mínimo-máximo es:

${\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}$

Similarmente,

${\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }=\min _{S:\dim(S)=n-k+1}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}$

Aquí se denota la ^entrada k en la secuencia decreciente de valores singulares, de modo que . ${\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{\downarrow }\geq \sigma _{2}^{\downarrow }\geq \cdots }$

Teorema de entrelazado de Cauchy

Sea A una matriz simétrica de n × n . La matriz B de m × m , donde m ≤ n , se denomina compresión de A si existe una proyección ortogonal P sobre un subespacio de dimensión m tal que PAP* = B . El teorema de entrelazado de Cauchy establece:

Teorema. Si los valores propios de A son α ₁ ≤ ... ≤ α _n , y los de B son β ₁ ≤ ... ≤ β _j ≤ ... ≤ β _m , entonces para todo j ≤ m ,

${\displaystyle \alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.}$

Esto se puede demostrar utilizando el principio de mínimo-máximo. Sea β _i el vector propio correspondiente b _i y S _j el subespacio de dimensión j S _j = span{ b ₁ , ..., b _j }, entonces

${\displaystyle \beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.}$

Según la primera parte de min-max, α _j ≤ β _j . Por otra parte, si definimos S _{m − j +1} = span{ b _j , ..., b _m }, entonces

${\displaystyle \beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},}$

donde la última desigualdad viene dada por la segunda parte de min-max.

Cuando n − m = 1 , tenemos α _j ≤ β _j ≤ α _{j +1} , de ahí el nombre de teorema de entrelazado .

Operadores compactos

Sea A un operador hermítico compacto en un espacio de Hilbert H. Recordemos que el espectro de dicho operador (el conjunto de valores propios) es un conjunto de números reales cuyo único punto de agrupamiento posible es cero. Por lo tanto, es conveniente enumerar los valores propios positivos de A como

${\displaystyle \cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},}$

donde las entradas se repiten con multiplicidad , como en el caso de la matriz. (Para enfatizar que la secuencia es decreciente, podemos escribir .) Cuando H es de dimensión infinita, la secuencia anterior de valores propios es necesariamente infinita. Ahora aplicamos el mismo razonamiento que en el caso de la matriz. Si S _k ⊂ H es un subespacio de dimensión k , podemos obtener el siguiente teorema. ${\displaystyle \lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }}$

Teorema (Mín-Máx). Sea A un operador compacto autoadjunto en un espacio de Hilbert H , cuyos valores propios positivos se enumeran en orden decreciente ... ≤ λ _k ≤ ... ≤ λ ₁ . Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}}$

Un par similar de igualdades se aplica a valores propios negativos.

Prueba

Sea S' el cierre del espacio lineal . El subespacio S' tiene codimensión k − 1. Por el mismo argumento de conteo de dimensión que en el caso de la matriz, S' ∩ S _k tiene dimensión positiva. Por lo tanto, existe x ∈ S'  ∩ S _k con . Como es un elemento de S' , tal x necesariamente satisface ${\displaystyle S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}}$ ${\displaystyle \|x\|=1}$

${\displaystyle (Ax,x)\leq \lambda _{k}.}$

Por lo tanto, para todos los S _k

${\displaystyle \inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}$

Pero A es compacto, por lo tanto la función f ( x ) = ( Ax , x ) es débilmente continua. Además, cualquier conjunto acotado en H es débilmente compacto. Esto nos permite reemplazar el ínfimo por el mínimo:

${\displaystyle \min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}$

Entonces

${\displaystyle \sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}$

Porque la igualdad se logra cuando , ${\displaystyle S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}$

${\displaystyle \max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}$

Esta es la primera parte del teorema mínimo-máximo para operadores autoadjuntos compactos.

De manera análoga, considérese ahora un subespacio ( k − 1) -dimensional S _{k −1} , cuyo complemento ortogonal se denota por S _{k −1} ^⊥ . Si S' = span{ u ₁ ... u _k },

${\displaystyle S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.}$

Entonces

${\displaystyle \exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}$

Esto implica

${\displaystyle \max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}$

donde se aplicó la compacidad de A. Indexar lo anterior por la colección de subespacios k-1 -dimensionales da

${\displaystyle \inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}$

Elijamos S _{k −1} = span{ u ₁ , ..., u _{k −1} } y deducimos

${\displaystyle \min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}$

Operadores autoadjuntos

El teorema de mínimo-máximo también se aplica a operadores autoadjuntos (posiblemente no acotados). ^{[1] [2]} Recordemos que el espectro esencial es el espectro sin valores propios aislados de multiplicidad finita. A veces tenemos algunos valores propios por debajo del espectro esencial y nos gustaría aproximar los valores propios y las funciones propias.

Teorema (Mín-Máx). Sea A autoadjunto y sean los valores propios de A por debajo del espectro esencial. Entonces ${\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }$

${\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}}$.

Si solo tenemos N valores propios y, por lo tanto, nos quedamos sin valores propios, entonces dejamos (la parte inferior del espectro esencial) para n>N , y la afirmación anterior se cumple después de reemplazar min-max con inf-sup. ${\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}$

Teorema (Máx-Mín). Sea A autoadjunto y sean los valores propios de A por debajo del espectro esencial. Entonces ${\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }$

${\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}}$.

Si solo tenemos N valores propios y, por lo tanto, nos quedamos sin valores propios, entonces dejamos (la parte inferior del espectro esencial) para n > N , y la afirmación anterior se cumple después de reemplazar max-min con sup-inf. ${\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}$

Las pruebas ^{[1] [2]} utilizan los siguientes resultados sobre operadores autoadjuntos:

Teorema. Sea A autoadjunto. Entonces, para si y sólo si . ^{[1] : 77} ${\displaystyle (A-E)\geq 0}$ ${\displaystyle E\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq [E,\infty )}$

Teorema. Si A es autoadjunto, entonces

${\displaystyle \inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }$

y

${\displaystyle \sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }$. ^{[1] : 77}

Véase también

• Principio de minimax de Courant
• Desigualdad máxima-mínima

Referencias

1. G. Teschl, Métodos matemáticos en mecánica cuántica (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
2. Lieb; Loss (2001). Análisis . GSM. Vol. 14 (2.ª ed.). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2783-9.

Enlaces externos y citas a trabajos relacionados

• Fisk, Steve (2005). "Una prueba muy breve del teorema de entrelazado de Cauchy para valores propios de matrices hermíticas". arXiv : math/0502408 .
• Hwang, Suk-Geun (2004). "Teorema de entrelazado de Cauchy para valores propios de matrices hermíticas". The American Mathematical Monthly . 111 (2): 157–159. doi :10.2307/4145217. JSTOR  4145217.
• Kline, Jeffery (2020). "Matrices hermíticas con borde y sumas de la función de Möbius". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 588 : 224–237. doi : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1978). Métodos de física matemática moderna IV: análisis de operadores. Academic Press. ISBN 978-0-08-057045-7.