Teorema del subgrupo cerrado

En matemáticas , el teorema de los subgrupos cerrados (a veces denominado teorema de Cartan ) es un teorema de la teoría de los grupos de Lie . Afirma que si H es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G , entonces H es un grupo de Lie incrustado con la estructura suave (y por lo tanto la topología del grupo ) que concuerda con la incrustación. ^{[1] [2] [3]} Uno de varios resultados conocidos como teorema de Cartan , fue publicado por primera vez en 1930 por Élie Cartan , ^[4] quien se inspiró en la prueba de John von Neumann de 1929 de un caso especial para grupos de líneas lineales. transformaciones . ^{[5] [6]}

Descripción general

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Ahora sea H un subgrupo cerrado arbitrario de G. Es necesario demostrar que H es una subvariedad embebida suave de G. El primer paso es identificar algo que podría ser el álgebra de Lie de H , es decir, el espacio tangente de H en la identidad. El desafío es que no se supone que H tenga suavidad y, por lo tanto, no está claro cómo se puede definir su espacio tangente. Para continuar, defina el "álgebra de Lie" de H mediante la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.}$$

No es difícil demostrar que es una subálgebra de Lie de . ^[7] En particular, es un subespacio de , que se podría esperar que sea el espacio tangente de H en la identidad. Sin embargo , para que esta idea funcione, debe ser lo suficientemente grande como para capturar información interesante sobre H. Si, por ejemplo, H fuera un subgrupo grande de G pero resultara ser cero, no sería útil. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

El paso clave, entonces, es demostrar que realmente captura todos los elementos de H que están suficientemente cerca de la identidad. Es decir, es necesario demostrar el siguiente lema crítico: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Lema  :  tome una pequeña vecindad U del origen demodo que el mapa exponencial envíe U difeomórficamente a alguna vecindadde la identidad en G , y sea log: V → U el inverso del mapa exponencial. Entonces hay una vecindad más pequeña W ⊂ V tal que si h pertenece a W ∩ H , entonces log( h ) pertenece a. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Una vez establecido esto, se pueden usar coordenadas exponenciales en W , es decir, escribir cada g ∈ W (no necesariamente en H ) como g = e ^X para X = log( g ) . En estas coordenadas, el lema dice que X corresponde a un punto en H precisamente si X pertenece a . Es decir, en coordenadas exponenciales cercanas a la identidad, H parece . Dado que es solo un subespacio de , esto significa que es como R ^k ⊂ R ⁿ , con y . Por lo tanto, hemos exhibido un " sistema de coordenadas de corte " en el que H ⊂ G se parece localmente a R ^k ⊂ R ⁿ , que es la condición para una subvariedad incrustada. ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}$

Vale la pena señalar que Rossmann muestra que para cualquier subgrupo H de G (no necesariamente cerrado), el álgebra de Lie de H es una subálgebra de Lie de . ^[10] Rossmann luego introduce coordenadas ^[11] en H que convierten el componente de identidad de H en un grupo de Lie. Es importante señalar, sin embargo, que la topología en H procedente de estas coordenadas no es la topología del subconjunto. Dicho así, el componente identidad de H es una subvariedad sumergida de G pero no una subvariedad incrustada. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En particular, el lema expuesto anteriormente no se cumple si H no es cerrado.

Ejemplo de un subgrupo no cerrado

El toro G. Imagine una hélice doblada dispuesta en la superficie representando H. Si a = p ⁄ q en términos más bajos, la hélice se cerrará sobre sí misma en (1, 1) después de p rotaciones en φ y q rotaciones en θ . Si a es irracional, la hélice gira indefinidamente.

Para ver un ejemplo de un subgrupo que no es un subgrupo de Lie incrustado, considere el toroide y una " devanado irracional del toroide ".

$${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},}$$

$${\displaystyle H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},}$$

unHdensoG^[12]topología relativaHHconectado a una ruta localúnicaH está

El ejemplo muestra que para algunos grupos H se pueden encontrar puntos en una vecindad arbitrariamente pequeña U en la topología relativa τ _r de la identidad que son exponenciales de elementos de h , pero no pueden conectarse a la identidad con un camino que permanezca en U. ^[13] El grupo ( H , τ _r ) no es un grupo de Lie. Si bien el mapa exp : h → ( H , τ _r ) es una biyección analítica, su inversa no es continua. Es decir, si U ⊂ h corresponde a un pequeño intervalo abierto − ε < θ < ε , no hay V ⊂ ( H , τ _r ) abierto con log( V ) ⊂ U debido a la aparición de los conjuntos V . Sin embargo, con la topología de grupo τ _g , ( H , τ _g ) es un grupo de Lie. Con esta topología, la inyección ι  : ( H , τ _g ) → G es una inmersión inyectiva analítica , pero no un homeomorfismo , por lo tanto, no una incrustación. También hay ejemplos de grupos H para los cuales se pueden encontrar puntos en una vecindad arbitrariamente pequeña (en la topología relativa) de la identidad que no son exponenciales de elementos de h . ^[14] Para subgrupos cerrados este no es el caso como lo muestra la siguiente prueba del teorema.

Aplicaciones

Debido a la conclusión del teorema, algunos autores optaron por definir grupos de Lie lineales o grupos de Lie matriciales como subgrupos cerrados de GL( n , R ) o GL( n , C ) . ^[15] En este escenario, se demuestra que cada elemento del grupo suficientemente cercano a la identidad es el exponencial de un elemento del álgebra de Lie. ^[8] (La prueba es prácticamente idéntica a la prueba del teorema del subgrupo cerrado que se presenta a continuación). De ello se deduce que cada subgrupo cerrado es una subvariedad incrustada de GL( n , C ) ^[16]

El teorema de la construcción del espacio homogéneo  :  si H ⊂ G es un subgrupo de Lie cerrado , entonces G / H , el espacio lateral izquierdo, tiene una estructura de variedad analítica real única tal que el mapa de cocientes π : G → G / H es una inmersión analítica . La acción izquierda dada por g ₁ ⋅ ( g ₂ H ) = ( g ₁ g ₂ ) H convierte G / H en un espacio G homogéneo .

El teorema del subgrupo cerrado ahora simplifica considerablemente las hipótesis, ampliando a priori la clase de espacios homogéneos. Todo subgrupo cerrado produce un espacio homogéneo.

De manera similar, el teorema del subgrupo cerrado simplifica la hipótesis del siguiente teorema.

Si X es un conjunto con acción de grupo transitivo y el grupo de isotropía o estabilizador de un punto x ∈ X es un subgrupo de Lie cerrado, entonces X tiene una estructura múltiple suave única tal que la acción es suave.

Condiciones de cierre

A continuación se dan algunas condiciones suficientes para que H ⊂ G sea cerrado y, por lo tanto, un grupo de Lie incrustado.

• Todos los grupos clásicos están cerrados en GL( F , n ) , donde F es R , C o H , los cuaterniones .
• Un subgrupo que está cerrado localmente está cerrado. ^[17] Un subgrupo es localmente cerrado si cada punto tiene una vecindad en U ⊂ G tal que H ∩ U está cerrado en U.
• Si H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B } , donde A es un grupo compacto y B es un conjunto cerrado, entonces H es cerrado. ^[18]
• Si h ⊂ g es una subálgebra de Lie tal que para ningún X ∈ g ∖ h , [ X , h ] ∈ h , entonces Γ( h ) , el grupo generado por e ^h , está cerrado en G . ^[19]
• Si X ∈ g , entonces el subgrupo de un parámetro generado por X no es cerrado si y solo si X es similar en C a una matriz diagonal con dos entradas de razón irracional. ^[20]
• Sea h ⊂ g una subálgebra de Lie. Si hay un grupo compacto k simplemente conexo con k isomorfo a h , entonces Γ( h ) está cerrado en G. ^[21]
• Si G es simplemente conexo y h ⊂ g es un ideal , entonces el subgrupo de Lie conexo con álgebra de Lie h es cerrado. ^[22]

Conversar

Un subgrupo de Lie incrustado H ⊂ G es cerrado ^[23] por lo que un subgrupo es un subgrupo de Lie incrustado si y solo si está cerrado. De manera equivalente, H es un subgrupo de Lie incrustado si y solo si su topología de grupo es igual a su topología relativa. ^[24]

Prueba

John von Neumann en 1929 demostró el teorema en el caso de grupos matriciales como se indica aquí. Destacó en muchas áreas, incluida la mecánica cuántica , la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas .

La prueba se da para grupos de matrices con G = GL( n , R ) por concreción y relativa simplicidad, ya que las matrices y su mapeo exponencial son conceptos más fáciles que en el caso general. Históricamente, este caso fue demostrado primero por John von Neumann en 1929, e inspiró a Cartan a demostrar el teorema completo del subgrupo cerrado en 1930. ^{[5] [6]} La demostración para G general es formalmente idéntica, ^[25] excepto que los elementos de El álgebra de Lie son campos vectoriales invariantes a la izquierda en G y el mapeo exponencial es el flujo de tiempo del campo vectorial. Si H ⊂ G con G cerrado en GL( n , R ) , entonces H está cerrado en GL( n , R ) , por lo que la especialización en GL( n , R ) en lugar de G ⊂ GL( n , R ) arbitraria importa poco .

Prueba del lema clave

Comenzamos estableciendo el lema clave establecido en la sección "descripción general" anterior.

Dote a g con un producto interno (por ejemplo, el producto interno de Hilbert-Schmidt ), y sea h el álgebra de Lie de H definida como h = { X ∈ M _n ( R ) = g | mi ^tX ∈ H ∀ t ∈ R } . Sea s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h } , el complemento ortogonal de h . Entonces g se descompone como la suma directa g = s ⊕ h , por lo que cada X ∈ g se expresa de forma única como X = S + T con S ∈ s , T ∈ h .

Defina un mapa Φ : g → GL( n , R ) por ( S , T ) ↦ e ^S e ^T . Expande las exponenciales,

$${\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),}$$

pushforwarddiferencial0Φ _∗ ( S , T ) =d/dtΦ( tS , tT ) | Se ve que _{t = 0}S + TΦ _∗ = Idteorema de la función inversaΦU ₁ ⊂ g , ​​V ₁ ⊂ GL( n , R )0 ∈ U ₁I ∈ V ₁Φreal-analítica de U ₁V ₁U ₁V ₁UV

Considere una base de vecindad contable Β en 0 ∈ g , ordenada linealmente por inclusión inversa con B ₁ ⊂ U ₁ . ^[a] Supongamos, con el fin de obtener una contradicción, que para todo i , Φ( B _i ) ∩ H contiene un elemento h _i que no está en la forma h _i = e ^{T _i} , T _i ∈ h . Entonces, dado que Φ es una biyección sobre B _i , existe una secuencia única X _i = S _i + T _i , con 0 ≠ S _i ∈ s y T _i ∈ h tal que X _i ∈ B _i converge a 0 porque Β es una base de vecindad, con e ^{S _i} e ^{T _i} = h _i . Dado que e ^{T _i} ∈ H y h _i ∈ H , e ^{S _i} ∈ H también.

Normalizar la secuencia en s , Y _i =si _yo/|| Si _yo ||. Toma sus valores en la esfera unitaria en s y como es compacto , hay una subsecuencia convergente que converge a Y ∈ s . ^[26] El índice i en adelante se refiere a esta subsecuencia. Se demostrará que e ^tY ∈ H , ∀ t ∈ R . Fije t y elija una secuencia m _i de números enteros tal que m _i || Si _yo || → t como yo → ∞ . Por ejemplo, m _i tal que m _i || Si _yo || ≤ t ≤ ( metro _yo + 1) || Si _yo || servirá, ya que S _i → 0 . Entonces

$${\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}$$

Como H es un grupo, el lado izquierdo está en H para todo i . Como H es cerrado, e ^tY ∈ H , ∀ t , ^[27] por lo tanto Y ∈ h . Esto es una contradicción. Por lo tanto, para algunos i los conjuntos U = Β _i y V = Φ(Β _i ) satisfacen e ^{U ∩ h} = H ∩ V y la exponencial restringida al conjunto abierto ( U ∩ h ) ⊂ h está en biyección analítica con el conjunto abierto establezca Φ( U ) ∩ H ⊂ H . Esto prueba el lema.

Prueba del teorema

Para j ≥ i , la imagen en H de B _j bajo Φ forma una base de vecindad en I. Esta es, por cierto, una base de vecindad tanto en la topología de grupo como en la topología relativa . Dado que la multiplicación en G es analítica, las traslaciones izquierda y derecha de esta base de vecindad por un elemento de grupo g ∈ G dan una base de vecindad en g . Estas bases restringidas a H dan bases vecinas en todo h ∈ H . La topología generada por estas bases es la topología relativa. La conclusión es que la topología relativa es la misma que la topología de grupo.

A continuación, construya gráficos de coordenadas en H. Primero defina φ ₁  : e ^{( U )} ⊂ G → g , g ↦ log( g ) . Ésta es una biyección analítica con inversa analítica. Además, si h ∈ H , entonces φ ₁ ( h ) ∈ h . Fijando una base para g = h ⊕ s e identificando g con R ⁿ , entonces en estas coordenadas φ ₁ ( h ) = ( x ₁ ( h ), ..., x _m ( h ), 0, ..., 0) , donde m es la dimensión de h . Esto muestra que ( e ^U , φ ₁ ) es un gráfico de sectores . Al traducir los gráficos obtenidos a partir de la base de vecindad contable utilizada anteriormente, se obtienen gráficos de corte alrededor de cada punto en H. Esto muestra que H es una subvariedad incrustada de G .

Además, la multiplicación m y la inversión i en H son analíticas ya que estas operaciones son analíticas en G y la restricción a una subvariedad (incrustada o sumergida) con la topología relativa nuevamente produce operaciones analíticas m  : H × H → G e i  : H × H → GRAMO . ^[28] Pero como H está incrustado, m  : H × H → H e i  : H × H → H también son analíticos. ^[29]

Ver también

• Teorema de la función inversa
• correspondencia mentirosa

Notas

1. Para esto se pueden elegir bolas abiertas, Β = { B _k | diámetro( B _k ) =1/k + m, k ∈ N } para algo suficientemente grande m tal que B ₁ ⊂ U ₁ . Aquí se utiliza la métrica obtenida del producto interno de Hilbert-Schmidt.

Citas

1. Lee 2003, Teorema 20.10. Lee afirma y demuestra este teorema con toda generalidad.
2. Rossmann 2002, Teorema 1, Sección 2.7 Rossmann establece el teorema de los grupos lineales. La afirmación es que hay un subconjunto abierto U ⊂ g tal que U × H → G , ( X , H ) → e ^X H es una biyección analítica en una vecindad abierta de H en G .
3. Hall 2015, Para grupos lineales, Hall demuestra un resultado similar en el Corolario 3.45.
4. Cartan 1930, § 26.
5. von Neumann 1929.
6. Bochner 1958.
7. Salón 2015, Teorema 3.20.
8. Hall 2015, Teorema 3.42.
9. Lee 2003, Capítulo 5.
10. Rossmann 2002, Capítulo 2, Proposición 1 y Corolario 7.
11. Rossmann 2002, sección 2.3.
12. Lee 2003, ejemplo 7.3.
13. Rossmann 2002, consulte el comentario al Corolario 5, Sección 2.2.
14. Rossmann 2002.
15. Por ejemplo, Hall 2015. Consulte la definición en el Capítulo 1.
16. Salón 2015, Corolario 3.45.
17. Rossmann 2002, Problema 1. Sección 2.7.
18. Rossmann 2002, Problema 3. Sección 2.7.
19. Rossmann 2002, Problema 4. Sección 2.7.
20. Rossmann 2002, Problema 5. Sección 2.7.
21. Salón 2015, el resultado se desprende del teorema 5.6.
22. Salón 2015, Ejercicio 14 del Capítulo 5.
23. Lee 2003, Corolario 15.30.
24. Rossmann 2002, Problema 2. Sección 2.7.
25. Véase, por ejemplo, Lee 2003, capítulo 21.
26. Willard 1970, según el problema 17G, s es secuencialmente compacto, lo que significa que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
27. Willard 1970, Corolario 10.5.
28. Lee 2003, Proposición 8.22.
29. Lee 2003, Corolario 8.25.

Referencias

• Bochner, S. (1958), "John von Neumann 1903–1957" (PDF) , Memorias biográficas de la Academia Nacional de Ciencias : 438–456. Véase en particular la pág. 441.
• Cartan, Élie (1930), "La théorie des groupes finis et continus et l' Análisis Situs ", Mémorial Sc. Matemáticas. , vol. XLII, págs. 1–61
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales , Textos de posgrado en matemáticas de Oxford, Publicaciones científicas de Oxford, ISBN 0-19-859683-9
• von Neumann, John (1929), "Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 30 (1): 3–42, doi :10.1007/BF01187749, S2CID  122565679
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-43479-6