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Teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether

En teoría algebraica de números , el teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether establece que un álgebra simple central sobre un cuerpo de números algebraicos K que se descompone sobre cada completitud K v es un álgebra matricial sobre K. El teorema es un ejemplo de un principio local-global en teoría algebraica de números y conduce a una descripción completa de las álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos de números algebraicos en términos de sus invariantes locales . Fue demostrado independientemente por Richard Brauer , Helmut Hasse y Emmy Noether y por Abraham Adrian Albert .

Enunciado del teorema

Sea A un álgebra central simple de rango d sobre un cuerpo de números algebraicos K. Supóngase que para cualquier valoración v , A se divide sobre el cuerpo local correspondiente K v :

Entonces A es isomorfo al álgebra matricial M d ( K ).

Aplicaciones

Utilizando la teoría del grupo de Brauer , se demuestra que dos álgebras centrales simples A y B sobre un cuerpo de números algebraicos K son isomorfas sobre K si y sólo si sus compleciones A v y B v son isomorfas sobre la compleción K v para cada v .

Junto con el teorema de Grunwald-Wang , el teorema de Albert-Brauer - Hasse-Noether implica que toda álgebra central simple sobre un cuerpo de números algebraicos es cíclica , es decir, puede obtenerse mediante una construcción explícita a partir de una extensión de cuerpo cíclico L / K.

Véase también

Referencias

Notas