En álgebra , el primer y segundo teoremas fundamentales de la teoría de invariantes se refieren a los generadores y las relaciones del anillo de invariantes en el anillo de funciones polinómicas para grupos clásicos (aproximadamente el primero se refiere a los generadores y el segundo a las relaciones). [1] Los teoremas se encuentran entre los resultados más importantes de la teoría invariante .
Clásicamente los teoremas se demuestran sobre números complejos . Pero la teoría invariante sin características extiende los teoremas a un campo de características arbitrarias. [2]
Primer teorema fundamental para GL ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)}
El teorema establece que el anillo de funciones polinomiales invariantes
en es generado por las funciones , donde están en y . [3]![{\displaystyle {V^{*}}^{p}\oplus V^{q}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \alpha _ {i}|v_ {j} \rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha _ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{j}\en V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Segundo teorema fundamental para el grupo lineal general.
Sean V , W espacios vectoriales de dimensión finita sobre los números complejos. Entonces los únicos ideales primos invariantes son el ideal determinante
generado por los determinantes de todos los menores . [4]![{\displaystyle \operatorname {GL} (V)\times \operatorname {GL} (W)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [\operatorname {hom} (V,W)]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{k}=\mathbb {C} [\operatorname {hom} (V,W)]D_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\times k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
- ^ Proceso 2007, cap. 9, § 1.4.
- ^ Proceso 2007, cap. 13 desarrolla esta teoría.
- ^ Proceso 2007, cap. 9, § 1.4.
- ^ Proceso 2007, cap. 11, § 5.1.
Referencias
- Proceso, Claudio (2007). Grupos de mentiras: una aproximación a través de invariantes y representaciones . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-26040-2. OCLC 191464530.
Otras lecturas
- Cap. II, § 4. de E. Arbarello, M. Cornalba, PA Griffiths y J. Harris, Geometría de curvas algebraicas. vol. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 267, Springer-Verlag, Nueva York, 1985. MR0770932
- Artín, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR 1153249. OCLC 246650103.
- Hanspeter Kraft y Claudio Procesi, Teoría clásica invariante, introducción
- Weyl, Hermann (1939), Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, SEÑOR 0000255