Teoría de Landau

Teoría de las transiciones de fase continuas.

La teoría de Landau (también conocida como teoría de Ginzburg-Landau , a pesar del nombre confuso ^[1] ) en física es una teoría que Lev Landau introdujo en un intento de formular una teoría general de las transiciones de fase continuas (es decir, de segundo orden) . ^[2] También se puede adaptar a sistemas en campos aplicados externamente y utilizar como modelo cuantitativo para transiciones discontinuas (es decir, de primer orden). Aunque la teoría ahora ha sido reemplazada por el grupo de renormalización y las formulaciones de la teoría de escalamiento, sigue siendo un marco excepcionalmente amplio y poderoso para las transiciones de fase, y el concepto asociado del parámetro de orden como descriptor del carácter esencial de la transición ha demostrado ser transformador.

Formulación de campo medio (sin correlación de largo alcance)

Landau se sintió motivado a sugerir que la energía libre de cualquier sistema debería obedecer a dos condiciones:

• Sea analítico en el parámetro de orden y sus gradientes.
• Obedecer la simetría del hamiltoniano .

Dadas estas dos condiciones, se puede escribir (en las proximidades de la temperatura crítica, Tc ) una expresión fenomenológica para la energía libre como una expansión de Taylor _en el parámetro de orden .

Transiciones de segundo orden

Bosquejo de la energía libre en función del parámetro de orden. ${\displaystyle \eta }$

Considere un sistema que rompe cierta simetría debajo de una transición de fase, que se caracteriza por un parámetro de orden . Este parámetro de orden es una medida del orden antes y después de una transición de fase; el parámetro de orden suele ser cero por encima de alguna temperatura crítica y distinto de cero por debajo de la temperatura crítica. En un sistema ferromagnético simple como el modelo de Ising , el parámetro de orden se caracteriza por la magnetización neta , que se vuelve espontáneamente distinta de cero por debajo de una temperatura crítica . En la teoría de Landau, se considera un funcional de energía libre que es una función analítica del parámetro de orden. En muchos sistemas con ciertas simetrías, la energía libre solo será función de potencias pares del parámetro de orden, para lo cual se puede expresar como la expansión en serie ^[3] ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots }$

En general, hay términos de orden superior presentes en la energía libre, pero es una aproximación razonable considerar la serie de cuarto orden en el parámetro de orden, siempre que el parámetro de orden sea pequeño. Para que el sistema sea termodinámicamente estable (es decir, el sistema no busca un parámetro de orden infinito para minimizar la energía), el coeficiente de la potencia par más alta del parámetro de orden debe ser positivo, por lo que . Por simplicidad, se puede suponer que , una temperatura constante, cercana a la crítica. Además, dado que los cambios se registran por encima y por debajo de la temperatura crítica, también se puede expandir , donde se supone que para la fase de alta temperatura, mientras que para la fase de baja temperatura, se produce una transición. Con estos supuestos, minimizar la energía libre con respecto al parámetro de orden requiere ${\displaystyle b(T)>0}$ ${\displaystyle b(T)=b_{0}}$ ${\displaystyle a(T)}$ ${\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

La solución al parámetro de orden que satisface esta condición es o ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})}$

Parámetro de orden y calor específico en función de la temperatura.

Está claro que esta solución sólo existe para , de lo contrario es la única solución. De hecho, es la solución mínima para , pero la solución minimiza la energía libre para , y por tanto es una fase estable. Además, el parámetro de orden sigue la relación ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T>T_{c}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle \eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}}$

por debajo de la temperatura crítica, lo que indica un exponente crítico para este modelo de teoría media de Landau. ${\displaystyle \beta =1/2}$

La energía libre variará en función de la temperatura dada por

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

A partir de la energía libre, se puede calcular el calor específico,

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

que tiene un salto finito a la temperatura crítica de tamaño . Por lo tanto, este salto finito no está asociado con una discontinuidad que se produciría si el sistema absorbiera calor latente , ya que . También es digno de mención que la discontinuidad en el calor específico está relacionada con la discontinuidad en la segunda derivada de la energía libre, que es característica de una transición de fase de segundo orden. Además, el hecho de que el calor específico no tenga divergencia ni cúspide en el punto crítico indica que su exponente crítico es . ${\displaystyle \Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}}$ ${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$ ${\displaystyle c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Representaciones irreductibles

Landau amplió su teoría para considerar las restricciones que impone a las simetrías antes y después de una transición de segundo orden. Deben cumplir una serie de requisitos:

• La simetría distorsionada (u ordenada) debe ser un subgrupo de la superior.
• El parámetro de orden que encarna la distorsión debe transformarse como una única representación irreducible (irrep) de la simetría principal.
• El irrep no debe contener un invariante de tercer orden.
• Si la irrep permite más de un invariante de cuarto orden, la simetría resultante minimiza una combinación lineal de estos invariantes.

En el último caso, debería ser posible alcanzar más de una estructura hija mediante una transición continua. Un buen ejemplo de esto es la estructura de MnP (grupo espacial Cmca) y la estructura de baja temperatura de NbS (grupo espacial P6 ₃ mc). Ambas son hijas de la estructura NiAs y sus distorsiones se transforman según la misma irrep. de ese grupo espacial. ^[4]

Campos aplicados

En muchos sistemas, se puede considerar un campo perturbador que se acopla linealmente al parámetro de orden. Por ejemplo, en el caso de un momento dipolar clásico , la energía del sistema dipolo-campo es . En el caso general, se puede suponer un cambio de energía debido al acoplamiento del parámetro de orden al campo aplicado , y la energía libre de Landau cambiará como resultado: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu B}$ ${\displaystyle -\eta h}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h}$

En este caso, la condición de minimización es

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

Una consecuencia inmediata de esta ecuación y su solución es que, si el campo aplicado es distinto de cero, entonces la magnetización es distinta de cero a cualquier temperatura. Esto implica que ya no se produce una ruptura espontánea de la simetría a cualquier temperatura. Además, a partir de esta condición anterior se pueden obtener algunas cantidades termodinámicas y universales interesantes. Por ejemplo, a la temperatura crítica donde , se puede encontrar la dependencia del parámetro de orden del campo externo: ${\displaystyle a(T_{c})=0}$

${\displaystyle \eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}$

indicando un exponente crítico . ${\displaystyle \delta =3}$

Susceptibilidad de campo cero en función de la temperatura cercana a la temperatura crítica

Además, a partir de la condición anterior, es posible encontrar la susceptibilidad de campo cero , que debe satisfacer ${\displaystyle \chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}}$

${\displaystyle 0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1}$

En este caso, recordando en el caso de campo cero que a bajas temperaturas, mientras que para temperaturas superiores a la temperatura crítica, la susceptibilidad de campo cero tiene por lo tanto la siguiente dependencia de la temperatura: ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/b}$ ${\displaystyle \eta ^{2}=0}$

${\displaystyle \chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }}$

que recuerda a la ley de Curie-Weiss para la dependencia de la susceptibilidad magnética con la temperatura en materiales magnéticos y produce el exponente crítico del campo medio . ${\displaystyle \gamma =1}$

Es de destacar que, aunque los exponentes críticos así obtenidos son incorrectos para muchos modelos y sistemas, satisfacen correctamente varias igualdades de exponentes, como la igualdad de Rushbrook: . ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =1}$

Transiciones de primer orden

La teoría de Landau también se puede utilizar para estudiar transiciones de primer orden . Hay dos formulaciones diferentes, dependiendo de si el sistema es simétrico o no ante un cambio de signo del parámetro de orden.

I. Caso simétrico

Aquí consideramos el caso en el que el sistema tiene simetría y la energía es invariante cuando el parámetro de orden cambia de signo. Surgirá una transición de primer orden si el término cuartico in es negativo. Para garantizar que la energía libre siga siendo positiva en general , se debe llevar la expansión de la energía libre al sexto orden, ^{[5] [6]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

donde , y es una temperatura a la que cambia de signo. Denotamos esta temperatura por y no , ya que a continuación se verá que no es la temperatura de la transición de primer orden, y dado que no hay un punto crítico, la noción de "temperatura crítica" es engañosa para empezar. y son coeficientes positivos. ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},}$ ${\displaystyle C_{0}}$

Analizamos este funcional de energía libre de la siguiente manera: (i) Para , los términos y son cóncavos hacia arriba para todos , mientras que el término es cóncavo hacia abajo. Así, para temperaturas suficientemente altas es cóncavo hacia arriba para todos , y la solución de equilibrio es . (ii) Para , ambos términos y son negativos, también lo es un máximo local y el mínimo de tiene algún valor distinto de cero , con . (iii) Justo por encima de , se convierte en un mínimo local, pero el mínimo en sigue siendo el mínimo global ya que tiene una energía libre más baja. De ello se deduce que a medida que la temperatura aumenta por encima de , el mínimo global no puede evolucionar continuamente desde 0. Más bien, en alguna temperatura intermedia , los mínimos en y deben degenerar. Para , el mínimo global saltará discontinuamente desde 0. ${\displaystyle T>T_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{6}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{4}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T<T_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{4}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pm \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle F(T_{0},\eta _{0}(T_{0}))<0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T>T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$

Para encontrar , exigimos que la energía libre sea cero en (al igual que la solución) y, además, que este punto sea un mínimo local. Estas dos condiciones producen dos ecuaciones, ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{0}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5},}$

Transición de fase de primer orden demostrada en la discontinuidad del parámetro de orden en función de la temperatura

que están satisfechos cuando . Las mismas ecuaciones también implican eso . Eso es, ${\displaystyle \eta ^{2}(T_{*})={B_{0}}/{2C_{0}}}$ ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=B_{0}^{2}/4C_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4A_{0}C_{0}}}.}$

De este análisis se pueden ver explícitamente los dos puntos planteados anteriormente. Primero, el parámetro de orden sufre un salto discontinuo desde 0. Segundo, la temperatura de transición no es la misma que la temperatura donde desaparece. ${\displaystyle (B_{0}/2C_{0})^{1/2}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$

A temperaturas por debajo de la temperatura de transición, el parámetro de orden viene dado por ${\displaystyle T<T_{*}}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]}$

que se traza a la derecha. Esto muestra la clara discontinuidad asociada al parámetro de orden en función de la temperatura. Para demostrar aún más que la transición es de primer orden, se puede demostrar que la energía libre para este parámetro de orden es continua a la temperatura de transición , pero su primera derivada (la entropía) sufre de una discontinuidad, lo que refleja la existencia de una transición distinta de cero. calor latente. ${\displaystyle T_{*}}$

II. Caso no simétrico

A continuación consideramos el caso en el que el sistema no tiene simetría. En este caso no hay razón para mantener sólo potencias pares de en la expansión de , y se debe permitir un término cúbico (el término lineal siempre puede eliminarse mediante un desplazamiento + constante). Por lo tanto, consideramos una energía libre funcional ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta \to \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .}$

Una vez más , y son todos positivos. Siempre se puede elegir que el signo del término cúbico sea negativo como lo hemos hecho invirtiendo el signo de si es necesario. ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},C_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$

Analizamos esta energía libre funcional de la siguiente manera: (i) Para , tenemos un máximo local en , y dado que la energía libre está acotada por debajo, debe haber dos mínimos locales en valores distintos de cero y . El término cúbico asegura que es el mínimo global ya que es más profundo. (ii) Justo por encima de , el mínimo en desaparece, el máximo en se convierte en un mínimo local, pero el mínimo en persiste y continúa siendo el mínimo global. A medida que la temperatura aumenta aún más, aumenta hasta que es igual a cero en alguna temperatura . En obtenemos un salto discontinuo en el mínimo global de a 0. (Los mínimos no pueden fusionarse porque eso requeriría que las tres primeras derivadas de desaparecieran en ). ${\displaystyle T<T_{0}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{-}(T)<0}$ ${\displaystyle \eta _{+}(T)>0}$ ${\displaystyle \eta _{+}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{-}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{+}}$ ${\displaystyle F(T,\eta _{+}(T))}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{+}(T_{*})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta =0}$

Para encontrar , exigimos que la energía libre sea cero en (al igual que la solución) y, además, que este punto sea un mínimo local. Estas dos condiciones producen dos ecuaciones, ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{+}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3},}$

que están satisfechos cuando . Las mismas ecuaciones también implican eso . Eso es, ${\displaystyle \eta (T_{*})={C_{0}}/{2B_{0}}}$ ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=C_{0}^{2}/4B_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4A_{0}B_{0}}}.}$

Como en el caso simétrico el parámetro de orden sufre un salto discontinuo desde 0. En segundo lugar, la temperatura de transición no es la misma que la temperatura donde desaparece. ${\displaystyle (C_{0}/2B_{0})}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$

Aplicaciones

It was known experimentally that the liquid–gas coexistence curve and the ferromagnet magnetization curve both exhibited a scaling relation of the form ${\displaystyle |T-T_{c}|^{\beta }}$, where ${\displaystyle \beta }$ was mysteriously the same for both systems. This is the phenomenon of universality. It was also known that simple liquid–gas models are exactly mappable to simple magnetic models, which implied that the two systems possess the same symmetries. It then followed from Landau theory why these two apparently disparate systems should have the same critical exponents, despite having different microscopic parameters. It is now known that the phenomenon of universality arises for other reasons (see Renormalization group). In fact, Landau theory predicts the incorrect critical exponents for the Ising and liquid–gas systems.

The great virtue of Landau theory is that it makes specific predictions for what kind of non-analytic behavior one should see when the underlying free energy is analytic. Then, all the non-analyticity at the critical point, the critical exponents, are because the equilibrium value of the order parameter changes non-analytically, as a square root, whenever the free energy loses its unique minimum.

The extension of Landau theory to include fluctuations in the order parameter shows that Landau theory is only strictly valid near the critical points of ordinary systems with spatial dimensions higher than 4. This is the upper critical dimension, and it can be much higher than four in more finely tuned phase transition. In Mukhamel's analysis of the isotropic Lifschitz point, the critical dimension is 8. This is because Landau theory is a mean field theory, and does not include long-range correlations.

This theory does not explain non-analyticity at the critical point, but when applied to superfluid and superconductor phase transition, Landau's theory provided inspiration for another theory, the Ginzburg–Landau theory of superconductivity.

Including long-range correlations

Consider the Ising model free energy above. Assume that the order parameter ${\displaystyle \Psi }$ and external magnetic field, ${\displaystyle h}$, may have spatial variations. Now, the free energy of the system can be assumed to take the following modified form:

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)}$

where ${\displaystyle D}$ is the total spatial dimensionality. So,

${\displaystyle \langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}}$

Assume that, for a localized external magnetic perturbation ${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$, the order parameter takes the form ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$. Then,

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

Es decir, la fluctuación en el parámetro de orden corresponde a la correlación orden-orden. Por lo tanto, ignorar esta fluctuación (como en el enfoque anterior de campo medio) corresponde a ignorar la correlación orden-orden, que diverge cerca del punto crítico. ${\displaystyle \phi (x)}$

También se puede resolver ^[7] para , a partir del cual se puede deducir el exponente de escala, , para la longitud de correlación . A partir de estos, el criterio de Ginzburg para la dimensión crítica superior de la validez de la teoría de Landau del campo medio de Ising (la que no tiene correlación de largo alcance) se puede calcular como: ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }}$

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

En nuestro modelo de Ising actual, la teoría de Landau de campo medio da y, por lo tanto, (la teoría de Landau de campo medio de Ising) es válida sólo para una dimensionalidad espacial mayor o igual a 4 (en los valores marginales de , hay pequeñas correcciones a la exponentes). Esta versión modificada de la teoría de Landau del campo medio a veces también se conoce como teoría de Landau-Ginzburg de las transiciones de fase de Ising. Como aclaración, también existe una teoría de Landau-Ginzburg específica para la transición de fase de la superconductividad, que también incluye fluctuaciones. ${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$ ${\displaystyle D=4}$

Ver también

• Teoría de Ginzburg-Landau
• Teoría de Landau-de Gennes
• criterio de Ginzburg
• Ecuación de Stuart-Landau

Notas a pie de página

1. Hohenberg, ordenador personal; Krejov, AP (4 de abril de 2015). "Una introducción a la teoría de Ginzburg-Landau de transiciones de fase y patrones de desequilibrio". Informes de Física . 572 : 1–42. arXiv : 1410.7285 . Código Bib : 2015PhR...572....1H. doi :10.1016/j.physrep.2015.01.001. ISSN  0370-1573.
2. Lev D. Landau (1937). «Sobre la teoría de las transiciones de fase» (PDF) . Z h. Eksp. Teor. Fiz . 7 : 19-32. Archivado desde el original (PDF) el 14 de diciembre de 2015.
3. Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). Física Estadística . vol. 5. Elsevier. ISBN 978-0080570464.
4. Franzen, HF; Haas, C.; Jellinek, F. (1974). "Transiciones de fase entre fases de tipo NiAs y MnP". Física. Rev. B. 10 (4): 1248-1251. Código bibliográfico : 1974PhRvB..10.1248F. doi : 10.1103/PhysRevB.10.1248.
5. Tolédano, JC; Tolédano, P. (1987). "Capítulo 5: Transiciones de primer orden". La teoría de Landau de las transiciones de fase. Compañía editorial científica mundial. ISBN 9813103949.
6. Stoof, HTC; Gubbels, KB; Dickerscheid, DBM (2009). Campos cuánticos ultrafríos . Saltador. ISBN 978-1-4020-8763-9.
7. "Física estadística del equilibrio" por Michael Plischke, Birger Bergersen, sección 3.10, 3.ª ed.

Otras lecturas

• Landau LD Collected Papers (Nauka, Moscú, 1969)
• Michael C. Cross, Teoría de Landau de las transiciones de fase de segundo orden , [1] (notas de la conferencia sobre mecánica estadística de Caltech).
• Yukhnovskii, IR, Transiciones de fase de segundo orden: método de variables colectivas , World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6