Teoría de Landau

Teoría de las transiciones de fase continuas

La teoría de Landau (también conocida como teoría de Ginzburg-Landau , a pesar del nombre confuso ^[1] ) en física es una teoría que Lev Landau introdujo en un intento de formular una teoría general de transiciones de fase continuas (es decir, de segundo orden) . ^[2] También se puede adaptar a sistemas bajo campos aplicados externamente y se puede utilizar como un modelo cuantitativo para transiciones discontinuas (es decir, de primer orden). Aunque la teoría ahora ha sido reemplazada por las formulaciones de la teoría del grupo de renormalización y de la teoría de escala, sigue siendo un marco excepcionalmente amplio y poderoso para las transiciones de fase, y el concepto asociado del parámetro de orden como descriptor del carácter esencial de la transición ha demostrado ser transformador.

Formulación de campo medio (sin correlación de largo alcance)

Landau se vio motivado a sugerir que la energía libre de cualquier sistema debería obedecer a dos condiciones:

• Sea analítico en el parámetro de orden y sus gradientes.
• Obedezca la simetría del hamiltoniano .

Dadas estas dos condiciones, se puede escribir (en la proximidad de la temperatura crítica, T _c ) una expresión fenomenológica para la energía libre como una expansión de Taylor en el parámetro de orden .

Transiciones de segundo orden

Esquema de la energía libre en función del parámetro de orden ${\displaystyle \eta }$

Consideremos un sistema que rompe cierta simetría por debajo de una transición de fase, que se caracteriza por un parámetro de orden . Este parámetro de orden es una medida del orden antes y después de una transición de fase; el parámetro de orden es a menudo cero por encima de cierta temperatura crítica y distinto de cero por debajo de la temperatura crítica. En un sistema ferromagnético simple como el modelo de Ising , el parámetro de orden se caracteriza por la magnetización neta , que se vuelve espontáneamente distinta de cero por debajo de una temperatura crítica . En la teoría de Landau, se considera una energía libre funcional que es una función analítica del parámetro de orden. En muchos sistemas con ciertas simetrías, la energía libre solo será una función de potencias pares del parámetro de orden, para lo cual se puede expresar como la expansión en serie ^[3] ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots }$

En general, hay términos de orden superior presentes en la energía libre, pero es una aproximación razonable considerar la serie hasta cuarto orden en el parámetro de orden, siempre que el parámetro de orden sea pequeño. Para que el sistema sea termodinámicamente estable (es decir, el sistema no busca un parámetro de orden infinito para minimizar la energía), el coeficiente de la potencia par más alta del parámetro de orden debe ser positivo, por lo que . Para simplificar, se puede suponer que , una constante, cerca de la temperatura crítica. Además, dado que cambia de signo por encima y por debajo de la temperatura crítica, también se puede expandir , donde se supone que para la fase de alta temperatura mientras que para la fase de baja temperatura, para que se produzca una transición. Con estos supuestos, minimizar la energía libre con respecto al parámetro de orden requiere ${\displaystyle b(T)>0}$ ${\displaystyle b(T)=b_{0}}$ ${\displaystyle a(T)}$ ${\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

La solución del parámetro de orden que satisface esta condición es o bien ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})}$

Parámetro de orden y calor específico en función de la temperatura

Está claro que esta solución solo existe para , de lo contrario es la única solución. De hecho, es la solución mínima para , pero la solución minimiza la energía libre para , y por lo tanto es una fase estable. Además, el parámetro de orden sigue la relación ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T>T_{c}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle \eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}}$

por debajo de la temperatura crítica, lo que indica un exponente crítico para este modelo de teoría media de Landau. ${\displaystyle \beta =1/2}$

La energía libre variará en función de la temperatura dada por

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

A partir de la energía libre, se puede calcular el calor específico,

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

que tiene un salto finito en la temperatura crítica de tamaño . Por lo tanto, este salto finito no está asociado con una discontinuidad que ocurriría si el sistema absorbiera calor latente , ya que . También es digno de mención que la discontinuidad en el calor específico está relacionada con la discontinuidad en la segunda derivada de la energía libre, que es característica de una transición de fase de segundo orden. Además, el hecho de que el calor específico no tenga divergencia o cúspide en el punto crítico indica que su exponente crítico para es . ${\displaystyle \Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}}$ ${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$ ${\displaystyle c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Representaciones irreducibles

Landau amplió su teoría para tener en cuenta las restricciones que impone a las simetrías antes y después de una transición de segundo orden. Deben cumplir una serie de requisitos:

• La simetría distorsionada (u ordenada) debe ser un subgrupo de la superior.
• El parámetro de orden que representa la distorsión debe transformarse en una única representación irreducible (irrep) de la simetría principal.
• La irrep no debe contener un invariante de tercer orden
• Si la irrep permite más de un invariante de cuarto orden, la simetría resultante minimiza una combinación lineal de estos invariantes.

En este último caso, se debería poder alcanzar más de una estructura hija a través de una transición continua. Un buen ejemplo de esto son la estructura de MnP (grupo espacial Cmca) y la estructura de baja temperatura de NbS (grupo espacial P6 ₃ mc). Ambas son hijas de la estructura de NiAs y sus distorsiones se transforman de acuerdo con la misma irrep de ese grupo espacial. ^[4]

Campos aplicados

En muchos sistemas, se puede considerar un campo perturbador que se acopla linealmente al parámetro de orden. Por ejemplo, en el caso de un momento dipolar clásico , la energía del sistema de campo dipolar es . En el caso general, se puede suponer un cambio de energía de debido al acoplamiento del parámetro de orden al campo aplicado , y la energía libre de Landau cambiará como resultado: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu B}$ ${\displaystyle -\eta h}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h}$

En este caso, la condición de minimización es

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

Una consecuencia inmediata de esta ecuación y su solución es que, si el campo aplicado no es cero, entonces la magnetización no es cero a cualquier temperatura. Esto implica que ya no hay una ruptura espontánea de la simetría que se produce a cualquier temperatura. Además, se pueden obtener algunas cantidades termodinámicas y universales interesantes a partir de esta condición anterior. Por ejemplo, a la temperatura crítica donde , se puede encontrar la dependencia del parámetro de orden con el campo externo: ${\displaystyle a(T_{c})=0}$

${\displaystyle \eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}$

indicando un exponente crítico . ${\displaystyle \delta =3}$

Susceptibilidad de campo cero en función de la temperatura cerca de la temperatura crítica

Además, a partir de la condición anterior, es posible encontrar la susceptibilidad de campo cero , que debe satisfacer ${\displaystyle \chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}}$

${\displaystyle 0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1}$

En este caso, recordando en el caso de campo cero que a bajas temperaturas, mientras que para temperaturas superiores a la temperatura crítica, la susceptibilidad de campo cero tiene por tanto la siguiente dependencia de la temperatura: ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/b}$ ${\displaystyle \eta ^{2}=0}$

${\displaystyle \chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }}$

lo que recuerda la ley de Curie-Weiss para la dependencia de la temperatura de la susceptibilidad magnética en materiales magnéticos, y produce el exponente crítico del campo medio . ${\displaystyle \gamma =1}$

Es de destacar que, aunque los exponentes críticos así obtenidos son incorrectos para muchos modelos y sistemas, satisfacen correctamente varias igualdades de exponentes como la igualdad de Rushbrook: . ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =1}$

Transiciones de primer orden

La teoría de Landau también se puede utilizar para estudiar transiciones de primer orden . Existen dos formulaciones diferentes, dependiendo de si el sistema es simétrico o no ante un cambio de signo del parámetro de orden.

I. Caso simétrico

Aquí consideramos el caso en el que el sistema tiene simetría y la energía es invariante cuando el parámetro de orden cambia de signo. Surgirá una transición de primer orden si el término cuártico en es negativo. Para asegurar que la energía libre siga siendo positiva en general , se debe llevar la expansión de energía libre al sexto orden, ^{[5] [6]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

donde , y es una temperatura a la que cambia de signo. Denotamos esta temperatura por y no por , ya que a continuación se desprenderá que no es la temperatura de la transición de primer orden y, puesto que no hay un punto crítico, la noción de una "temperatura crítica" es engañosa desde el principio. y son coeficientes positivos. ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},}$ ${\displaystyle C_{0}}$

Analizamos esta energía libre funcional de la siguiente manera: (i) Para , los términos y son cóncavos hacia arriba para todos , mientras que el término es cóncavo hacia abajo. Por lo tanto, para temperaturas suficientemente altas es cóncava hacia arriba para todos , y la solución de equilibrio es . (ii) Para , ambos términos y son negativos, por lo que es un máximo local, y el mínimo de está en algún valor distinto de cero , con . (iii) Para justo por encima de , se convierte en un mínimo local, pero el mínimo en continúa siendo el mínimo global ya que tiene una energía libre menor. De ello se deduce que a medida que la temperatura se eleva por encima de , el mínimo global no puede evolucionar continuamente de a 0. Más bien, en alguna temperatura intermedia , los mínimos en y deben degenerarse. Para , el mínimo global saltará discontinuamente de a 0. ${\displaystyle T>T_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{6}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{4}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T<T_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{4}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pm \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle F(T_{0},\eta _{0}(T_{0}))<0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T>T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$

Para hallar , exigimos que la energía libre sea cero en (al igual que la solución), y además que este punto sea un mínimo local. Estas dos condiciones dan lugar a dos ecuaciones, ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{0}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5},}$

Transición de fase de primer orden demostrada en la discontinuidad del parámetro de orden en función de la temperatura

que se cumplen cuando . Las mismas ecuaciones también implican que . Es decir, ${\displaystyle \eta ^{2}(T_{*})={B_{0}}/{2C_{0}}}$ ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=B_{0}^{2}/4C_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4A_{0}C_{0}}}.}$

De este análisis se desprenden explícitamente los dos puntos planteados anteriormente. En primer lugar, el parámetro de orden sufre un salto discontinuo de a 0. En segundo lugar, la temperatura de transición no es la misma que la temperatura en la que se anula. ${\displaystyle (B_{0}/2C_{0})^{1/2}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$

A temperaturas inferiores a la temperatura de transición, el parámetro de orden viene dado por ${\displaystyle T<T_{*}}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]}$

que se representa gráficamente a la derecha. Esto muestra la clara discontinuidad asociada con el parámetro de orden como función de la temperatura. Para demostrar aún más que la transición es de primer orden, se puede demostrar que la energía libre para este parámetro de orden es continua a la temperatura de transición , pero su primera derivada (la entropía) sufre una discontinuidad, lo que refleja la existencia de un calor latente distinto de cero. ${\displaystyle T_{*}}$

II. Caso asimétrico

A continuación, consideramos el caso en el que el sistema no tiene simetría. En este caso, no hay razón para mantener sólo potencias pares de en la expansión de , y se debe permitir un término cúbico (el término lineal siempre se puede eliminar mediante un desplazamiento + constante). Por lo tanto, consideramos un funcional de energía libre ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta \to \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .}$

Una vez más , y son todos positivos. El signo del término cúbico siempre se puede elegir como negativo, como lo hemos hecho invirtiendo el signo de si es necesario. ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},C_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$

Analizamos esta energía libre funcional de la siguiente manera: (i) Para , tenemos un máximo local en , y dado que la energía libre está acotada por debajo, debe haber dos mínimos locales en valores distintos de cero y . El término cúbico asegura que es el mínimo global ya que es más profundo. (ii) Para justo por encima de , el mínimo en desaparece, el máximo en se convierte en un mínimo local, pero el mínimo en persiste y continúa siendo el mínimo global. A medida que la temperatura aumenta aún más, aumenta hasta que es igual a cero a alguna temperatura . En obtenemos un salto discontinuo en el mínimo global de a 0. (Los mínimos no pueden fusionarse porque eso requeriría que las primeras tres derivadas de se desvanecieran en ). ${\displaystyle T<T_{0}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{-}(T)<0}$ ${\displaystyle \eta _{+}(T)>0}$ ${\displaystyle \eta _{+}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{-}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{+}}$ ${\displaystyle F(T,\eta _{+}(T))}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{+}(T_{*})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta =0}$

Para hallar , exigimos que la energía libre sea cero en (al igual que la solución), y además que este punto sea un mínimo local. Estas dos condiciones dan lugar a dos ecuaciones, ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{+}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3},}$

que se cumplen cuando . Las mismas ecuaciones también implican que . Es decir, ${\displaystyle \eta (T_{*})={C_{0}}/{2B_{0}}}$ ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=C_{0}^{2}/4B_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4A_{0}B_{0}}}.}$

Como en el caso simétrico, el parámetro de orden sufre un salto discontinuo de a 0. En segundo lugar, la temperatura de transición no es la misma que la temperatura en la que se desvanece. ${\displaystyle (C_{0}/2B_{0})}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$

Aplicaciones

Se sabía experimentalmente que la curva de coexistencia líquido-gas y la curva de magnetización ferromagnética exhibían ambas una relación de escala de la forma , donde era misteriosamente la misma para ambos sistemas. Este es el fenómeno de la universalidad . También se sabía que los modelos simples de líquido-gas son exactamente mapeables a modelos magnéticos simples, lo que implicaba que los dos sistemas poseen las mismas simetrías. Luego se dedujo de la teoría de Landau por qué estos dos sistemas aparentemente dispares deberían tener los mismos exponentes críticos, a pesar de tener diferentes parámetros microscópicos. Ahora se sabe que el fenómeno de la universalidad surge por otras razones (ver Grupo de renormalización ). De hecho, la teoría de Landau predice los exponentes críticos incorrectos para los sistemas de Ising y líquido-gas. ${\displaystyle |T-T_{c}|^{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$

La gran virtud de la teoría de Landau es que hace predicciones específicas sobre qué tipo de comportamiento no analítico se debe observar cuando la energía libre subyacente es analítica. Entonces, toda la no analiticidad en el punto crítico, los exponentes críticos, se deben a que el valor de equilibrio del parámetro de orden cambia de manera no analítica, como una raíz cuadrada, siempre que la energía libre pierde su mínimo único.

La extensión de la teoría de Landau para incluir fluctuaciones en el parámetro de orden muestra que la teoría de Landau solo es estrictamente válida cerca de los puntos críticos de los sistemas ordinarios con dimensiones espaciales superiores a 4. Esta es la dimensión crítica superior, y puede ser mucho mayor que cuatro en una transición de fase más finamente ajustada. En el análisis de Mukhamel del punto isótropo de Lifschitz, la dimensión crítica es 8. Esto se debe a que la teoría de Landau es una teoría de campo medio y no incluye correlaciones de largo alcance.

Esta teoría no explica la no analiticidad en el punto crítico, pero cuando se aplicó a la transición de fase de superfluidos y superconductores, la teoría de Landau proporcionó inspiración para otra teoría, la teoría de Ginzburg-Landau de la superconductividad .

Incluyendo correlaciones de largo alcance

Consideremos la energía libre del modelo de Ising anterior. Supongamos que el parámetro de orden y el campo magnético externo, , pueden tener variaciones espaciales. Ahora, se puede suponer que la energía libre del sistema adopta la siguiente forma modificada: ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)}$

donde es la dimensionalidad espacial total. Por lo tanto, ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}}$

Supongamos que, para una perturbación magnética externa localizada , el parámetro de orden toma la forma . Entonces, ${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

Es decir, la fluctuación del parámetro de orden corresponde a la correlación orden-orden. Por lo tanto, descuidar esta fluctuación (como en el enfoque de campo medio anterior) corresponde a descuidar la correlación orden-orden, que diverge cerca del punto crítico. ${\displaystyle \phi (x)}$

También se puede resolver ^[7] para , de donde se puede deducir el exponente de escala, , para la longitud de correlación . A partir de estos, el criterio de Ginzburg para la dimensión crítica superior para la validez de la teoría de Landau de campo medio de Ising (la que no tiene correlación de largo alcance) se puede calcular como: ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }}$

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

En nuestro modelo actual de Ising, la teoría de Landau de campo medio da y, por lo tanto, (la teoría de Landau de campo medio de Ising) es válida solo para dimensionalidad espacial mayor o igual a 4 (en los valores marginales de , hay pequeñas correcciones a los exponentes). Esta versión modificada de la teoría de Landau de campo medio a veces también se conoce como la teoría de Landau-Ginzburg de transiciones de fase de Ising. Como aclaración, también existe una teoría de Landau-Ginzburg específica para la transición de fase de superconductividad, que también incluye fluctuaciones. ${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$ ${\displaystyle D=4}$

Véase también

• Teoría de Ginzburg-Landau
• Teoría de Landau-de-Gennes
• Criterio de Ginzburg
• Ecuación de Stuart-Landau

Notas al pie

1. Hohenberg, PC; Krekhov, AP (4 de abril de 2015). "Una introducción a la teoría de Ginzburg-Landau de transiciones de fase y patrones de no equilibrio". Physics Reports . 572 : 1–42. arXiv : 1410.7285 . Bibcode :2015PhR...572....1H. doi :10.1016/j.physrep.2015.01.001. ISSN  0370-1573.
2. Lev D. Landau (1937). "Sobre la teoría de las transiciones de fase" (PDF) . Zh. Eksp. Teor. Fiz . 7 : 19-32. Archivado desde el original (PDF) el 14 de diciembre de 2015.
3. Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). Física estadística . Vol. 5. Elsevier. ISBN 978-0080570464.
4. Franzen, HF; Haas, C.; Jellinek, F. (1974). "Transiciones de fase entre fases de tipo NiAs y MnP". Phys. Rev. B . 10 (4): 1248–1251. Código Bibliográfico :1974PhRvB..10.1248F. doi :10.1103/PhysRevB.10.1248.
5. Tolédano, JC; Tolédano, P. (1987). "Capítulo 5: Transiciones de primer orden". La teoría de Landau de las transiciones de fase. World Scientific Publishing Company. ISBN 9813103949.
6. Stoof, HTC; Gubbels, KB; Dickerscheid, DBM (2009). Campos cuánticos ultrafríos . Saltador. ISBN 978-1-4020-8763-9.
7. "Física estadística del equilibrio" de Michael Plischke, Birger Bergersen, Sección 3.10, 3.ª ed.

Lectura adicional

• Documentos recopilados de Landau LD (Nauka, Moscú, 1969)
• Michael C. Cross, Teoría de Landau de las transiciones de fase de segundo orden , [1] (notas de clase de mecánica estadística de Caltech).
• Yukhnovskii, IR, Transiciones de fase de segundo orden: método de variables colectivas , World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6