Interacción de Fermi

Mecanismo de desintegración beta propuesto en 1933

β⁻
desintegración en un núcleo atómico (se omite el antineutrino que la acompaña). El recuadro muestra la desintegración beta de un neutrón libre. En ambos procesos, la emisión intermedia de un neutrón virtual
Yo⁻
No se muestra el bosón (que luego se desintegra en electrón y antineutrino).

En física de partículas , la interacción de Fermi (también teoría de Fermi de la desintegración beta o interacción de Fermi de cuatro fermiones ) es una explicación de la desintegración beta , propuesta por Enrico Fermi en 1933. ^[1] La teoría postula cuatro fermiones que interactúan directamente entre sí (en un vértice del diagrama de Feynman asociado ). Esta interacción explica la desintegración beta de un neutrón mediante el acoplamiento directo de un neutrón con un electrón , un neutrino (que más tarde se determinó que era un antineutrino ) y un protón . ^[2]

Fermi introdujo por primera vez este acoplamiento en su descripción de la desintegración beta en 1933. ^[3] La interacción de Fermi fue la precursora de la teoría de la interacción débil , donde la interacción entre el protón-neutrón y el electrón-antineutrino está mediada por un bosón W − virtual, de la cual la teoría de Fermi es la teoría del campo efectivo de baja energía .

Según Eugene Wigner , quien junto con Jordan introdujo la transformación de Jordan-Wigner , el artículo de Fermi sobre la desintegración beta fue su principal contribución a la historia de la física. ^[4]

Historia del rechazo inicial y posterior publicación

Fermi presentó por primera vez su teoría "tentativa" de la desintegración beta a la prestigiosa revista científica Nature , que la rechazó "porque contenía especulaciones demasiado alejadas de la realidad como para ser de interés para el lector". ^{[5] [6]} Se ha argumentado que Nature admitió más tarde que el rechazo fue uno de los grandes errores editoriales de su historia, pero el biógrafo de Fermi, David N. Schwartz, ha objetado que esto no está probado y es poco probable. ^[7] Fermi luego envió versiones revisadas del artículo a publicaciones italianas y alemanas , que las aceptaron y las publicaron en esos idiomas en 1933 y 1934. ^{[8] [9] [10] [11]} El artículo no apareció en ese momento en una publicación primaria en inglés. ^[5] Una traducción al inglés del artículo seminal fue publicada en el American Journal of Physics en 1968. ^[11]

Fermi encontró tan preocupante el rechazo inicial del artículo que decidió tomarse un descanso de la física teórica y dedicarse sólo a la física experimental. Esto lo llevaría poco después a su famoso trabajo sobre la activación de núcleos con neutrones lentos.

El "tentativo"

Definiciones

La teoría trata de tres tipos de partículas que se presume que están en interacción directa: inicialmente una “ partícula pesada ” en el “estado de neutrón” ( ), que luego pasa a su “estado de protón” ( ) con la emisión de un electrón y un neutrino. ${\displaystyle \rho =+1}$ ${\displaystyle \rho =-1}$

Estado del electrón

${\displaystyle \psi =\sum _{s}\psi _{s}a_{s},}$

donde es la función de onda de un solo electrón , son sus estados estacionarios . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{s}}$

${\displaystyle a_{s}}$es el operador que aniquila un electrón en el estado ${\displaystyle s}$ que actúa sobre el espacio de Fock como

${\displaystyle a_{s}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,N_{s},\ldots )=(-1)^{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{s}-1}(1-N_{s})\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,1-N_{s},\ldots ).}$

${\displaystyle a_{s}^{*}}$es el operador de creación del estado del electrón ${\displaystyle s:}$

${\displaystyle a_{s}^{*}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,N_{s},\ldots )=(-1)^{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{s}-1}N_{s}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,1-N_{s},\ldots ).}$

Estado de neutrino

Similarmente,

${\displaystyle \phi =\sum _{\sigma }\phi _{\sigma }b_{\sigma },}$

donde es la función de onda de un solo neutrino y son sus estados estacionarios. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$

${\displaystyle b_{\sigma }}$es el operador que aniquila un neutrino en estado que actúa sobre el espacio de Fock como ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle b_{\sigma }\Phi (M_{1},M_{2},\ldots ,M_{\sigma },\ldots )=(-1)^{M_{1}+M_{2}+\cdots +M_{\sigma }-1}(1-M_{\sigma })\Phi (M_{1},M_{2},\ldots ,1-M_{\sigma },\ldots ).}$

${\displaystyle b_{\sigma }^{*}}$es el operador de creación para el estado del neutrino . ${\displaystyle \sigma }$

Estado de partícula pesada

${\displaystyle \rho }$es el operador introducido por Heisenberg (generalizado posteriormente en isospín ) que actúa sobre un estado de partícula pesada , que tiene valor propio +1 cuando la partícula es un neutrón y −1 si la partícula es un protón. Por lo tanto, los estados de partículas pesadas se representarán mediante vectores de columna de dos filas, donde

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

representa un neutrón, y

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

representa un protón (en la representación donde es la matriz de espín habitual ). ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

Los operadores que transforman una partícula pesada de protón a neutrón y viceversa están representados respectivamente por

${\displaystyle Q=\sigma _{x}-i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle Q^{*}=\sigma _{x}+i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle u_{n}}$resp. es una función propia para un neutrón o un protón en el estado . ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Hamiltoniano

El hamiltoniano se compone de tres partes: , que representa la energía de las partículas pesadas libres, , que representa la energía de las partículas ligeras libres, y una parte que da la interacción . ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}}$ ${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$ ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$

${\displaystyle H_{\text{h.p.}}={\frac {1}{2}}(1+\rho )N+{\frac {1}{2}}(1-\rho )P,}$

donde y son los operadores de energía del neutrón y el protón respectivamente, de modo que si , , y si , . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=N}$ ${\displaystyle \rho =-1}$ ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=P}$

${\displaystyle H_{\text{l.p.}}=\sum _{s}H_{s}N_{s}+\sum _{\sigma }K_{\sigma }M_{\sigma },}$

donde es la energía del electrón en el estado en el campo de Coulomb del núcleo, y es el número de electrones en ese estado; es el número de neutrinos en el estado, y la energía de cada uno de esos neutrinos (que se supone que están en un estado de onda plana libre). ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle s^{\text{th}}}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle M_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\sigma }}$

La parte de interacción debe contener un término que represente la transformación de un protón en un neutrón junto con la emisión de un electrón y un neutrino (ahora conocido como antineutrino), así como un término para el proceso inverso; la fuerza de Coulomb entre el electrón y el protón se ignora por ser irrelevante para el proceso de desintegración. ${\displaystyle \beta }$

Fermi propone dos valores posibles para : primero, una versión no relativista que ignora el espín: ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q\psi (x)\phi (x)+Q^{*}\psi ^{*}(x)\phi ^{*}(x)\right],}$

y posteriormente una versión que supone que las partículas ligeras son espinores de Dirac de cuatro componentes , pero que la velocidad de las partículas pesadas es pequeña en relación con y que los términos de interacción análogos al potencial vectorial electromagnético pueden ignorarse: ${\displaystyle c}$

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q{\tilde {\psi }}^{*}\delta \phi +Q^{*}{\tilde {\psi }}\delta \phi ^{*}\right],}$

donde y son ahora espinores de Dirac de cuatro componentes, representa el conjugado hermítico de , y es una matriz ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.}$

Elementos de la matriz

El estado del sistema se toma como dado por la tupla donde especifica si la partícula pesada es un neutrón o un protón, es el estado cuántico de la partícula pesada, es el número de electrones en estado y es el número de neutrinos en estado . ${\displaystyle \rho ,n,N_{1},N_{2},\ldots ,M_{1},M_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle \rho =\pm 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Utilizando la versión relativista de , Fermi da el elemento de matriz entre el estado con un neutrón en el estado y ningún electrón o neutrino presente en el estado o , y el estado con un protón en el estado y un electrón y un neutrino presentes en los estados y como ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g\int v_{m}^{*}u_{n}{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}d\tau ,}$

donde la integral se toma sobre todo el espacio de configuración de las partículas pesadas (excepto ). La se determina según si el número total de partículas ligeras es impar (−) o par (+). ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pm }$

Probabilidad de transición

Para calcular la vida útil de un neutrón en un estado según la teoría de perturbación cuántica habitual , los elementos de la matriz anteriores deben sumarse sobre todos los estados desocupados de electrones y neutrinos. Esto se simplifica suponiendo que las funciones propias de los electrones y neutrinos son constantes dentro del núcleo (es decir, su longitud de onda Compton es mucho mayor que el tamaño del núcleo). Esto conduce a ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{s}}$ ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau ,}$

donde y ahora se evalúan en la posición del núcleo. ${\displaystyle \psi _{s}}$ ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$

Según la regla de oro de Fermi ^{[ se necesita más explicación ]} , la probabilidad de esta transición es

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|a_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}&=\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\times {\frac {\exp {{\frac {2\pi i}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })t}-1}{-W+H_{s}+K_{\sigma }}}\right|^{2}\\&=4\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\times {\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi t}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })\right)}{(-W+H_{s}+K_{\sigma })^{2}}},\end{aligned}}}$

¿Dónde está la diferencia en la energía de los estados del protón y el neutrón? ${\displaystyle W}$

Promediando todas las direcciones de giro/momento de neutrinos de energía positiva (donde es la densidad de estados de neutrinos, eventualmente llevada al infinito), obtenemos ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$

${\displaystyle \left\langle \left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\right\rangle _{\text{avg}}={\frac {g^{2}}{4\Omega }}\left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

donde es la masa en reposo del neutrino y es la matriz de Dirac. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta }$

Teniendo en cuenta que la probabilidad de transición tiene un máximo pronunciado para los valores de para los cuales , esto se simplifica a ^{[ se necesita más explicación ]} ${\displaystyle p_{\sigma }}$ ${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$

${\displaystyle t{\frac {8\pi ^{3}g^{2}}{h^{4}}}\times \left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}{\frac {p_{\sigma }^{2}}{v_{\sigma }}}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

donde y son los valores para los cuales . ${\displaystyle p_{\sigma }}$ ${\displaystyle K_{\sigma }}$ ${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$

Fermi hace tres observaciones sobre esta función:

• Dado que los estados de neutrinos se consideran libres y, por lo tanto, el límite superior del espectro continuo es . ${\displaystyle K_{\sigma }>\mu c^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H_{s}\leq W-\mu c^{2}}$
• Dado que para que se produzca la desintegración de los electrones, la diferencia de energía entre el protón y el neutrón debe ser ${\displaystyle H_{s}>mc^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle W\geq (m+\mu )c^{2}}$
• El factor

${\displaystyle Q_{mn}^{*}=\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau }$

En la transición la probabilidad normalmente es de magnitud 1, pero en circunstancias especiales se desvanece; esto conduce a reglas de selección (aproximadas) para la desintegración. ${\displaystyle \beta }$

Transiciones prohibidas

Como se señaló anteriormente, cuando el producto interno entre los estados de partículas pesadas y desaparece, la transición asociada está "prohibida" (o, más bien, es mucho menos probable que en los casos en que está más cerca de 1). ${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle v_{m}}$

Si la descripción del núcleo en términos de los estados cuánticos individuales de los protones y neutrones es precisa hasta una buena aproximación, se desvanece a menos que el estado del neutrón y el estado del protón tengan el mismo momento angular; de lo contrario, se debe utilizar el momento angular total de todo el núcleo antes y después de la desintegración. ${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle v_{m}}$

Influencia

Poco después de que apareciera el artículo de Fermi, Werner Heisenberg señaló en una carta a Wolfgang Pauli ^[12] que la emisión y absorción de neutrinos y electrones en el núcleo debería, en el segundo orden de la teoría de perturbación, conducir a una atracción entre protones y neutrones, de manera análoga a cómo la emisión y absorción de fotones conduce a la fuerza electromagnética. Encontró que la fuerza sería de la forma , pero señaló que los datos experimentales contemporáneos conducían a un valor que era demasiado pequeño por un factor de un millón. ^[13] ${\displaystyle {\frac {\text{Const.}}{r^{5}}}}$

Al año siguiente, Hideki Yukawa retomó esta idea, ^[14] pero en su teoría los neutrinos y los electrones fueron reemplazados por una nueva partícula hipotética con una masa en reposo aproximadamente 200 veces más pesada que el electrón . ^[15]

Desarrollos posteriores

La teoría de los cuatro fermiones de Fermi describe la interacción débil de manera notable. Desafortunadamente, la sección eficaz calculada, o probabilidad de interacción, crece con el cuadrado de la energía . Dado que esta sección eficaz crece sin límite, la teoría no es válida a energías mucho mayores que aproximadamente 100 GeV. Aquí G _F es la constante de Fermi, que denota la fuerza de la interacción. Esto eventualmente llevó a la sustitución de la interacción de contacto de cuatro fermiones por una teoría más completa ( completación UV ): un intercambio de un bosón W o Z como se explica en la teoría electrodébil . ${\displaystyle \sigma \approx G_{\rm {F}}^{2}E^{2}}$

Interacción de Fermi que muestra la corriente vectorial de fermiones de 4 puntos, acoplada bajo la constante de acoplamiento de Fermi G _F. La teoría de Fermi fue el primer esfuerzo teórico para describir las tasas de desintegración nuclear para la desintegración β.

La interacción también podría explicar la desintegración del muón mediante un acoplamiento de un muón, un electrón-antineutrino, un muón-neutrino y un electrón, con la misma fuerza fundamental de la interacción. Esta hipótesis fue propuesta por Gershtein y Zeldovich y se conoce como la hipótesis de conservación de la corriente vectorial. ^[16]

En la teoría original, Fermi supuso que la forma de interacción es un acoplamiento de contacto de dos corrientes vectoriales. Posteriormente, Lee y Yang señalaron que nada impedía la aparición de una corriente axial violatoria de la paridad, y esto fue confirmado por experimentos realizados por Chien-Shiung Wu . ^{[17] [18]}

La inclusión de la violación de paridad en la interacción de Fermi fue realizada por George Gamow y Edward Teller en las llamadas transiciones de Gamow-Teller que describieron la interacción de Fermi en términos de desintegraciones "permitidas" que violan la paridad y desintegraciones "superpermitidas" que conservan la paridad en términos de estados de espín de electrones y neutrinos antiparalelos y paralelos respectivamente. Antes del advenimiento de la teoría electrodébil y el Modelo Estándar , George Sudarshan y Robert Marshak , y también independientemente Richard Feynman y Murray Gell-Mann , pudieron determinar la estructura tensorial correcta ( vector menos vector axial , V − A ) de la interacción de cuatro fermiones. ^{[19] [20]}

Constante de Fermi

La determinación experimental más precisa de la constante de Fermi proviene de mediciones del tiempo de vida del muón , que es inversamente proporcional al cuadrado de G _F (cuando se descuida la masa del muón frente a la masa del bosón W). ^[21] En términos modernos, la "constante de Fermi reducida", es decir, la constante en unidades naturales es ^{[3] [22]}

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}={\frac {G_{\rm {F}}}{(\hbar c)^{3}}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}{\frac {g^{2}}{M_{\rm {W}}^{2}c^{4}}}=1.1663787(6)\times 10^{-5}\;{\textrm {GeV}}^{-2}\approx 4.5437957\times 10^{14}\;{\textrm {J}}^{-2}\ .}$

Aquí, g es la constante de acoplamiento de la interacción débil y M _W es la masa del bosón W , que media la desintegración en cuestión.

En el Modelo Estándar, la constante de Fermi está relacionada con el valor esperado del vacío de Higgs.

${\displaystyle v=\left({\sqrt {2}}\,G_{\rm {F}}^{0}\right)^{-1/2}\simeq 246.22\;{\textrm {GeV}}}$. ^[23]

Más directamente, aproximadamente (nivel de árbol para el modelo estándar),

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}\simeq {\frac {\pi \alpha }{{\sqrt {2}}~M_{\rm {W}}^{2}(1-M_{\rm {W}}^{2}/M_{\rm {Z}}^{2})}}.}$

Esto se puede simplificar aún más en términos del ángulo de Weinberg usando la relación entre los bosones W y Z con , de modo que ${\displaystyle M_{\text{Z}}={\frac {M_{\text{W}}}{\cos \theta _{\text{W}}}}}$

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}\simeq {\frac {\pi \alpha }{{\sqrt {2}}~M_{\rm {Z}}^{2}\cos ^{2}\theta _{\rm {W}}\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}}}.}$

Referencias

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2. Feynman, RP (1962). Teoría de los procesos fundamentales . WA Benjamin . Capítulos 6 y 7.
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4. Fermi, Enrico (2004). Fermi Remembered . University of Chicago Press. págs. 241-244. ISBN. 0226121119.Editado por James W. Cronin .
5. Close, Frank (23 de febrero de 2012). Neutrino . Oxford University Press. pág. 24. ISBN 978-0199695997.
6. Pais, Abraham (1986). Inward Bound . Oxford: Oxford University Press. pág. 418. ISBN 0-19-851997-4.
7. Schwartz, David N. (2017). El último hombre que lo sabía todo. La vida y la obra de Enrico Fermi, padre de la era nuclear . Basic Books. ISBN 978-0465093120.Parte II, Sección 8, notas 60, 61, 63. Según Schwartz, no está probado que la revista se retractara, ya que los archivos relativos a esos años se perdieron durante una mudanza. Sostiene que es incluso improbable que Fermi solicitara seriamente la publicación a la revista, ya que en esa época Nature sólo publicaba notas breves sobre ese tipo de artículos, y no era adecuada para la publicación ni siquiera de una nueva teoría física. Más adecuada, si acaso, habría sido la revista Proceedings of the Royal Society .
8. Fermi, E. (1933). "Tentativo de una teoría dei raggi β". La Ricerca Scientifica (en italiano). 2 (12).
9. Fermi, E. (1934). "Tentativo de una teoría dei raggi β". Il Nuovo Cimento (en italiano). 11 (1): 1–19. Código bibliográfico : 1934NCim...11....1F. doi :10.1007/BF02959820. S2CID  123342095.
10. Fermi, E. (1934). "Versuch einer Theorie der beta-Strahlen. I". Zeitschrift für Physik (en alemán). 88 (3–4): 161. Bibcode : 1934ZPhy...88..161F. doi :10.1007/BF01351864. S2CID  125763380.
11. Wilson, FL (1968). "Teoría de la desintegración beta de Fermi". American Journal of Physics . 36 (12): 1150–1160. Código Bibliográfico :1968AmJPh..36.1150W. doi :10.1119/1.1974382.Incluye traducción completa al inglés del artículo de Fermi de 1934 en alemán.
12. Pauli, Wolfgang (1985). Correspondencia científica con Bohr, Einstein, Heisenberg y otros, volumen II: 1930-1939 . Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH. pág. 250, carta n.° 341, Heisenberg a Pauli, 18 de enero de 1934.
13. Brown, Laurie M (1996). El origen del concepto de fuerzas nucleares . Institute of Physics Publishing. Sección 3.3. ISBN 978-0-7503-0373-6.
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