La regla de oro de Fermi

Fórmula de tasa de transición

En física cuántica , la regla de oro de Fermi es una fórmula que describe la tasa de transición (la probabilidad de una transición por unidad de tiempo) de un estado propio de energía de un sistema cuántico a un grupo de estados propios de energía en un continuo, como resultado de una perturbación débil . Esta tasa de transición es efectivamente independiente del tiempo (siempre que la fuerza de la perturbación sea independiente del tiempo) y es proporcional a la fuerza del acoplamiento entre los estados inicial y final del sistema (descrito por el cuadrado del elemento de matriz de la perturbación) así como a la densidad de estados . También es aplicable cuando el estado final es discreto, es decir, no es parte de un continuo, si hay alguna decoherencia en el proceso, como relajación o colisión de los átomos, o como ruido en la perturbación, en cuyo caso la densidad de estados se reemplaza por el recíproco del ancho de banda de decoherencia.

Antecedentes históricos

Aunque la regla recibe su nombre de Enrico Fermi , la mayor parte del trabajo que condujo a ella se debe a Paul Dirac , quien veinte años antes había formulado una ecuación prácticamente idéntica, incluyendo los tres componentes de una constante, el elemento matricial de la perturbación y una diferencia de energía. ^{[1] [2]} Se le dio este nombre porque, debido a su importancia, Fermi la llamó "regla de oro nº 2". ^[3]

La mayoría de los usos del término regla de oro de Fermi se refieren a la "regla de oro nº 2", pero la "regla de oro nº 1" de Fermi tiene una forma similar y considera la probabilidad de transiciones indirectas por unidad de tiempo. ^[4]

La tasa y su derivación

La regla de oro de Fermi describe un sistema que comienza en un estado propio de un hamiltoniano no perturbado H ₀ y considera el efecto de un hamiltoniano perturbador H' aplicado al sistema. Si H' es independiente del tiempo, el sistema pasa solo a aquellos estados en el continuo que tienen la misma energía que el estado inicial. Si H' oscila sinusoidalmente como una función del tiempo (es decir, es una perturbación armónica) con una frecuencia angular ω , la transición es a estados con energías que difieren en ħω de la energía del estado inicial. ${\displaystyle |i\rangle }$

En ambos casos, la probabilidad de transición por unidad de tiempo desde el estado inicial a un conjunto de estados finales es esencialmente constante. Se da, en una aproximación de primer orden, por donde es el elemento de la matriz (en notación de corchetes ) de la perturbación H' entre los estados final e inicial, y es la densidad de estados (número de estados continuos dividido por en el intervalo de energía infinitesimalmente pequeño a ) en la energía de los estados finales. Esta probabilidad de transición también se denomina "probabilidad de decaimiento" y está relacionada con la inversa de la vida media . Por lo tanto, la probabilidad de encontrar el sistema en estado es proporcional a . ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ $${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),}$$ ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$ ${\displaystyle \rho (E_{f})}$ ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle e^{-\Gamma _{i\to f}t}}$

La forma estándar de derivar la ecuación es comenzar con la teoría de perturbación dependiente del tiempo y tomar el límite de absorción bajo el supuesto de que el tiempo de la medición es mucho mayor que el tiempo necesario para la transición. ^{[5] [6]}

Sólo la magnitud del elemento de la matriz entra en la regla de oro de Fermi. La fase de este elemento de la matriz, sin embargo, contiene información separada sobre el proceso de transición. Aparece en expresiones que complementan la regla de oro en el enfoque de la ecuación semiclásica de Boltzmann para el transporte de electrones. ^[9] ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$

Si bien la regla de oro se enuncia y se deriva comúnmente en los términos anteriores, la función de onda del estado final (continuo) a menudo se describe de forma bastante vaga y no se normaliza correctamente (y la normalización se utiliza en la derivación). El problema es que para producir un continuo no puede haber confinamiento espacial (que necesariamente discretizaría el espectro) y, por lo tanto, las funciones de onda del continuo deben tener una extensión infinita, y a su vez esto significa que la normalización es infinita, no unitaria. Si las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de ningún otro número cuántico, es habitual normalizar las funciones de onda del continuo con energía etiquetada como , escribiendo donde es la función delta de Dirac , y efectivamente se incluye un factor de la raíz cuadrada de la densidad de estados en . ^[10] En este caso, la función de onda del continuo tiene dimensiones de , y la regla de oro ahora es donde se refiere al estado continuo con la misma energía que el estado discreto . Por ejemplo, Bethe y Salpeter disponen de funciones de onda continuas correctamente normalizadas para el caso de un electrón libre en la proximidad de un átomo de hidrógeno. ^[11] ${\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |\varepsilon _{i}\rangle }$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}$ $${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Derivación normalizada en la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo

Lo siguiente parafrasea el tratamiento de Cohen-Tannoudji. ^[10] Como antes, el hamiltoniano total es la suma de un hamiltoniano “original” H ₀ y una perturbación: . Todavía podemos expandir la evolución temporal de un estado cuántico arbitrario en términos de estados propios de energía del sistema no perturbado, pero estos ahora consisten en estados discretos y estados continuos. Suponemos que las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de ningún otro número cuántico. La expansión en los estados relevantes en la imagen de Dirac es donde , y son las energías de los estados , respectivamente. La integral es sobre el continuo , es decir, está en el continuo. ${\displaystyle H=H_{0}+H'}$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\varepsilon a_{\varepsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\varepsilon \rangle ,}$$ ${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{i}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega =\varepsilon /\hbar }$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon }$ ${\displaystyle |i\rangle ,|\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon \in C}$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y premultiplicando por produce donde , y premultiplicando por produce Hicimos uso de la normalización . Integrando este último y sustituyendo en el primero, Se puede ver aquí que en el momento depende de en todos los momentos anteriores , es decir, no es markoviano . Hacemos la aproximación de Markov, es decir, que solo depende de en el momento (que es menos restrictiva que la aproximación que se utilizó anteriormente y permite que la perturbación sea fuerte) donde y . Integrando sobre , La fracción de la derecha es una función delta de Dirac naciente , lo que significa que tiende a como (ignorando su parte imaginaria que conduce a un cambio de energía sin importancia, mientras que la parte real produce decaimiento ^[10] ). Finalmente , que puede tener soluciones: , es decir, el decaimiento de la población en el estado discreto inicial es donde $${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$$ ${\displaystyle \langle i|}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\varepsilon }(t),}$$ ${\displaystyle \Omega _{i\varepsilon }=\langle i|H'|\varepsilon \rangle /\hbar }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon '|}$ $${\displaystyle {\frac {da_{\varepsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\varepsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).}$$ ${\displaystyle \langle \varepsilon '|\varepsilon \rangle =\delta (\varepsilon '-\varepsilon )}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }\Omega _{\varepsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}$$ ${\displaystyle da_{i}/dt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}\approx 1}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T},}$$ ${\displaystyle T=t-t'}$ ${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{i}}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}$$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon -\varepsilon _{i})}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t),}$$ ${\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t/2)}$ ${\displaystyle P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t)}$ $${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\varepsilon \rangle |^{2}.}$$

Aplicaciones

Semiconductores

La regla de oro de Fermi se puede utilizar para calcular la tasa de probabilidad de transición de un electrón excitado por un fotón desde la banda de valencia a la banda de conducción en un semiconductor de banda prohibida directa, y también para cuando el electrón se recombina con el hueco y emite un fotón. ^[12] Considere un fotón de frecuencia y vector de onda , donde la relación de dispersión de la luz es y es el índice de refracción. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\textbf {q}}}$ ${\displaystyle \omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|}$ ${\displaystyle n}$

Usando el calibre de Coulomb donde y , el potencial vectorial de la luz está dado por donde el campo eléctrico resultante es ${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}=A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} ({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C}$ $${\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} .({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}.}$$

Para un electrón en la banda de valencia, el hamiltoniano es donde es el potencial del cristal, y son la carga y la masa de un electrón, y es el operador de momento. Aquí consideramos un proceso que involucra un fotón y de primer orden en . El hamiltoniano resultante es donde es la perturbación de la luz. $${\displaystyle H={\frac {({\textbf {p}}+e{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}),}$$ ${\displaystyle V({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ $${\displaystyle H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right],}$$ ${\displaystyle H'}$

A partir de aquí, consideramos la transición dipolar óptica vertical y, por lo tanto, tenemos la probabilidad de transición basada en la teoría de perturbación dependiente del tiempo que con donde es el vector de polarización de la luz. y son la función de onda de Bloch de los estados inicial y final. Aquí, la probabilidad de transición debe satisfacer la conservación de energía dada por . A partir de la perturbación, es evidente que el núcleo del cálculo se encuentra en los elementos de la matriz que se muestran entre paréntesis. $${\displaystyle \Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega ),}$$ $${\displaystyle H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {p} ,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )}$

Para los estados inicial y final en las bandas de valencia y conducción, tenemos y , respectivamente y si el operador no actúa sobre el espín, el electrón permanece en el mismo estado de espín y, por lo tanto, podemos escribir la función de onda de Bloch de los estados inicial y final como donde es el número de celdas unitarias con volumen . Calculando utilizando estas funciones de onda y centrándonos en la emisión ( fotoluminiscencia ) en lugar de la absorción, llegamos a la tasa de transición donde definida como el momento dipolar de transición óptica es cualitativamente el valor esperado y en esta situación toma la forma ${\displaystyle |i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle |f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle H'}$ $${\displaystyle \Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}},}$$ $${\displaystyle \Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}},}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ $${\displaystyle \Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega ),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}}$ ${\displaystyle \langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}').}$$

Finalmente, queremos saber la tasa de transición total . Por lo tanto, necesitamos sumar todos los estados iniciales y finales posibles que puedan satisfacer la conservación de energía (es decir, una integral de la zona de Brillouin en el espacio k ), y tener en cuenta la degeneración de espín, que después del cálculo da como resultado donde es la densidad conjunta de valencia-conducción de estados (es decir, la densidad del par de estados; un estado de valencia ocupado, un estado de conducción vacío). En 3D, esto es pero la DOS conjunta es diferente para 2D, 1D y 0D. ${\displaystyle \Gamma (\omega )}$ $${\displaystyle \Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )}$$ ${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )}$ $${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}},}$$

Observamos que de manera general podemos expresar la regla de oro de Fermi para semiconductores como ^[13] $${\displaystyle \Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega ).}$$

De la misma manera, la fotocorriente DC estacionaria con amplitud proporcional al cuadrado del campo de luz es donde es el tiempo de relajación, y son la diferencia de la velocidad de grupo y la distribución de Fermi-Dirac entre los posibles estados inicial y final. Aquí se define el dipolo de transición óptica. Debido a la relación de conmutación entre la posición y el hamiltoniano, también podemos reescribir el dipolo de transición y la fotocorriente en términos de la matriz del operador de posición usando . Este efecto solo puede existir en sistemas con simetría de inversión rota y los componentes distintos de cero de la fotocorriente se pueden obtener mediante argumentos de simetría. $${\displaystyle {\textbf {J}}=-{\frac {2\pi e\tau }{\hbar }}\sum _{i,f}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{(2\pi )^{D}}}|{\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}|(f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}}))|H_{if}'|^{2}\delta (E_{f}({\textbf {k}})-E_{i}({\textbf {k}})-\hbar \omega ),}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}}$ ${\displaystyle f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle |H_{if}'|^{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle \langle i|{\textbf {p}}|f\rangle =-im_{0}\omega \langle i|{\textbf {r}}|f\rangle }$

Microscopía de efecto túnel de barrido

En un microscopio de efecto túnel , se utiliza la regla de oro de Fermi para derivar la corriente de efecto túnel. Tiene la forma donde es el elemento de la matriz de efecto túnel. $${\displaystyle w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi }),}$$ ${\displaystyle M}$

Óptica cuántica

Al considerar las transiciones de niveles de energía entre dos estados discretos, la regla de oro de Fermi se escribe como donde es la densidad de estados de fotones a una energía dada, es la energía del fotón y es la frecuencia angular . Esta expresión alternativa se basa en el hecho de que existe un continuo de estados finales (de fotones), es decir, el rango de energías de fotones permitidas es continuo. ^[14] $${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}g(\hbar \omega ),}$$ ${\displaystyle g(\hbar \omega )}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Experimento de Drexhage

Tanto el patrón de radiación como la potencia total emitida (que es proporcional a la tasa de desintegración) de un dipolo dependen de su distancia a un espejo.

La regla de oro de Fermi predice que la probabilidad de que un estado excitado se desintegrará depende de la densidad de estados. Esto se puede comprobar experimentalmente midiendo la tasa de desintegración de un dipolo cerca de un espejo: como la presencia del espejo crea regiones de mayor y menor densidad de estados, la tasa de desintegración medida depende de la distancia entre el espejo y el dipolo. ^{[15] [16]}

Véase también

• Decaimiento exponencial  : disminución del valor a una tasa proporcional al valor actual
• Lista de cosas que llevan el nombre de Enrico Fermi
• Desintegración de partículas  : descomposición espontánea de una partícula subatómica inestable en otras partículas.
• Función Sinc  : Función matemática especial definida como sin(x)/x
• Teoría de perturbaciones dependientes del tiempo  : modelado aproximado de un sistema cuánticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• La regla del sargento

Referencias

1. Bransden, BH; Joachain, CJ (1999). Mecánica cuántica (2.ª ed.). Prentice Hall. pág. 443. ISBN 978-0582356917.
2. Dirac, PAM (1 de marzo de 1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de la radiación". Actas de la Royal Society A . 114 (767): 243–265. Bibcode :1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR  94746.Véanse las ecuaciones (24) y (32).
3. Fermi, E. (1950). Física nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0226243658.Fórmula VIII.2
4. Fermi, E. (1950). Física nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0226243658.Fórmula VIII.19
5. Notas de UT de R Schwitters sobre derivación.
6. Es notable que la tasa sea constante y no aumente linealmente en el tiempo, como podría esperarse ingenuamente para transiciones con conservación estricta de energía aplicada. Esto se produce por la interferencia de las contribuciones oscilatorias de las transiciones a numerosos estados continuos con solo una conservación de energía aproximada no perturbada , véase Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , pp. 150–151. 
7. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
8. Merzbacher, Eugen (1998). "19.7" (PDF) . Mecánica cuántica (3.ª ed.). Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-88702-7.
9. NA Sinitsyn, Q. Niu y AH MacDonald (2006). "Desplazamiento de coordenadas en la ecuación de Boltzmann semiclásica y efecto Hall anómalo". Phys. Rev. B . 73 (7): 075318. arXiv : cond-mat/0511310 . Código Bibliográfico :2006PhRvB..73g5318S. doi :10.1103/PhysRevB.73.075318. S2CID  119476624.
10. Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (1977). Mecánica Cuántica Vol II Capítulo XIII Complemento D_{XIII} . Wiley. ISBN 978-0471164333.
11. Bethe, Hans ; Salpeter, Edwin (1977). Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Springer, Boston, MA. ISBN 978-0-306-20022-9.
12. Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales (4.ª ed.). Springer. pág. 260. doi :10.1007/978-3-642-00710-1. ISBN 978-3-642-00709-5.
13. Edvinsson, T. (2018). "Confinamiento cuántico óptico y propiedades fotocatalíticas en nanoestructuras bidimensionales, unidimensionales y cerodimensionales". Royal Society Open Science . 5 (9): 180387. Bibcode :2018RSOS....580387E. doi :10.1098/rsos.180387. ISSN  2054-5703. PMC 6170533 . PMID  30839677. 
14. Fox, Mark (2006). Óptica cuántica: una introducción . Oxford: Oxford University Press. pág. 51. ISBN 9780198566731.
15. KH Drexhage; H. Kuhn; FP Schäfer (1968). "Variación del tiempo de decadencia de la fluorescencia de una molécula frente a un espejo". Berichte der Bunsengesellschaft für physikalische Chemie . 72 (2): 329. doi : 10.1002/bbpc.19680720261. S2CID  94677437.
16. KH Drexhage (1970). "Influencia de una interfaz dieléctrica en el tiempo de decaimiento de la fluorescencia". Journal of Luminescence . 1 : 693–701. Bibcode :1970JLum....1..693D. doi :10.1016/0022-2313(70)90082-7.

Enlaces externos

• Más información sobre la regla de oro de Fermi
• Derivación de la regla de oro de Fermi
• Teoría de perturbaciones dependientes del tiempo
• La regla de oro de Fermi: su derivación y descomposición mediante un modelo ideal