En matemáticas , la teoría de campos de clases no abeliana es un término que significa la extensión de los resultados de la teoría de campos de clases , el conjunto relativamente completo y clásico de resultados sobre extensiones abelianas de cualquier cuerpo de números K , a la extensión general de Galois L / K. Si bien la teoría de campos de clases era esencialmente conocida en 1930, la teoría no abeliana correspondiente nunca se ha formulado en un sentido definitivo y aceptado. [1]
Una presentación de la teoría de campos de clases en términos de cohomología de grupos fue realizada por Claude Chevalley , Emil Artin y otros, principalmente en la década de 1940. Esto resultó en una formulación de los resultados centrales por medio de la cohomología de grupos del grupo de clases ideal . Los teoremas del enfoque cohomológico son independientes de si el grupo de Galois G de L / K es abeliano o no. Esta teoría nunca ha sido considerada como la teoría no abeliana buscada . La primera razón que se puede citar para eso es que no proporcionó información nueva sobre la división de ideales primos en una extensión de Galois ; una forma común de explicar el objetivo de una teoría de campos de clases no abeliana es que debería proporcionar una forma más explícita de expresar tales patrones de división. [2]
Por lo tanto, el enfoque cohomológico fue de uso limitado incluso para formular la teoría de cuerpos de clases no abeliana. Detrás de la historia estaba el deseo de Chevalley de escribir pruebas para la teoría de cuerpos de clases sin usar series de Dirichlet : en otras palabras, eliminar las funciones L. La primera ola de pruebas de los teoremas centrales de la teoría de cuerpos de clases se estructuró como consistente en dos "desigualdades" (la misma estructura que en las pruebas que ahora se dan del teorema fundamental de la teoría de Galois , aunque mucho más compleja). Una de las dos desigualdades involucraba un argumento con funciones L. [3]
En una reversión posterior de este desarrollo, se comprendió que para generalizar la reciprocidad de Artin al caso no abeliano, era esencial de hecho buscar una nueva forma de expresar las funciones L de Artin . La formulación contemporánea de esta ambición es por medio del programa Langlands : en el que se dan fundamentos para creer que las funciones L de Artin son también funciones L de representaciones automórficas . [4] A principios del siglo XXI, esta es la formulación de la noción de teoría de campos de clases no abeliana que tiene la mayor aceptación entre los expertos. [5]