Tensor product of algebras over a field; itself another algebra
En matemáticas , el producto tensorial de dos álgebras sobre un anillo conmutativo R también es un R -álgebra. Esto da el producto tensorial de las álgebras . Cuando el anillo es un campo , la aplicación más común de dichos productos es describir el producto de representaciones de álgebra .
Definición
Sea R un anillo conmutativo y sean A y B R - álgebras . Dado que A y B pueden considerarse ambos módulos R , su producto tensorial
también es un módulo R. Al producto tensorial se le puede dar la estructura de un anillo definiendo el producto en elementos de la forma a ⊗ b por [1]
y luego extendiendo por linealidad a todos A ⊗ R B . Este anillo es un R -álgebra, asociativa y unital con elemento identidad dado por 1 A ⊗ 1 B . [3] donde 1 A y 1 B son los elementos identidad de A y B. Si A y B son conmutativos, entonces el producto tensorial también es conmutativo.
El producto tensorial convierte la categoría de R -álgebras en una categoría monoidal simétrica . [ cita necesaria ]
Otras propiedades
Existen homomorfismos naturales de A y B a A ⊗ R B dados por [4]
Estos mapas hacen que el producto tensorial sea el coproducto en la categoría de R -álgebras conmutativas . El producto tensorial no es el coproducto en la categoría de todas las R -álgebras. Allí, el coproducto viene dado por un producto libre de álgebras más general . Sin embargo, el producto tensorial de álgebras no conmutativas puede describirse mediante una propiedad universal similar a la del coproducto:
donde [-, -] denota el conmutador . El isomorfismo natural se obtiene identificando un morfismo en el lado izquierdo con el par de morfismos en el lado derecho donde y de manera similar .
Aplicaciones
El producto tensorial de álgebras conmutativas es de uso frecuente en geometría algebraica . Para esquemas afines X , Y , Z con morfismos de X y Z a Y , entonces X = Spec( A ), Y = Spec( R ) y Z = Spec( B ) para algunos anillos conmutativos A , R , B , el El esquema del producto de fibra es el esquema afín correspondiente al producto tensorial de las álgebras:
De manera más general, el producto de fibra de los esquemas se define pegando entre sí productos de fibra afines de esta forma.
Ejemplos
- El producto tensorial se puede utilizar como medio para tomar intersecciones de dos subesquemas en un esquema : considere las -álgebras , entonces su producto tensorial es , que describe la intersección de las curvas algebraicas f = 0 y g = 0 en el plano afín sobre C.
- De manera más general, si es un anillo conmutativo y son ideales, entonces , con un isomorfismo único enviando a .
- Los productos tensoriales se pueden utilizar como medio para cambiar coeficientes. Por ejemplo, y .
- Los productos tensoriales también se pueden utilizar para tomar productos de esquemas afines en un campo. Por ejemplo, es isomorfo al álgebra que corresponde a una superficie afín si f y g no son cero.
- Dadas -álgebras y cuyos anillos subyacentes son anillos conmutativos graduados , el producto tensorial se convierte en un anillo conmutativo graduado al definir homogéneos ,, y .
Ver también
Notas
- ^ Kassel (1995), pág. 32.
- ^ Kassel (1995), pág. 32.
- ^ Kassel (1995), pág. 32.
Referencias
- Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
- Lang, Serge (2002) [publicado por primera vez en 1993]. Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 21. Saltador. ISBN 0-387-95385-X.