Plimpton 322 es una tablilla de arcilla babilónica , notable por contener un ejemplo de matemáticas babilónicas . Tiene el número 322 en la Colección GA Plimpton de la Universidad de Columbia . [1] Esta tablilla, que se cree que fue escrita alrededor del 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en la escritura cuneiforme de la época.
Esta tabla enumera dos de los tres números en lo que ahora se llaman ternas pitagóricas , es decir, enteros a , b y c que satisfacen a 2 + b 2 = c 2 . Desde una perspectiva moderna, un método para construir tales tripletas es un logro temprano significativo, conocido mucho antes de que los matemáticos griegos e indios descubrieran soluciones a este problema. Al mismo tiempo, hay que recordar que el autor de la tablilla era un escriba, más que un matemático profesional; Se ha sugerido que uno de sus objetivos pudo haber sido producir ejemplos de problemas escolares.
Ha habido un importante debate académico sobre la naturaleza y el propósito de la tableta. Para tratamientos populares legibles de esta tablilla, consulte Robson (2002), ganador del premio Lester R. Ford por su excelencia expositiva en matemáticas, o, más brevemente, Conway y Guy (1996). Robson (2001) es una discusión más detallada y técnica sobre la interpretación de los números de la tablilla, con una extensa bibliografía.
Plimpton 322 está parcialmente roto, mide aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de grosor. El editor neoyorquino George Arthur Plimpton compró la tablilla a un comerciante de arqueología, Edgar J. Banks , alrededor de 1922, y la legó junto con el resto de su colección a la Universidad de Columbia a mediados de la década de 1930. Según Banks, la tablilla procedía de Senkereh, un sitio en el sur de Irak correspondiente a la antigua ciudad de Larsa . [2]
Se cree que la tablilla fue escrita alrededor del año 1800 a. C., utilizando la cronología media , [3] basándose en parte en el estilo de escritura utilizado para su escritura cuneiforme : Robson (2002) escribe que esta escritura "es típica de los documentos del sur de Irak". de hace 4000-3500 años." Más específicamente, basándose en las similitudes de formato con otras tablillas de Larsa que tienen fechas explícitas escritas, Plimpton 322 bien podría ser del período 1822-1784 a.C. [4] Robson señala que Plimpton 322 fue escrito en el mismo formato que otros documentos administrativos, más que matemáticos, de la época. [5]
El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica . La cuarta columna es solo un número de fila, en orden del 1 al 15. La segunda y tercera columnas son completamente visibles en la tableta superviviente. Sin embargo, el borde de la primera columna se ha roto y hay dos extrapolaciones consistentes sobre cuáles podrían ser los dígitos faltantes; estas interpretaciones difieren sólo en si cada número comienza o no con un dígito adicional igual a 1.
Con las diferentes extrapolaciones mostradas entre paréntesis, las partes dañadas de la primera y cuarta columnas cuyo contenido se supone se muestran en cursiva, y seis presuntos errores mostrados en negrita junto con las correcciones generalmente propuestas entre corchetes debajo, estos números son
Se muestran dos posibles alternativas para la corrección en la fila 15: 53 en la tercera columna debe reemplazarse con el doble de su valor, 1 46, o 56 en la segunda columna debe reemplazarse con la mitad de su valor, 28.
Es posible que hubiera columnas adicionales en la parte rota de la tableta a la izquierda de estas columnas. La notación sexagesimal babilónica no especificaba la potencia de 60 multiplicando cada número, lo que hace que la interpretación de estos números sea ambigua. Los números de la segunda y tercera columnas generalmente se consideran números enteros. Los números de la primera columna sólo pueden entenderse como fracciones, y todos sus valores se encuentran entre 1 y 2 (suponiendo que el 1 inicial esté presente; se encuentran entre 0 y 1 si no está).
Estas fracciones son exactas, no truncamientos ni aproximaciones redondeadas. A continuación se muestra la traducción decimal de la tableta bajo estos supuestos. La mayoría de las fracciones sexagesimales exactas de la primera columna no tienen expansiones decimales terminales y se han redondeado a siete decimales.
* Como antes, una posible corrección alternativa a la fila 15 tiene 28 en la segunda columna y 53 en la tercera columna. Las entradas de la segunda y tercera columnas de la fila 11, a diferencia de las de todas las demás filas, excepto posiblemente de la fila 15, contienen un factor común. Es posible que 45 y 1 15 deban entenderse como 3/4 y 5/4, lo cual es consistente con la escala estándar (0.75,1,1.25) del familiar triángulo rectángulo (3,4,5) en las matemáticas babilónicas. .
En cada fila, el número de la segunda columna se puede interpretar como el lado más corto de un triángulo rectángulo y el número de la tercera columna se puede interpretar como la hipotenusa del triángulo. En todos los casos, el lado mayor también es un número entero, lo que forma dos elementos de una terna pitagórica . El número en la primera columna es la fracción (si no se incluye el "1") o (si se incluye el "1"). En todos los casos, el lado largo es un número regular , es decir, un divisor entero de una potencia de 60 o, equivalentemente, un producto de potencias de 2, 3 y 5. Es por esta razón que los números del primer columna son exactos, ya que dividir un número entero por un número regular produce un número sexagesimal final. Por ejemplo, se puede interpretar que la línea 1 de la tabla describe un triángulo con lado corto 119 e hipotenusa 169, lo que implica lado largo , que es un número regular (2 3 ·3·5). El número en la Columna 1 es (169/120) 2 o (119/120) 2 .
Cada columna tiene un encabezado, escrito en idioma acadio . Algunas palabras son logogramas sumerios , que los lectores habrían entendido como palabras acadias. Estos incluyen ÍB.SI 8 , para acadio mithartum ("cuadrado"), MU.BI.IM, para acadio šumšu ("su línea"), y SAG, para acadio pūtum ("ancho"). Cada número de la cuarta columna está precedido por el Sumerograma KI, que, según Neugebauer y Sachs (1945), "les da el carácter de números ordinales". En la tabla sexagesimal anterior, las palabras en cursiva y partes de palabras representan partes del texto que son ilegibles debido a daños en la tablilla o ilegibilidad, y que han sido reconstruidas por eruditos modernos. Los términos ÍB.SI 8 y takiltum no se han traducido ya que existe un debate en curso sobre su significado preciso.
Los títulos de las columnas 2 y 3 podrían traducirse como "cuadrado del ancho" y "cuadrado de la diagonal", pero Robson (2001) (págs. 173-174) sostiene que el término ÍB.SI 8 puede referirse a la área del cuadrado o el lado del cuadrado, y que en este caso debe entenderse como "'lado del cuadrado' o quizás 'raíz cuadrada'". De manera similar Britton, Proust & Shnider (2011) (p. 526) observan que el término aparece a menudo en los problemas donde se utiliza completar el cuadrado para resolver lo que ahora se entendería como ecuaciones cuadráticas, en cuyo contexto se refiere al lado de la cuadrado completo, pero que también podría servir para indicar "que se refiere a una dimensión lineal o segmento de línea". Neugebauer & Sachs (1945) (págs. 35, 39), por otro lado, exhiben casos en los que el término se refiere a resultados de una amplia variedad de diferentes operaciones matemáticas y propone la traducción "'resolviendo el número del ancho (o la diagonal)'". De manera similar, Friberg (1981) (p. 300) propone la traducción "raíz".
En la Columna 1, las primeras partes de ambas líneas del título están dañadas. Neugebauer y Sachs (1945) reconstruyeron la primera palabra como takilti (una forma de takiltum ), lectura que ha sido aceptada por la mayoría de los investigadores posteriores. En general, el título se consideraba intraducible hasta que Robson (2001) propuso insertar un 1 en la parte cortada de la línea 2 y logró descifrar la palabra final ilegible, produciendo la lectura que figura en la tabla anterior. Basándose en un análisis lingüístico detallado, Robson propone traducir takiltum como "escuadra de retención". [6]
Britton, Proust y Shnider (2011) examinan las relativamente pocas apariciones conocidas de la palabra en las matemáticas de la antigua Babilonia. Si bien señalan que, en casi todos los casos, se refiere a la dimensión lineal del cuadrado auxiliar que se suma a una figura en el proceso de completar el cuadrado, y es la cantidad que se resta en el último paso de la resolución de una cuadrática, coinciden con Robson. que en este caso debe entenderse como una referencia al área de un cuadrado. Friberg (2007), por otro lado, propone que en la parte cortada del encabezamiento takiltum puede haber estado precedido por a-ša (" área"). Ahora existe un acuerdo generalizado en que el título describe la relación entre los cuadrados en el ancho (lado corto) y la diagonal de un rectángulo con una longitud (lado largo) 1: restar ("arrancando") el área 1 del cuadrado en las hojas diagonales. el área del cuadrado sobre el ancho.
Como se indica en la tabla anterior, la mayoría de los estudiosos creen que la tablilla contiene seis errores y, con la excepción de las dos posibles correcciones en la fila 15, existe un acuerdo generalizado sobre cuáles deberían ser los valores correctos. Hay menos acuerdo sobre cómo ocurrieron los errores y qué implican con respecto al método de cálculo de la tableta. A continuación se presenta un resumen de los errores.
Los errores en la fila 2, columna 1 (no dejar espacios entre 50 y 6 para los 1 y 10 ausentes) y la fila 9, columna 2 (escribir 9 en lugar de 8) se consideran universalmente como errores menores al copiar desde una tableta de trabajo (o posiblemente de una copia anterior de la tabla). El error en la fila 8, columna 1 (reemplazar los dos dígitos sexagesimales 45 14 por su suma, 59) parece no haber sido notado en algunos de los primeros artículos sobre la tablilla. A veces se ha considerado (por ejemplo en Robson (2001)) como un simple error cometido por el escribano en el proceso de copiar desde una tableta de trabajo.
Sin embargo, como se analiza en Britton, Proust y Shnider (2011), varios académicos han propuesto que este error se explica mucho más plausiblemente como un error en el cálculo que conduce al número, por ejemplo, el hecho de que el escriba pase por alto un cero medio ( espacio en blanco que representa un dígito cero) al realizar una multiplicación. Esta explicación del error es compatible con las dos propuestas principales para el método de construcción de la tabla. (Vea abajo.)
Los tres errores restantes tienen implicaciones para la forma en que se calculó la tableta. El número 7 12 1 en la fila 13, columna 2, es el cuadrado del valor correcto, 2 41. Suponiendo que las longitudes en la columna 2 se calcularon tomando la raíz cuadrada del área del cuadrado correspondiente, o que la longitud y el área se calcularon juntos, este error podría explicarse por no tomar la raíz cuadrada o por copiar el número incorrecto de una tableta de trabajo. [7]
Si se entiende que el error en la fila 15 fue haber escrito 56 en lugar de 28 en la columna 2, entonces el error puede explicarse como resultado de una aplicación incorrecta del algoritmo de la parte final, que es necesario si la tabla se calculó mediante pares recíprocos. como se describe abajo. Este error equivale a aplicar un procedimiento iterativo para eliminar factores regulares comunes a los números de las columnas 2 y 3 un número inadecuado de veces en una de las columnas. [8]
El número en la Fila 2, Columna 3 no tiene una relación obvia con el número correcto, y todas las explicaciones de cómo se obtuvo este número postulan errores múltiples. Bruins (1957) observó que 3 12 01 podría haber sido una simple copia errónea de 3 13. Si este fuera el caso, entonces la explicación del número incorrecto 3 13 es similar a la explicación del error en la fila 15. [9]
Una excepción al consenso general es Friberg (2007), donde, a diferencia del análisis anterior del mismo autor (Friberg (1981)), se plantea la hipótesis de que los números en la fila 15 no son erróneos, sino que fueron escritos como previsto, y que el único error en la Fila 2, Columna 3 fue escribir mal 3 13 como 3 12 01. Bajo esta hipótesis, es necesario reinterpretar las Columnas 2 y 3 como "los núcleos del frente y la diagonal con factor reducido". El núcleo de un número con factores reducidos es el número al que se le han eliminado los factores regulares del cuadrado perfecto; calcular el núcleo reducido en factores era parte del proceso de cálculo de raíces cuadradas en las matemáticas de la antigua Babilonia. Según Friberg, "nunca fue la intención del autor de Plimpton 322 reducir su serie de tripletas diagonales normalizadas (con longitud igual a 1 en cada triplete) a una serie correspondiente de tripletas diagonales primitivas (con el frente, la longitud y la diagonal igual a los números enteros sin factores comunes)." [10]
Los estudiosos todavía difieren sobre cómo se generaron estas cifras. Buck (1980) y Robson (2001) identifican dos propuestas principales para el método de construcción de la tabla: el método de generación de pares, propuesto en Neugebauer & Sachs (1945), y el método de pares recíprocos, propuesto por Bruins [11] . ] y elaborado por Voils, [12] Schmidt (1980) y Friberg. [13]
Para usar la terminología moderna, si p y q son números naturales tales que p > q entonces ( p 2 − q 2 , 2 pq , p 2 + q 2 ) forma una terna pitagórica. El triple es primitivo, es decir, los tres lados del triángulo no tienen factor común, si p y q son coprimos y no ambos impares. Neugebauer y Sachs proponen que la tableta se generó eligiendo p y q como números regulares coprimos (pero ambos pueden ser impares; consulte la fila 15) y calculando d = p 2 + q 2 , s = p 2 − q 2 y l = 2 pq (de modo que l también es un número regular).
Por ejemplo, la línea 1 se generaría estableciendo p = 12 y q = 5. Buck y Robson señalan que la presencia de la Columna 1 es misteriosa en esta propuesta, ya que no juega ningún papel en la construcción y que la propuesta no Explique por qué las filas de la tabla están ordenadas como están, en lugar de, digamos, según el valor de o , que, según esta hipótesis, podría haberse enumerado en las columnas de la izquierda en la parte separada de la tablilla. Robson también sostiene que la propuesta no explica cómo podrían haber surgido de manera plausible los errores en la tabla y no está en consonancia con la cultura matemática de la época.
En la propuesta de pares recíprocos, el punto de partida es una única fracción sexagesimal regular x junto con su recíproco, 1/ x . "Fracción sexagesimal regular" significa que x es un producto de potencias (posiblemente negativas) de 2, 3 y 5. Las cantidades ( x −1/ x )/2, 1 y ( x +1/ x )/2 entonces forman lo que ahora se llamaría un triple pitagórico racional. Además, los tres lados tienen representaciones sexagesimales finitas.
Los defensores de esta propuesta señalan que los pares recíprocos regulares ( x ,1/ x ) aparecen en un problema diferente aproximadamente en el mismo momento y lugar que Plimpton 322, a saber, el problema de encontrar los lados de un rectángulo de área 1 cuyo lado largo excede su lado corto en una longitud dada c (que hoy en día podría calcularse como la solución de la ecuación cuadrática ). Robson (2002) analiza la tableta YBC 6967, en la que dicho problema se resuelve calculando una secuencia de valores intermedios v 1 = c /2, v 2 = v 1 2 , v 3 = 1 + v 2 y v 4. = v 3 1/2 , a partir del cual se puede calcular x = v 4 + v 1 y 1/ x = v 4 − v 1 .
Si bien la necesidad de calcular la raíz cuadrada de v 3 dará como resultado, en general, respuestas que no tienen representaciones sexagesimales finitas, el problema en YBC 6967 se planteó (lo que significa que el valor de c se eligió adecuadamente) para dar una buena respuesta. Este es, de hecho, el origen de la especificación anterior de que x sea una fracción sexagesimal regular: elegir x de esta manera asegura que tanto x como 1/ x tengan representaciones sexagesimales finitas. Para diseñar un problema con una buena respuesta, quien plantea el problema simplemente necesitaría elegir tal x y dejar que el dato inicial c sea igual a x − 1/ x . Como efecto secundario, esto produce una terna pitagórica racional, con catetos v 1 y 1 e hipotenusa v 4 .
Cabe señalar que el problema de YBC 6967 en realidad resuelve la ecuación , lo que implica reemplazar la expresión anterior para v 3 con v 3 = 60 + v 2 . El efecto secundario de obtener un triple racional se pierde cuando los lados se convierten en v 1 , y v 4 . En esta propuesta hay que suponer que los babilonios estaban familiarizados con ambas variantes del problema.
Robson sostiene que las columnas de Plimpton 322 pueden interpretarse como:
En esta interpretación, x y 1/ x (o posiblemente v 1 y v 4 ) habrían aparecido en la tableta en la parte cortada a la izquierda de la primera columna. Por lo tanto, la presencia de la Columna 1 se explica como un paso intermedio en el cálculo, y el orden de las filas se realiza mediante valores descendentes de x (o v 1 ). El multiplicador a utilizado para calcular los valores de las columnas 2 y 3, que puede considerarse como un cambio de escala de las longitudes de los lados, surge de la aplicación del "algoritmo de la parte final", en el que ambos valores se multiplican repetidamente por el recíproco de cualquier factor regular común a los últimos dígitos sexagesimales de ambos, hasta que no quede ningún factor común. [14]
Como se analizó anteriormente, todos los errores en la tablilla tienen explicaciones naturales en la propuesta de pares recíprocos. Por otro lado, Robson señala que el papel de las columnas 2 y 3 y la necesidad del multiplicador siguen sin explicarse en esta propuesta, y sugiere que el objetivo del autor de la tablilla no era proporcionar parámetros para problemas cuadráticos del tipo resuelto en YBC 6967, sino más bien "para algún tipo de problemas de triángulo rectángulo". También señala que el método utilizado para generar la tabla y el uso para el que estaba destinada no tienen por qué ser los mismos. [15]
Un fuerte apoyo adicional a la idea de que los números de la tableta se generaron utilizando pares recíprocos proviene de dos tabletas, MS 3052 y MS 3971, de la Colección Schøyen . Jöran Friberg tradujo y analizó las dos tablillas y descubrió que ambas contienen ejemplos del cálculo de la longitud de la diagonal y de los lados de un rectángulo utilizando pares recíprocos como punto de partida. Las dos tablillas son ambas de la antigua Babilonia, de aproximadamente la misma edad que Plimpton 322, y se cree que ambas provienen de Uruk, cerca de Larsa. [dieciséis]
Britton, Proust y Shnider (2011) realizaron un análisis más detallado de las dos tabletas. MS 3971 contiene una lista de cinco problemas, el tercero de los cuales comienza con "Para que puedas ver cinco diagonales" y concluye con "cinco diagonales". Los datos dados para cada una de las cinco partes del problema constan de un par recíproco. Para cada parte se calculan las longitudes de la diagonal y el ancho (lado corto) de un rectángulo. La longitud (lado largo) no se indica, pero el cálculo implica que se toma como 1. En términos modernos, el cálculo procede de la siguiente manera: dados x y 1/ x , primero calcula ( x +1/ x )/2, la diagonal. Luego calcula
la anchura. Debido al daño en la parte de la tableta que contiene la primera de las cinco partes, se ha perdido el planteamiento del problema de esta parte, además de rastros de los datos iniciales, y la solución. Las otras cuatro partes están, en su mayor parte, intactas y todas contienen texto muy similar. La razón para tomar la diagonal como la mitad de la suma del par recíproco no se indica en el texto intacto. El cálculo del ancho es equivalente a ( x −1/ x )/2, pero no se ha utilizado este método de cálculo más directo, ya que se ha eliminado la regla que relaciona el cuadrado de la diagonal con la suma de los cuadrados de los lados. privilegiado.
El texto del segundo problema del MS 3052 también resultó gravemente dañado, pero lo que queda está estructurado de manera similar a las cinco partes del MS 3971, problema 3. El problema contiene una figura que, según Friberg, probablemente sea un "rectángulo sin cualquier diagonal". [17] Britton, Proust y Shnider (2011) enfatizan que las partes conservadas del texto establecen explícitamente que la longitud es 1 y calculan explícitamente el 1 que se resta del cuadrado de la diagonal en el proceso de calcular el ancho como el cuadrado. de la longitud. Los datos iniciales y el ancho y la diagonal calculados para los seis problemas en las dos tabletas se muestran en la siguiente tabla.
Los parámetros de MS 3971 § 3a son inciertos debido a daños en la tableta. Los parámetros del problema de MS 3052 corresponden a un cambio de escala del triángulo rectángulo estándar (3,4,5), que aparece como la Fila 11 de Plimpton 322. Ninguno de los parámetros de los problemas de MS 3971 coincide con ninguna de las filas de Plimpton 322. Como se analiza a continuación, todas las filas de Plimpton 322 tienen x ≥9/5, mientras que todos los problemas en MS 3971 tienen x <9/5. Sin embargo, todos los parámetros de MS 3971 corresponden a filas de la extensión propuesta por De Solla Price de la tabla de Plimpton 322, que también se analiza a continuación.
Debe enfatizarse que el papel del par recíproco es diferente en el problema de YBC 6967 que en MS 3052 y MS 3971 (y por extensión, en Plimpton 322). En el problema de YBC 6967, los miembros del par recíproco son las longitudes de los lados de un rectángulo de área 1. El significado geométrico de x y 1/ x no se indica en el texto superviviente de los problemas de MS 3052 y MS 3971. El objetivo parece haber sido aplicar un procedimiento conocido para producir rectángulos con ancho y diagonal sexagesimales finitos. [18] También cabe señalar que el algoritmo del punto final no se utilizó para reescalar las longitudes de los lados en estos problemas.
La cantidad x en la propuesta de par recíproco corresponde a la relación p / q en la propuesta de par generador. De hecho, si bien las dos propuestas difieren en el método de cálculo, hay poca diferencia matemática entre los resultados ya que ambas producen los mismos tripletes, aparte de un factor general de 2 en el caso de que p y q sean impares. (Desafortunadamente, el único lugar donde esto ocurre en la tablilla es en la fila 15, que contiene un error y, por lo tanto, no puede usarse para distinguir entre las propuestas). Los defensores de la propuesta de pares recíprocos difieren sobre si x se calculó a partir de una p subyacente. y q , pero solo con las combinaciones p / q y q / p utilizadas en los cálculos de tabletas [19] o si x se obtuvo directamente de otras fuentes, como tablas recíprocas. [20]
Una dificultad con esta última hipótesis es que algunos de los valores necesarios de x o 1/ x son números sexagesimales de cuatro lugares y no se conocen tablas recíprocas de cuatro lugares. De hecho, Neugebauer y Sachs habían señalado la posibilidad de utilizar pares recíprocos en su trabajo original y la rechazaron por este motivo. Robson, sin embargo, sostiene que las fuentes conocidas y los métodos computacionales del período de la antigua Babilonia pueden explicar todos los valores de x utilizados.
Neugebauer y Sachs señalan que las dimensiones del triángulo en la tableta varían desde las de un triángulo rectángulo casi isósceles (con el cateto corto, 119, casi igual al cateto largo, 120) hasta las de un triángulo rectángulo con ángulos agudos cercanos a 30° y 60°. °, y que el ángulo disminuye de manera bastante uniforme en pasos de aproximadamente 1°. Sugieren que los pares p , q fueron elegidos deliberadamente con este objetivo en mente.
De Solla Price (1964), trabajando dentro del marco del par generador, observó que cada fila de la tabla es generada por un q que satisface 1 ≤ q <60, es decir, que q es siempre un sexagesimal de un solo dígito. número. La relación p / q toma su mayor valor, 12/5=2,4, en la fila 1 de la tabla, y por tanto siempre es menor que , condición que garantiza que p 2 − q 2 sea el cateto largo y 2 pq el corto. cateto del triángulo y que, en términos modernos, implica que el ángulo opuesto al cateto de longitud p 2 − q 2 es menor que 45°.
La relación es menor en la fila 15, donde p / q = 9/5 para un ángulo de aproximadamente 31,9°. Además, hay exactamente 15 proporciones regulares entre 9/5 y 12/5 inclusive para las cuales q es un número sexagesimal de un solo dígito, y están en correspondencia uno a uno con las filas de la tablilla. También señala que el espaciado uniforme de los números podría no haber sido intencionado: también podría haber surgido simplemente de la densidad de proporciones de números regulares en el rango de números considerados en la tabla.
De Solla Price argumentó que el límite inferior natural de la relación sería 1, que corresponde a un ángulo de 0°. Encontró que, manteniendo el requisito de que q sea un número sexagesimal de una sola cifra, existen 23 pares además de los representados por la tablilla, para un total de 38 pares. Observa que la puntuación vertical entre las columnas de la tablilla continúa en la parte posterior, lo que sugiere que el escriba podría haber tenido la intención de extender la mesa. Afirma que el espacio disponible daría cabida a 23 filas adicionales. Los defensores de la propuesta de pares recíprocos también han defendido este esquema. [21]
Robson (2001) no aborda directamente esta propuesta, pero sí coincide en que la mesa no estaba "llena". Ella observa que en la propuesta de par recíproco, cada x representada en la tablilla es como máximo un número sexagesimal de cuatro posiciones con un recíproco de cuatro posiciones como máximo, y que el número total de lugares en x y 1/ x juntos nunca es más de 7. Si estas propiedades se toman como requisitos, hay exactamente tres valores de x que "faltan" en la tableta, los cuales, según ella, podrían haberse omitido porque no son atractivos en varios sentidos. Admite la naturaleza "sorprendentemente ad hoc " de este esquema, que sirve principalmente como un recurso retórico para criticar todos los intentos de adivinar los criterios de selección del autor de la tablilla. [22]
Otto E. Neugebauer (1957) defendió una interpretación teórica de números , pero también creía que las entradas de la tabla eran el resultado de un proceso de selección deliberado destinado a lograr una disminución bastante regular de los valores de la Columna 1 dentro de algunos límites específicos.
Buck (1980) y Robson (2002) mencionan la existencia de una explicación trigonométrica , que Robson atribuye a los autores de varias historias generales y trabajos inéditos, pero que puede derivar de la observación de Neugebauer & Sachs (1945) de que los valores de la primera columna se puede interpretar como la secante o tangente al cuadrado (según el dígito que falta) del ángulo opuesto al lado corto del triángulo rectángulo descrito por cada fila, y las filas se ordenan según estos ángulos en incrementos de aproximadamente un grado. [23]
En otras palabras, si tomas el número de la primera columna, descontando (1), derivas su raíz cuadrada y luego lo divides por el número de la columna dos, el resultado será la longitud del lado largo del triángulo. . En consecuencia, la raíz cuadrada del número (menos el uno) en la primera columna es lo que hoy llamaríamos la tangente del ángulo opuesto al lado corto. Si se incluye el (1), la raíz cuadrada de ese número es la secante .
En contraposición a estas explicaciones anteriores de la tablilla, Robson (2002) afirma que la evidencia histórica, cultural y lingüística revela que la tablilla probablemente se construyó a partir de "una lista de pares recíprocos regulares ". [24] Robson sostiene, sobre bases lingüísticas, que la teoría trigonométrica es "conceptualmente anacrónica": depende de muchas otras ideas que no están presentes en el registro de las matemáticas babilónicas de esa época. En 2003, la MAA otorgó a Robson el premio Lester R. Ford por su trabajo, afirmando que es "poco probable que el autor de Plimpton 322 fuera un matemático profesional o aficionado. Lo más probable es que parezca haber sido un profesor y Plimpton 322 un conjunto de ejercicios." [25] Robson adopta un enfoque que en términos modernos se caracterizaría como algebraico , aunque lo describe en términos geométricos concretos y sostiene que los babilonios también habrían interpretado este enfoque geométricamente.
Por lo tanto, se puede interpretar que la tableta proporciona una secuencia de ejercicios elaborados. Hace uso de métodos matemáticos propios de las escuelas de escribas de la época y está escrito en un formato de documento utilizado por los administradores de la época. [26] Por lo tanto, Robson sostiene que el autor probablemente era un escriba, un burócrata en Larsa. [27] La configuración matemática repetitiva de la tableta, y de tabletas similares como la BM 80209, habría sido útil para permitir al profesor plantear problemas en el mismo formato entre sí pero con datos diferentes.
![{\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d3b25ad6aaaf2f3ed5d6e9805646cd8f0d5954)
