IM 67118 , también conocida como Db 2 -146 , es una tablilla de arcilla de la antigua Babilonia que se encuentra en la colección del Museo de Irak y que contiene la solución a un problema de geometría plana relativo a un rectángulo con un área y una diagonal dadas. En la última parte del texto, se demuestra que la solución es correcta utilizando el teorema de Pitágoras . Se cree que los pasos de la solución representan operaciones geométricas de cortar y pegar que implican un diagrama del que, se ha sugerido, los antiguos mesopotámicos podrían, en una época anterior, haber derivado el teorema de Pitágoras.
La tablilla fue excavada en 1962 en Tell edh-Dhiba'i , un asentamiento de la Antigua Babilonia cerca de la actual Bagdad que alguna vez fue parte del reino de Eshnunna , y fue publicada por Taha Baqir en el mismo año. [1] [2] Data aproximadamente de 1770 a. C. (según la cronología media ), durante el reinado de Ibal-pi-el II , quien gobernó Eshnunna al mismo tiempo que Hammurabi gobernaba Babilonia . [3] La tablilla mide 11,5 × 6,8 × 3,3 cm (4½" x 2¾" x 1¼"). [4] Su idioma es el acadio , escrito en escritura cuneiforme . Hay 19 líneas de texto en el anverso de la tablilla y seis en su reverso. El reverso también contiene un diagrama que consiste en el rectángulo del problema y una de sus diagonales. A lo largo de esa diagonal está escrita su longitud en notación sexagesimal ; el área del rectángulo está escrita en la región triangular debajo de la diagonal. [5]
En lenguaje matemático moderno, el problema planteado en la tablilla es el siguiente: un rectángulo tiene área A = 0,75 y diagonal c = 1,25. ¿Cuáles son las longitudes a y b de los lados del rectángulo?
La solución puede entenderse como un proceso en dos etapas: en la etapa 1, se calcula que la cantidad es 0,25. En la etapa 2, se utiliza el método babilónico antiguo bien atestiguado de completar el cuadrado para resolver lo que es efectivamente el sistema de ecuaciones b − a = 0,25, ab = 0,75. [6] Geométricamente, este es el problema de calcular las longitudes de los lados de un rectángulo cuya área A y diferencia de longitudes de lados b − a son conocidas, lo que era un problema recurrente en las matemáticas babilónicas antiguas. [7] En este caso se encuentra que b = 1 y a = 0,75. El método de solución sugiere que quien ideó la solución estaba usando la propiedad c 2 − 2 A = c 2 − 2 ab = ( b − a ) 2 . Sin embargo, debe enfatizarse que la notación moderna para ecuaciones y la práctica de representar parámetros e incógnitas por letras eran desconocidas en la antigüedad. Hoy en día se acepta ampliamente, como resultado del extenso análisis de Jens Høyrup del vocabulario de las matemáticas babilónicas antiguas, que lo que subyacía a los procedimientos en textos como IM 67118 era un conjunto de operaciones geométricas estándar de cortar y pegar, no un álgebra simbólica. [8] [9]
Del vocabulario de la solución, Høyrup concluye que c 2 , el cuadrado de la diagonal, debe entenderse como un cuadrado geométrico, del que se debe "cortar", es decir, quitar, un área igual a 2 A , dejando un cuadrado con un lado b − a . Høyrup sugiere que el cuadrado en la diagonal posiblemente se formó haciendo cuatro copias del rectángulo, cada una rotada 90°, y que el área 2 A era el área de los cuatro triángulos rectángulos contenidos en el cuadrado en la diagonal. El resto es el pequeño cuadrado en el centro de la figura. [10]
El procedimiento geométrico para calcular las longitudes de los lados de un rectángulo de área dada A y diferencia de longitudes de lados b − a fue transformar el rectángulo en un gnomon de área A cortando un trozo rectangular de dimensiones a× ½( b − a ) y pegándolo en el lado del rectángulo. Luego, el gnomon se completó hasta formar un cuadrado añadiéndole un cuadrado más pequeño de lado ½( b − a ). [11] [7] En este problema, se calcula que el lado del cuadrado completado es . Luego, la cantidad ½( b − a )=0,125 se suma al lado horizontal del cuadrado y se resta del lado vertical. Los segmentos de línea resultantes son los lados del rectángulo deseado. [11]
Una dificultad a la hora de reconstruir los diagramas geométricos de la antigua Babilonia es que las tablillas conocidas nunca incluyen diagramas en las soluciones (ni siquiera en las soluciones geométricas en las que se describen construcciones explícitas en el texto), aunque a menudo se incluyen diagramas en las formulaciones de los problemas. Høyrup sostiene que la geometría de cortar y pegar se habría realizado en algún medio distinto de la arcilla, tal vez en arena o en un "ábaco de polvo", al menos en las primeras etapas de la formación de un escriba, antes de que se hubiera desarrollado la capacidad mental para el cálculo geométrico. [12] [13]
Friberg describe algunas tablillas que contienen dibujos de "figuras dentro de figuras", incluyendo MS 2192, en la que la banda que separa dos triángulos equiláteros concéntricos está dividida en tres trapecios. Escribe: " La idea de calcular el área de una banda triangular como el área de una cadena de trapecios es una variación de la idea de calcular el área de una banda cuadrada como el área de una cadena de cuatro rectángulos. Esta es una idea simple, y es probable que fuera conocida por los matemáticos de la antigua Babilonia, aunque todavía no se ha encontrado ningún texto matemático cuneiforme en el que esta idea entre de manera explícita". Sostiene que esta idea está implícita en el texto de IM 67118. [14] También invita a una comparación con el diagrama de YBC 7329, en el que se muestran dos cuadrados concéntricos. La banda que separa los cuadrados no está subdividida en cuatro rectángulos en esta tablilla, pero el valor numérico del área de uno de los rectángulos sí aparece junto a la figura. [15]
La solución b = 1, a = 0,75 se demuestra correcta calculando las áreas de los cuadrados con las longitudes de los lados correspondientes, sumando estas áreas y calculando la longitud de los lados del cuadrado con el área resultante, es decir, tomando la raíz cuadrada. Esta es una aplicación del teorema de Pitágoras, , y el resultado concuerda con el valor dado, c = 1,25. [11] [16] Que el área también es correcta se verifica calculando el producto, ab . [11]
La siguiente traducción es dada por Britton, Proust y Shnider y se basa en la traducción de Høyrup, [17] que a su vez se basa en la copia manual y transliteración de Baqir, [18] con algunas pequeñas correcciones. Los números sexagesimales babilónicos se traducen a notación decimal con dígitos de base 60 separados por comas. Por lo tanto, 1,15 significa 1 + 15/60 = 5/4 = 1,25. Tenga en cuenta que no había un "punto sexagesimal" en el sistema babilónico, por lo que la potencia total de 60 multiplicando un número tuvo que inferirse del contexto. La traducción es "conforme", que, como lo describe Eleanor Robson , "implica traducir consistentemente los términos técnicos babilónicos con palabras o neologismos en inglés existentes que coincidan con los significados originales lo más fielmente posible"; también conserva el orden de las palabras acádicas . [9] Las matemáticas babilónicas antiguas utilizaban palabras diferentes para la multiplicación dependiendo del contexto geométrico subyacente y de manera similar para las otras operaciones aritméticas. [19]
Anverso
- Si, sobre un (rectángulo con) diagonal, (alguien) te pregunta
- así, 1,15 la diagonal, 45 la superficie;
- ¿Largo y ancho correspondientes a qué? Usted, por su proceder,
- 1,15, su diagonal, su contraparte se encuentra abajo:
- Haz que se mantengan: 1,33,45 aparece,
- 1,33,45 puede (?) tu (?) mano sostener (?)
- 45 tu superficie a dos trae: 1,30 sube.
- De 1,33,45 se corta: 3,45 [20] el resto.
- El lado igual a 3,45 es 15. Su mitad,
- 7,30 sale, a 7,30 sube: 56,15 sale
- 56,15 tu mano. 45 tu superficie sobre tu mano,
- Resulta 45,56,15. El lado igual de 45,56,15 es:
- 52,30 sube, 52,30 su contraparte se acuesta,
- 7,30 que habéis hecho sujetar a uno
- adjuntar: de uno
- cortar. 1 tu largo, 45 el ancho. Si 1 el largo,
- 45 ¿A qué corresponde el ancho, la superficie y la diagonal?
- (Tú por tu) hacer, la longitud hace que se mantenga:
- (1 aparece...) que tu cabeza aguante.
Contrarrestar
- [...]: 45, el ancho, hacer agarre:
- Sale 33,45. A tu longitud añade:
- Sale 1,33,45. El lado igual de 1,33,45 es:
- 1,15 sale. 1,15 tu diagonal. Tu longitud
- para elevar el ancho, 45 su superficie.
- Así se procede. [21]
El enunciado del problema se da en las líneas 1 a 3, la etapa 1 de la solución en las líneas 3 a 9, la etapa 2 de la solución en las líneas 9 a 16 y la verificación de la solución en las líneas 16 a 24. Nótese que "1,15 tu diagonal, su contraparte, coloca: haz que se sostengan" significa formar un cuadrado colocando copias perpendiculares de la diagonal, el "lado igual" es el lado de un cuadrado, o la raíz cuadrada de su área, "que tu cabeza sostenga" significa recordar, y "tu mano" puede referirse a "una libreta o un dispositivo para el cálculo". [11]
El problema 2 de la tablilla MS 3971 de la colección Schøyen , publicada por Friberg, es idéntico al problema de IM 67118. La solución es muy similar, pero se obtiene sumando 2 A a c 2 , en lugar de restándolo. El lado del cuadrado resultante es igual a b + a = 1,75 en este caso. El sistema de ecuaciones b + a = 1,75, ab = 0,75 se resuelve nuevamente completando el cuadrado. MS 3971 no contiene diagrama y no realiza el paso de verificación. Su lenguaje es "conciso" y utiliza muchos logogramas sumerios en comparación con el "verboso" IM 67118, que está en acadio silábico. [22] Friberg cree que este texto proviene de Uruk, en el sur de Irak , y lo data antes de 1795 a. C. [23]
Friberg señala un problema similar en un papiro demótico egipcio del siglo III a. C., P. Cairo , problemas 34 y 35, publicado por Parker en 1972. [24] Friberg también ve una posible conexión con la explicación de AA Vaiman de una entrada en la tabla de constantes TMS 3 de la antigua Babilonia, que dice "57 36, constante del šàr". Vaiman señala que el signo cuneiforme para šàr se asemeja a una cadena de cuatro triángulos rectángulos dispuestos en un cuadrado, como en la figura propuesta. El área de dicha cadena es 24/25 (igual a 57 36 en sexagesimal) si se suponen 3-4-5 triángulos rectángulos con hipotenusa normalizada a longitud 1. [24] Høyrup escribe que el problema de IM 67118 "aparece, resuelto exactamente de la misma manera, en un manual hebreo de 1116 d. C." [25]
Aunque el problema de IM 67118 se refiere a un rectángulo específico, cuyos lados y diagonal forman una versión a escala del triángulo rectángulo 3-4-5, el lenguaje de la solución es general y suele especificar el papel funcional de cada número a medida que se utiliza. En la parte posterior del texto, se ve una formulación abstracta en algunos lugares, sin hacer referencia a valores particulares ("la longitud se mantiene", "tu longitud se eleva a la anchura"). Høyrup ve en esto "un rastro inequívoco de la 'regla pitagórica' en la formulación abstracta". [26]
Se desconoce la manera en que se descubrió la regla de Pitágoras, pero algunos investigadores ven un camino posible en el método de solución utilizado en IM 67118. La observación de que restar 2 A de c 2 produce ( b − a ) 2 solo necesita ser aumentada por un reordenamiento geométrico de las áreas correspondientes a a 2 , b 2 y −2 A = −2 ab para obtener una prueba de reordenamiento de la regla, una que es bien conocida en los tiempos modernos y que también se sugiere en el siglo III d. C. en el comentario de Zhao Shuang sobre el antiguo Zhoubi Suanjing chino ( Gnomon de los Zhou ). [27] [24] [28] [29] La formulación de la solución en MS 3971, problema 2, al no tener áreas restadas, proporciona una derivación posiblemente incluso más sencilla. [27] [30]
Høyrup propone la hipótesis, basada en parte en las similitudes entre los problemas de palabras que reaparecen en una amplia gama de tiempos y lugares y en el lenguaje y el contenido numérico de dichos problemas, de que gran parte del material matemático de los escribas de la antigua Babilonia fue importado de la tradición práctica de los topógrafos, donde la resolución de problemas de acertijos se utilizaba como una insignia de habilidad profesional. Høyrup cree que esta cultura de topógrafos sobrevivió a la desaparición de la cultura de los escribas de la antigua Babilonia que resultó de la conquista hitita de Mesopotamia a principios del siglo XVI a. C. y que influyó en las matemáticas de la antigua Grecia, de Babilonia durante el período seléucida, del imperio islámico y de la Europa medieval. [31] Entre los problemas que Høyrup atribuye a esta tradición práctica de topógrafos se encuentran varios problemas de rectángulos que requieren completar el cuadrado, incluido el problema de IM 67118. [32] Sobre la base de que no se conocen referencias del tercer milenio a. C. a la regla pitagórica, y que la formulación de IM 67118 ya está adaptada a la cultura de los escribas, Høyrup escribe: " A juzgar solo por esta evidencia , es probable que la regla pitagórica se descubriera dentro del entorno de los topógrafos laicos, posiblemente como un derivado del problema tratado en Db 2 -146, en algún momento entre 2300 y 1825 a. C.". [33] Por lo tanto, se demuestra que la regla que lleva el nombre de Pitágoras , que nació alrededor de 570 a. C. y murió alrededor de 495 a. C., [34] fue descubierta unos 12 siglos antes de su nacimiento. [ cita requerida ]
No se pueden determinar con exactitud las fechas de la vida de Pitágoras, pero suponiendo que la afirmación de Aristóxeno (ap. Porph. VP 9) de que abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates a la edad de cuarenta años sea aproximadamente correcta, podemos situar su nacimiento en torno al 570 a. C., o unos pocos años antes. La duración de su vida se ha estimado de diversas maneras en la antigüedad, pero se coincide en que vivió hasta una edad bastante avanzada y lo más probable es que muriera a los setenta y cinco u ochenta años.
