Las tablas matemáticas son listas de números que muestran los resultados de un cálculo con argumentos variables. Las tablas trigonométricas se utilizaban en la antigua Grecia y la India para aplicaciones en astronomía y navegación celeste , y continuaron utilizándose ampliamente hasta que las calculadoras electrónicas se volvieron baratas y abundantes en la década de 1970, con el fin de simplificar y acelerar drásticamente los cálculos . Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias, y se publicaron tablas especializadas para numerosas aplicaciones.
Las primeras tablas de funciones trigonométricas de las que se tiene conocimiento fueron las de Hiparco (c. 190-c. 120 a. C.) y Menelao (c. 70-140 d. C.), pero ambas se han perdido. Junto con la tabla superviviente de Ptolomeo (c. 90-c. 168 d. C.), todas eran tablas de cuerdas y no de semicuerdas, es decir, la función seno . [1] La tabla producida por el matemático indio Āryabhaṭa (476-550 d. C.) se considera la primera tabla de senos jamás construida. [1] La tabla de Āryabhaṭa siguió siendo la tabla de senos estándar de la antigua India. Hubo intentos continuos de mejorar la precisión de esta tabla, que culminaron con el descubrimiento de las expansiones de series de potencias de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c.1350 – c.1425), y la tabulación de una tabla de senos por Madhava con valores precisos hasta siete u ocho decimales.
Las tablas de logaritmos comunes se utilizaron hasta la invención de las computadoras y las calculadoras electrónicas para realizar multiplicaciones, divisiones y exponenciaciones rápidas, incluida la extracción de raíces n -ésimas.
En el siglo XIX se propusieron computadoras mecánicas especiales conocidas como máquinas diferenciales para tabular aproximaciones polinómicas de funciones logarítmicas, es decir, para calcular tablas logarítmicas grandes. Esto estuvo motivado principalmente por errores en las tablas logarítmicas cometidos por las computadoras humanas de la época. Las primeras computadoras digitales se desarrollaron durante la Segunda Guerra Mundial en parte para producir tablas matemáticas especializadas para apuntar la artillería . A partir de 1972, con el lanzamiento y el uso creciente de las calculadoras científicas , la mayoría de las tablas matemáticas dejaron de usarse.
Uno de los últimos esfuerzos importantes para construir dichas tablas fue el Proyecto de Tablas Matemáticas , que se inició en los Estados Unidos en 1938 como un proyecto de la Works Progress Administration (WPA), empleando a 450 empleados desempleados para tabular funciones matemáticas superiores. Duró hasta la Segunda Guerra Mundial. [2]
Las tablas de funciones especiales todavía se utilizan. Por ejemplo, el uso de tablas de valores de la función de distribución acumulativa de la distribución normal (las llamadas tablas normales estándar ) sigue siendo común hoy en día, especialmente en las escuelas, aunque el uso de calculadoras científicas y gráficas, así como de hojas de cálculo y software estadístico especializado en los ordenadores personales está haciendo que dichas tablas sean redundantes.
La creación de tablas almacenadas en memoria de acceso aleatorio es una técnica de optimización de código común en la programación informática, donde el uso de dichas tablas acelera los cálculos en aquellos casos en que una búsqueda en la tabla es más rápida que los cálculos correspondientes (en particular si la computadora en cuestión no tiene una implementación de hardware de los cálculos). En esencia, se intercambia la velocidad de procesamiento por el espacio de memoria de la computadora necesario para almacenar las tablas.
Los cálculos trigonométricos desempeñaron un papel importante en los primeros estudios de astronomía. Las primeras tablas se construyeron aplicando repetidamente identidades trigonométricas (como las identidades de la mitad del ángulo y de la suma de los ángulos) para calcular nuevos valores a partir de los antiguos.
Para calcular la función seno de 75 grados, 9 minutos, 50 segundos utilizando una tabla de funciones trigonométricas como la tabla de Bernegger de 1619 ilustrada arriba, uno podría simplemente redondear a 75 grados, 10 minutos y luego encontrar la entrada de 10 minutos en la página de 75 grados, que se muestra arriba a la derecha, que es 0,9666746.
Sin embargo, esta respuesta solo es precisa hasta cuatro decimales. Si se desea una mayor precisión, se podría interpolar linealmente de la siguiente manera:
De la tabla de Bernegger:
La diferencia entre estos valores es 0,0000745.
Como hay 60 segundos en un minuto de arco, multiplicamos la diferencia por 50/60 para obtener una corrección de (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621; y luego sumamos esa corrección a sen (75° 9′) para obtener:
Una calculadora moderna da sin(75° 9′ 50″) = 0,96666219991, por lo que nuestra respuesta interpolada es precisa hasta la precisión de 7 dígitos de la tabla de Bernegger.
Para tablas con mayor precisión (más dígitos por valor), puede ser necesaria una interpolación de orden superior para obtener una precisión total. [3] En la era anterior a las computadoras electrónicas, interpolar datos de tablas de esta manera era la única forma práctica de obtener valores de alta precisión de funciones matemáticas necesarias para aplicaciones como navegación, astronomía y topografía.
Para comprender la importancia de la precisión en aplicaciones como la navegación, tenga en cuenta que a nivel del mar, un minuto de arco a lo largo del ecuador de la Tierra o un meridiano (de hecho, cualquier círculo máximo ) equivale a una milla náutica (aproximadamente 1,852 km o 1,151 mi).
Las tablas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaron ampliamente en los cálculos antes de la llegada de las calculadoras electrónicas y las computadoras porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles. Los logaritmos de base 10 tienen una propiedad adicional que es única y útil: el logaritmo común de los números mayores que uno que difieren solo por un factor de una potencia de diez tienen todos la misma parte fraccionaria, conocida como mantisa . Las tablas de logaritmos comunes generalmente incluían solo las mantisas ; la parte entera del logaritmo, conocida como característica , podía determinarse fácilmente contando dígitos en el número original. Un principio similar permite el cálculo rápido de logaritmos de números positivos menores que 1. Por lo tanto, se puede usar una sola tabla de logaritmos comunes para todo el rango de números decimales positivos. [4] Consulte logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.
En 1544, Michael Stifel publicó Arithmetica integra , que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica. [5] [6] [7]
El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). [8] El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas relacionadas con los logaritmos naturales . El matemático inglés Henry Briggs visitó a Napier en 1615 y propuso una nueva escala de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como los logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada. En 1617, publicaron Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que daba una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 números enteros calculados hasta el decimocuarto decimal. Antes de la invención de Napier, existían otras técnicas de alcance similar, como el uso de tablas de progresiones, ampliamente desarrolladas por Jost Bürgi alrededor de 1600. [9] [10]
El avance computacional disponible a través de los logaritmos comunes, el inverso de los números potenciados o la notación exponencial , fue tal que hizo que los cálculos a mano fueran mucho más rápidos.
