En matemáticas , las tablas de funciones trigonométricas son útiles en varias áreas. Antes de que existieran las calculadoras de bolsillo , las tablas trigonométricas eran esenciales para la navegación , la ciencia y la ingeniería . El cálculo de tablas matemáticas fue un área de estudio importante, que condujo al desarrollo de los primeros dispositivos informáticos mecánicos .
Las computadoras y calculadoras de bolsillo modernas ahora generan valores de funciones trigonométricas a pedido, utilizando bibliotecas especiales de código matemático. A menudo, estas bibliotecas utilizan tablas precalculadas internamente y calculan el valor requerido mediante un método de interpolación adecuado . La interpolación de tablas de consulta simples de funciones trigonométricas todavía se utiliza en gráficos por computadora , donde sólo se requiere una precisión modesta y la velocidad suele ser primordial.
Otra aplicación importante de las tablas trigonométricas y los esquemas de generación es para los algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT), donde los mismos valores de funciones trigonométricas (llamados factores de giro ) deben evaluarse muchas veces en una transformada determinada, especialmente en el caso común en el que muchas transformadas de la Se calcula el mismo tamaño. En este caso, llamar a rutinas de biblioteca genéricas cada vez es inaceptablemente lento. Una opción es llamar a las rutinas de la biblioteca una vez para crear una tabla de los valores trigonométricos que serán necesarios, pero esto requiere mucha memoria para almacenar la tabla. La otra posibilidad, dado que se requiere una secuencia regular de valores, es utilizar una fórmula de recurrencia para calcular los valores trigonométricos sobre la marcha. Se han dedicado importantes investigaciones a encontrar esquemas de recurrencia estables y precisos para preservar la precisión de la FFT (que es muy sensible a los errores trigonométricos).
Una tabla de trigonometría es esencialmente una tabla de referencia que presenta los valores de seno, coseno, tangente y otras funciones trigonométricas para varios ángulos. Estos ángulos suelen estar dispuestos en la fila superior de la tabla, mientras que las diferentes funciones trigonométricas están etiquetadas en la primera columna de la izquierda. Para ubicar el valor de una función trigonométrica específica en un ángulo determinado, debe buscar la fila de la función y seguirla hasta la columna bajo el ángulo deseado. [1]
Las computadoras y calculadoras modernas utilizan una variedad de técnicas para proporcionar valores de funciones trigonométricas según demanda para ángulos arbitrarios (Kantabutra, 1996). Un método común, especialmente en procesadores de gama alta con unidades de punto flotante , es combinar una aproximación polinómica o racional (como la aproximación de Chebyshev , la mejor aproximación uniforme, la aproximación de Padé y, normalmente, para precisiones más altas o variables, las series de Taylor y Laurent ). con reducción de rango y búsqueda en una tabla: primero buscan el ángulo más cercano en una tabla pequeña y luego usan el polinomio para calcular la corrección. Mantener la precisión al realizar dicha interpolación no es trivial, pero para este propósito se pueden utilizar métodos como las tablas precisas de Gal , la reducción de rango de Cody y Waite y los algoritmos de reducción de radianes de Payne y Hanek. En dispositivos más simples que carecen de multiplicador de hardware , existe un algoritmo llamado CORDIC (así como técnicas relacionadas) que es más eficiente, ya que utiliza solo desplazamientos y sumas. Todos estos métodos se implementan comúnmente en hardware por razones de rendimiento.
El polinomio particular utilizado para aproximar una función trigonométrica se genera con anticipación utilizando alguna aproximación de un algoritmo de aproximación minimax .
Para cálculos de muy alta precisión , cuando la convergencia de expansión de series se vuelve demasiado lenta, las funciones trigonométricas se pueden aproximar mediante la media aritmético-geométrica , que a su vez aproxima la función trigonométrica mediante la integral elíptica ( compleja ) (Brent, 1976).
Las funciones trigonométricas de ángulos que son múltiplos racionales de 2π son números algebraicos . Los valores para a/b·2π se pueden encontrar aplicando la identidad de De Moivre para n = a a una b ésima raíz de la unidad , que también es una raíz del polinomio x b - 1 en el plano complejo . Por ejemplo, el coseno y el seno de 2π ⋅ 5/37 son las partes real e imaginaria , respectivamente, de la quinta potencia de la raíz 37 de la unidad cos(2π/37) + sin(2π/37)i, que es una raíz del polinomio de grado -37 x 37 − 1. Para este caso, un algoritmo de búsqueda de raíces como el método de Newton es mucho más simple que los algoritmos de media aritmético-geométrica anteriores y converge a una tasa asintótica similar. Sin embargo , estos últimos algoritmos son necesarios para constantes trigonométricas trascendentales .
Históricamente, el método más antiguo mediante el cual se calcularon tablas trigonométricas, y probablemente el más común hasta la llegada de las computadoras, fue aplicar repetidamente las identidades trigonométricas de medio ángulo y suma de ángulos a partir de un valor conocido (como sin(π/2 ) = 1, cos(π/2) = 0). Este método fue utilizado por el antiguo astrónomo Ptolomeo , quien los derivó en el Almagesto , un tratado de astronomía. En forma moderna, las identidades que derivó se expresan de la siguiente manera (con signos determinados por el cuadrante en el que se encuentra x ):
Estos se utilizaron para construir la tabla de acordes de Ptolomeo , que se aplicó a problemas astronómicos.
Son posibles otras permutaciones de estas identidades: por ejemplo, algunas de las primeras tablas trigonométricas no usaban seno y coseno, sino seno y verseno .
Un algoritmo rápido, pero inexacto, para calcular una tabla de N aproximaciones s n para sen (2 π n / N ) y c n para cos (2π n / N ) es:
para n = 0,..., N − 1, donde d = 2π/ N .
Este es simplemente el método de Euler para integrar la ecuación diferencial :
con condiciones iniciales s (0) = 0 y c (0) = 1, cuya solución analítica es s = sin( t ) y c = cos( t ).
Desafortunadamente, este no es un algoritmo útil para generar tablas de senos porque tiene un error significativo, proporcional a 1/ N .
Por ejemplo, para N = 256, el error máximo en los valores del seno es ~0,061 ( s 202 = −1,0368 en lugar de −0,9757). Para N = 1024, el error máximo en los valores del seno es ~0,015 ( s 803 = −0,99321 en lugar de −0,97832), aproximadamente 4 veces menor. Si se graficaran los valores de seno y coseno obtenidos, este algoritmo dibujaría una espiral logarítmica en lugar de un círculo.
Una fórmula de recurrencia simple para generar tablas trigonométricas se basa en la fórmula de Euler y la relación:
Esto lleva a la siguiente recurrencia para calcular los valores trigonométricos s n y c n como arriba:
para n = 0, ..., N − 1, donde w r = cos(2π/ N ) y w i = sin(2π/ N ). Estos dos valores trigonométricos iniciales generalmente se calculan utilizando funciones de biblioteca existentes (pero también se pueden encontrar, por ejemplo, empleando el método de Newton en el plano complejo para resolver la raíz primitiva de z N − 1).
Este método produciría una tabla exacta en aritmética exacta, pero tiene errores en aritmética de punto flotante de precisión finita . De hecho, los errores crecen como O(ε N ) (tanto en el peor caso como en el promedio), donde ε es la precisión de punto flotante.
Una mejora significativa es utilizar la siguiente modificación de lo anterior, un truco (debido a Singleton [2] ) que se usa a menudo para generar valores trigonométricos para implementaciones FFT:
donde α = 2 sen 2 (π/ N ) y β = sen(2π/ N ). Los errores de este método son mucho más pequeños, O(ε √ N ) en promedio y O(ε N ) en el peor de los casos, pero aún son lo suficientemente grandes como para degradar sustancialmente la precisión de las FFT de grandes tamaños.
