Horizonte no expandible

Un horizonte no en expansión ( NEH ) es una superficie nula cerrada cuya estructura intrínseca se conserva. Un NEH es el prototipo geométrico de un horizonte aislado que describe un agujero negro en equilibrio con su exterior desde una perspectiva cuasilocal. Las dos definiciones cuasilocales de agujeros negros, horizontes débilmente aislados y horizontes aislados, se basan en el concepto y la geometría de los NEH.

Definición de NEH

Una subvariedad tridimensional ∆ se define como una NEH genérica (rotativa y distorsionada) si respeta las siguientes condiciones: ^{[1] [2] [3]}

(i) ∆ es nulo y topológicamente ; (ii) A lo largo de cualquier campo normal nulo tangente a ∆, la tasa de expansión saliente desaparece; (iii) Todas las ecuaciones de campo se mantienen en ∆, y el tensor tensión-energía en ∆ es tal que es un vector causal dirigido al futuro ( ) para cualquier normal nula dirigida al futuro . ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}}$
${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle V^{a}V_{a}\leq 0}$ ${\displaystyle l^{a}}$

La condición (i) es bastante trivial y simplemente establece el hecho general de que desde una perspectiva 3+1 ^[4] un NEH ∆ está foliado por 2 esferas espaciales ∆'=S ² , donde S ² enfatiza que ∆' es topológicamente compacto con género cero ( ). La firma de ∆ es (0,+,+) con una coordenada temporal degenerada, y la geometría intrínseca de una hoja de foliación ∆'=S ² no es evolutiva. La propiedad en la condición (ii) juega un papel fundamental en la definición de NEH y las ricas implicaciones codificadas en ella se discutirán ampliamente a continuación. La condición (iii) hace que uno se sienta libre de aplicar el formalismo de Newman-Penrose (NP) ^{[5] [6]} de las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell al horizonte y su vecindad cercana al horizonte; además, la propia desigualdad energética está motivada por la condición energética dominante ^[7] y es una condición suficiente para derivar muchas condiciones límite de los NEH. ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle \theta _{(l)}=0}$

Nota : En este artículo, siguiendo la convención establecida en las referencias, ^{[1] [2] [3]} "sombrero" sobre el símbolo de igualdad significa igualdad en los horizontes de los agujeros negros (NEH), y "sombrero" sobre cantidades y Los operadores ( ,, etc.) denotan aquellos en una hoja de foliación del horizonte. Además, ∆ es el símbolo estándar tanto para un NEH como para la derivada direccional ∆ en el formalismo NP, y creemos que esto no causará ambigüedad. ${\displaystyle {\hat {=}}}$ ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}}$ ${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$ ${\displaystyle :=n^{a}\nabla _{a}}$

Condiciones de contorno implícitas en la definición

Ahora analicemos las implicaciones de la definición de NEH, y estos resultados se expresarán en el lenguaje del formalismo NP con la convención ^{[5] [6]} (Nota: a diferencia de la convención original ^{[8] [9]} , esta es la el habitual empleado en el estudio de superficies nulas atrapadas y definiciones cuasilocales de agujeros negros ^[10] ). Al ser una normal nula a ∆, es automáticamente geodésica , y libre de torsión ,. Para un NEH, la tasa de expansión saliente está desapareciendo y, en consecuencia , . Además, según la ecuación de expansión-giro de Raychaudhuri-NP, ^[11] ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle \kappa :=-m^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(\rho )={\text{Im}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a})\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle \theta _{(l)}}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle \theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(\rho )={\text{Re}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a})=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (1)\qquad D\rho =\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

se deduce que en ∆

${\displaystyle (2)\qquad \sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

donde está el coeficiente de corte NP. Debido a la condición de energía asumida (iii), tenemos ( ) y, por lo tanto, no es negativa en ∆. Por supuesto, el producto tampoco es negativo. En consecuencia, y debe ser simultáneamente cero en ∆, es decir y . A modo de resumen, ${\displaystyle \sigma :=-m^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}}$ ${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}=R_{ab}l^{a}l^{b}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \,T_{ab}l^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle c=G=1}$ ${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle \sigma {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle \sigma \,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (3)\qquad \kappa \,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \sigma \,{\hat {=}}\,0\,,\quad R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0.}$

Por lo tanto, el horizonte aislado ∆ no es evolutivo y todas las hojas de foliación ∆'=S ² parecen idénticas entre sí. La relación implica que el vector causal en la condición (iii) es proporcional a y es proporcional a en el horizonte ∆; es decir, y , . Aplicando este resultado a los escalares de Ricci-NP relacionados, obtenemos , y , por lo tanto ${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{b}^{a}l^{b}\cdot l_{a}\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle -T_{b}^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle R_{ab}l^{b}}$ ${\displaystyle l_{a}}$ ${\displaystyle -T_{b}^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl^{a}}$ ${\displaystyle R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}l^{b}\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}m^{b}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (4)\qquad R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}\,,\quad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

La desaparición de los escalares de Ricci-NP significa que no hay flujo de energía-momento de ningún tipo de carga a través del horizonte, como ondas electromagnéticas , flujo de Yang-Mills o flujo de dilatón . Además, no debería haber ondas gravitacionales cruzando el horizonte; sin embargo, las ondas gravitacionales son propagación de perturbaciones del continuo espacio-tiempo en lugar de flujos de cargas y, por lo tanto, se representan mediante cuatro escalares de Weyl-NP (excluyendo ) en lugar de cantidades de Ricci-NP . ^[5] Según la ecuación de corte de Raychaudhuri-NP ^[11] ${\displaystyle \{\Phi _{00}\,,\Phi _{01}\,,\Phi _{10}\}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}\;(i=0,1,3,4)}$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle (5)\qquad D\sigma =\sigma (\rho +{\bar {\rho }})+\Psi _{0}=-2\sigma \theta _{(l)}+\Psi _{0}\,,}$

o la ecuación de campo NP en el horizonte

${\displaystyle (6)\qquad D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

se sigue eso . Además, la ecuación NP ${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c}m^{d}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (7)\qquad \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta )-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{01}\,{\hat {=}}\,0}$

implica que . Para resumir, tenemos ${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c}m^{d}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (8)\qquad \Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

lo que significa que, ^[5] geométricamente, una dirección principal nula del tensor de Weyl se repite dos veces y está alineada con la dirección principal; Físicamente, ninguna onda gravitacional (componente transversal y componente longitudinal ) ingresa al agujero negro. Este resultado es consistente con el escenario físico que define a los NEH. ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle \Psi _{0}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}}$

Observaciones: coeficientes de espín relacionados con la ecuación de Raychaudhuri

Para comprender mejor la sección anterior, revisaremos brevemente los significados de los coeficientes de espín NP relevantes al representar congruencias nulas . ^[7] La ​​forma tensorial de la ecuación de Raychaudhuri ^[12] que rige los flujos nulos dice

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(l)}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(l)}\theta _{(l)}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,}$

donde se define tal que . Las cantidades en la ecuación de Raychaudhuri están relacionadas con los coeficientes de espín mediante ^{[5] [13] [14]} ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(l)}}$ ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(l)}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}}$

${\displaystyle (10)\qquad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

${\displaystyle (11)\qquad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,}$

${\displaystyle (12)\qquad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,}$

donde la ecuación (10) se sigue directamente de y ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}}$

${\displaystyle (13)\qquad \theta _{(l)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,}$

${\displaystyle (14)\qquad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.}$

Además, una congruencia nula es ortogonal de hipersuperficie si . ^[5] ${\displaystyle {\text{Im}}(\rho )=0}$

Restricciones de los campos electromagnéticos.

NEH de vacío , que son los tipos más simples de NEH, pero en general puede haber varios campos físicamente significativos alrededor de un NEH, entre los cuales nos interesan principalmente los campos de electrovacío con . Esta es la extensión más simple de los NEH de vacío, y el tensor de tensión de energía que no desaparece para campos electromagnéticos dice ${\displaystyle \{\Phi _{ij}{\hat {=}}0\,,\Lambda _{}{\hat {=}}0\}}$ ${\displaystyle \Lambda {\hat {=}}0}$

${\displaystyle (15)\qquad T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}\,,}$

donde se refiere a la intensidad del campo electromagnético antisimétrico ( , ) , y no tiene rastros ( ) por definición y respeta la condición de energía dominante. (Hay que tener cuidado con la antisimetría de al definir los escalares de Maxwell-NP ). ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab}=-F_{ba}}$ ${\displaystyle F_{a}^{a}=0}$ ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle T_{a}^{a}=0}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

Las condiciones de contorno derivadas en la sección anterior son aplicables a NEH genéricos. En el caso electromagnético, se puede especificar de forma más particular. Por el formalismo NP de las ecuaciones de Einstein-Maxwell, se tiene ^[5] ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle (16)\qquad \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad i,j\in \{0,1,2\}\,,}$

donde denotamos los tres escalares de Maxwell-NP. Como alternativa a Eq(), podemos ver que la condición también resulta de la ecuación NP ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{00}=0}$

${\displaystyle (17)\qquad D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho -{\bar {\kappa }}\tau -(3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,\kappa +\Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,}$

como , entonces ${\displaystyle \kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma =0}$

${\displaystyle (18)\qquad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Leftrightarrow \;\;2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Rightarrow \;\;\phi _{0}={\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

Se deduce claramente que

${\displaystyle (19)\qquad \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{1}}}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

Estos resultados demuestran que no hay ondas electromagnéticas a lo largo ( , ) o a lo largo (\Phi_{02}) del NEH, excepto las geodésicas nulas que generan el horizonte. También vale la pena señalar que la ecuación suplementaria en Eq() solo es válida para campos electromagnéticos; por ejemplo, en el caso de los campos Yang-Mills habrá dónde están los escalares Yang-Mills-NP. ^[15] ${\displaystyle \Phi _{00}}$ ${\displaystyle \Phi _{01}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,{\big (}\,\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j}\,{\big )}}$ ${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\}}$

Tétrada adaptada sobre NEH y otras propiedades.

Por lo general, se emplean tétradas nulas adaptadas a las propiedades del espacio-tiempo para lograr las descripciones NP más sucintas. Por ejemplo, una tétrada nula se puede adaptar a direcciones nulas principales una vez que se conoce el tipo de Petrov ; Además, en algunas regiones límite típicas, como el infinito nulo , el infinito temporal , el infinito espacial , los horizontes de los agujeros negros y los horizontes cosmológicos , las tétradas se pueden adaptar a las estructuras límite. De manera similar, en la literatura se emplea una tétrada preferida ^{[1] [2] [3]} adaptada a comportamientos geométricos en el horizonte para investigar más a fondo los NEH.

Como se indica desde la perspectiva 3+1 de la condición (i) en la definición, un NEH ∆ está foliado por hipersuperficies espaciales ∆'=S ² transversales a su normal nula a lo largo de una coordenada nula entrante , donde seguimos la notación estándar de Eddington entrante –Coordenadas nulas de Finkelstein y se utilizan para etiquetar las hojas bidimensionales en ; eso es, . está configurado para estar dirigido al futuro y elegir el primer covector de tétrada como , ^{[2] [3]} y luego habrá un campo vectorial único como normales nulas para satisfacer la normalización cruzada y la parametrización afín ; tal elección produciría en realidad una foliación preferida de ∆. Si bien están relacionados con las propiedades extrínsecas y los generadores nulos (es decir, flujos nulos/congruencia geodésica en ∆), los dos vectores nulos complejos restantes abarcan la geometría intrínseca de una hoja de foliación , tangente a ∆ y transversal a ; eso es, . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle S_{v}^{2}}$ ${\displaystyle v={\text{constant}}}$ ${\displaystyle {}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n_{a}}$ ${\displaystyle n_{a}=-dv}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle S_{v}^{2}}$ ${\displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$ ${\displaystyle Dv=1}$ ${\displaystyle \{l^{a},n^{a}\}}$ ${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$ ${\displaystyle \{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ ${\displaystyle S_{v}^{2}}$ ${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\ell }m\,{\hat {=}}\,{\mathcal {L}}_{\ell }{\bar {m}}{\hat {=}}0}$

Veamos ahora las consecuencias de este tipo de tétrada adaptada. Desde

${\displaystyle (20)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }m=[\ell ,m]\,{\hat {=}}\,0\;\Rightarrow \;\delta D-D\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa _{}\Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

con , tenemos ${\displaystyle \kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma \,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (21)\qquad \pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\varepsilon }}\,.}$

Además, en un marco tan adaptado, la derivada on debería ser puramente intrínseca; así en el conmutador ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m}$ ${\displaystyle {}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]}$

${\displaystyle (22)\qquad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m=[{\bar {m}},m]={\bar {\delta }}\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta -({\bar {\beta }}-\alpha )\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

los coeficientes para las derivadas direccionales y ∆ deben ser cero, es decir ${\displaystyle D}$

${\displaystyle (23)\qquad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,,\quad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m\,{\hat {=}}\,(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

por lo que el campo normal nulo entrante no tiene torsión y es igual a la tasa de expansión entrante . ${\displaystyle n^{a}}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(\mu )={\text{Im}}({\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a})=0}$ ${\displaystyle 2\mu =2{\text{Re}}(\mu )}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

Discusión

Hasta ahora, se han introducido la definición y las condiciones de contorno de los NEH. Las condiciones de contorno incluyen las de un NEH arbitrario, características específicas de los NEH (electromagnéticos) de Einstein-Maxwell, así como otras propiedades en una tétrada adaptada. Con base en los NEH, se pueden definir los WIH que tienen una gravedad superficial válida para generalizar la mecánica de los agujeros negros. Los WIH son suficientes para estudiar la física en el horizonte, pero para propósitos geométricos, ^[2] se pueden imponer restricciones más fuertes a los WIH para introducir IH, donde la clase de equivalencia de normales nulas preserva completamente la conexión inducida en el horizonte. ${\displaystyle [\ell ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Referencias

1. Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Olaf Dreyer y col. "Horizontes aislados genéricos y sus aplicaciones". Cartas de revisión física , 2000, 85 (17): 3564-3567. arXiv:gr-qc/0006006v2
2. Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Jerzy Lewandowski. "Geometría de horizontes genéricos aislados". Gravedad clásica y cuántica , 2002, 19 (6): 1195-1225. arXiv:gr-qc/0111067v2
3. Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. "Horizontes aislados: evolución hamiltoniana y la primera ley". Revisión física D , 2000, 62 (10): 104025. gr-qc/0005083
4. Thomas W Baumgarte, Stuart L Shapiro. Relatividad numérica: resolución de las ecuaciones de Einstein en la computadora . Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Capítulo 2: La descomposición 3+1 de las ecuaciones de Einstein, página 23.
5. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempo exacto en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Capítulo 2.
6. Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Física de agujeros negros: conceptos básicos y nuevos desarrollos . Berlín: Springer, 1998. Apéndice E.
7. Eric Poisson. Un conjunto de herramientas relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Capítulos 2 y 3.
8. Ezra T Newman, Roger Penrose. "Una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de giro". Revista de Física Matemática , 1962, 3 (3): 566-768.
9. Ezra T Newman, Roger Penrose. "Errata: una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de giro". Revista de Física Matemática , 1963, 4 (7): 998.
10. Cabina de Iván. "Límites de los agujeros negros". Revista Canadiense de Física , 2005, 83 (11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv:gr-qc/0508107v2]
11. Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Chicago: University of Chicago Press, 1983. Sección 9(a), página 56.
12. Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve reseña . Pramana, 2007, 69 (1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc/0611123]
13. David McMahon. Relatividad desmitificada: una guía de autoaprendizaje . Nueva York: McGraw-Hill, 2006. Capítulo 9.
14. Álex Nielsen. Tesis doctoral: Horizontes de agujeros negros y termodinámica de agujeros negros . Universidad de Canterbury, 2007. Sección 2.3. Disponible en línea: http://ir.canterbury.ac.nz/handle/10092/1363.
15. ET Newman, KP Tod. Espaciotiempos asintóticamente planos . página 27, Apéndice A.2. En A Held (Editor): Relatividad general y gravitación: cien años después del nacimiento de Albert Einstein . Vol ( 2 ). Nueva York y Londres: Plenum Press, 1980.