Formalismo de Newman-Penrose

Notación en relatividad general

El formalismo Newman-Penrose ( NP ) ^{[1] [2]} es un conjunto de notación desarrollado por Ezra T. Newman y Roger Penrose para la relatividad general (RG). Su notación es un esfuerzo por tratar la relatividad general en términos de notación de espinores , que introduce formas complejas de las variables usuales utilizadas en la RG. El formalismo NP es en sí mismo un caso especial del formalismo de tétrada , ^[3] donde los tensores de la teoría se proyectan sobre una base vectorial completa en cada punto del espacio-tiempo. Usualmente esta base vectorial se elige para reflejar cierta simetría del espacio-tiempo, lo que lleva a expresiones simplificadas para observables físicos. En el caso del formalismo NP, la base vectorial elegida es una tétrada nula: un conjunto de cuatro vectores nulos: dos reales y un par complejo-conjugado. Los dos miembros reales a menudo apuntan asintóticamente radialmente hacia adentro y radialmente hacia afuera, y el formalismo está bien adaptado al tratamiento de la propagación de la radiación en el espacio-tiempo curvo. Los escalares de Weyl , derivados del tensor de Weyl , se utilizan a menudo. En particular, se puede demostrar que uno de estos escalares, en el marco apropiado, codifica la radiación gravitacional saliente de un sistema asintóticamente plano. ^[4] ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Newman y Penrose introdujeron las siguientes funciones como cantidades primarias utilizando esta tétrada: ^{[1] [2]}

• Doce coeficientes de espín complejos (en tres grupos) que describen el cambio en la tétrada de un punto a otro: . ${\displaystyle \kappa ,\rho ,\sigma ,\tau \,;\lambda ,\mu ,\nu ,\pi \,;\epsilon ,\gamma ,\beta ,\alpha .}$
• Cinco funciones complejas que codifican tensores de Weyl en la base de la tétrada: . ${\displaystyle \Psi _{0},\ldots ,\Psi _{4}}$
• Diez funciones que codifican tensores de Ricci en la base de la tétrada: (real); (complejo). ${\displaystyle \Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22},\Lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{01},\Phi _{10},\Phi _{02},\Phi _{20},\Phi _{12},\Phi _{21}}$

En muchas situaciones (especialmente en los espacios-tiempos algebraicamente especiales o en los espacios-tiempos de vacío), el formalismo de Newman-Penrose se simplifica drásticamente, ya que muchas de las funciones tienden a cero. Esta simplificación permite demostrar varios teoremas con mayor facilidad que utilizando la forma estándar de las ecuaciones de Einstein.

En este artículo, solo emplearemos la versión tensorial en lugar de la espinorial del formalismo NP, porque la primera es más fácil de entender y más popular en los artículos relevantes. Se puede consultar la referencia ^[5] para obtener una formulación unificada de estas dos versiones.

Tétrada nula y convención de signos

El formalismo se desarrolla para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, con una métrica de firma lorentziana. En cada punto, se introduce una tétrada (conjunto de cuatro vectores). Los dos primeros vectores, y son simplemente un par de vectores nulos estándar (reales) tales que . Por ejemplo, podemos pensar en términos de coordenadas esféricas, y tomar como el vector nulo saliente, y como el vector nulo entrante. Luego se construye un vector nulo complejo combinando un par de vectores reales, ortogonales, similares a espacios unitarios. En el caso de coordenadas esféricas, la opción estándar es ${\displaystyle l^{\mu }}$ ${\displaystyle n^{\mu }}$ ${\displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$

${\displaystyle m^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {\theta }}+i{\hat {\phi }}\right)^{\mu }\ .}$

El conjugado complejo de este vector forma entonces el cuarto elemento de la tétrada.

Se utilizan dos conjuntos de convenciones de firma y normalización para el formalismo NP: y . El primero es el original que se adoptó cuando se desarrolló el formalismo NP ^{[1] [2]} y se ha utilizado ampliamente ^{[6] [7]} en física de agujeros negros, ondas gravitacionales y varias otras áreas de la relatividad general. Sin embargo, es la última convención la que se emplea habitualmente en el estudio contemporáneo de los agujeros negros desde perspectivas cuasilocales ^[8] (como horizontes aislados ^[9] y horizontes dinámicos ^{[10] [11]} ). En este artículo, utilizaremos para una revisión sistemática del formalismo NP (ver también las referencias ^{[12] [13] [14]} ). ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

Es importante tener en cuenta que, al cambiar de a , las definiciones de los coeficientes de espín, los escalares NP de Weyl y los escalares NP de Ricci deben cambiar sus signos; de esta manera, las ecuaciones de Einstein-Maxwell pueden dejarse sin cambios. ${\displaystyle \{(+,-,-,-)\,,l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+)\,,l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

En el formalismo NP, la tétrada nula compleja contiene dos (co)vectores nulos reales y dos (co)vectores nulos complejos . Al ser (co)vectores nulos , la autonormalización de desaparece naturalmente. ${\displaystyle \{\ell \,,n\}}$ ${\displaystyle \{m\,,{\bar {m}}\}}$ ${\displaystyle \{\ell \,,n\}}$

${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0}$,

Por lo tanto, se adoptan los dos pares siguientes de normalización cruzada

${\displaystyle l_{a}n^{a}=-1=l^{a}n_{a}\,,\quad m_{a}{\bar {m}}^{a}=1=m^{a}{\bar {m}}_{a}\,,}$

Mientras que las contracciones entre los dos pares también están desapareciendo,

${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0}$.

Aquí los índices se pueden aumentar y disminuir mediante la métrica global que a su vez se puede obtener mediante ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}\,,\quad g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.}$

Cantidades NP y ecuaciones de tétrada

Cuatro operadores derivados covariantes

De acuerdo con la práctica del formalismo de utilizar símbolos distintos no indexados para cada componente de un objeto, el operador de derivada covariante se expresa utilizando cuatro símbolos separados ( ) que nombran un operador de derivada covariante direccional para cada dirección de la tétrada. Dada una combinación lineal de vectores de tétrada, , el operador de derivada covariante en la dirección es . ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle D,\Delta ,\delta ,{\bar {\delta }}}$ ${\displaystyle X^{a}=\mathrm {a} l^{a}+\mathrm {b} n^{a}+\mathrm {c} m^{a}+\mathrm {d} {\bar {m}}^{a}}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{X}=X^{a}\nabla _{a}=(\mathrm {a} D+\mathrm {b} \Delta +\mathrm {c} \delta +\mathrm {d} {\bar {\delta }})}$

Los operadores se definen como
${\displaystyle D:=\nabla _{\boldsymbol {l}}=l^{a}\nabla _{a}\,,\;\Delta :=\nabla _{\boldsymbol {n}}=n^{a}\nabla _{a}\,,}$
${\displaystyle \delta :=\nabla _{\boldsymbol {m}}=m^{a}\nabla _{a}\,,\;{\bar {\delta }}:=\nabla _{\boldsymbol {\bar {m}}}={\bar {m}}^{a}\nabla _{a}\,,}$

que se reducen a cuando actúan sobre funciones escalares . ${\displaystyle D=l^{a}\partial _{a}\,,\Delta =n^{a}\partial _{a}\,,\delta =m^{a}\partial _{a}\,,{\bar {\delta }}={\bar {m}}^{a}\partial _{a}}$

Doce coeficientes de espín

En el formalismo NP, en lugar de utilizar notaciones de índice como en las tétradas ortogonales, a cada coeficiente de rotación de Ricci en la tétrada nula se le asigna una letra griega minúscula, que constituye los 12 coeficientes de espín complejos (en tres grupos), ${\displaystyle \gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \kappa :=-m^{a}Dl_{a}=-m^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,\quad \tau :=-m^{a}\Delta l_{a}=-m^{a}n^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,}$
${\displaystyle \sigma :=-m^{a}\delta l_{a}=-m^{a}m^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,\quad \rho :=-m^{a}{\bar {\delta }}l_{a}=-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a}\,;}$

${\displaystyle \pi :={\bar {m}}^{a}Dn_{a}={\bar {m}}^{a}l^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,\quad \nu :={\bar {m}}^{a}\Delta n_{a}={\bar {m}}^{a}n^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,}$
${\displaystyle \mu :={\bar {m}}^{a}\delta n_{a}={\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,\quad \lambda :={\bar {m}}^{a}{\bar {\delta }}n_{a}={\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}n_{a}\,;}$

${\displaystyle \varepsilon :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}Dl_{a}-{\bar {m}}^{a}Dm_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}l^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \gamma :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}\Delta l_{a}-{\bar {m}}^{a}\Delta m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}n^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}n^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \beta :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}\delta l_{a}-{\bar {m}}^{a}\delta m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}m^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \alpha :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}{\bar {\delta }}l_{a}-{\bar {m}}^{a}{\bar {\delta }}m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,.}$

Los coeficientes de espín son las magnitudes principales del formalismo NP, con las que se podrían calcular indirectamente todas las demás magnitudes NP (tal como se definen a continuación) utilizando las ecuaciones de campo NP. Por lo tanto, el formalismo NP a veces también se denomina formalismo de coeficientes de espín .

Ecuaciones de transporte: derivadas covariantes de vectores de tétradas

Las dieciséis derivadas covariantes direccionales de los vectores de tétrada a veces se denominan ecuaciones de transporte/propagación, ^{[ cita requerida ]} quizás porque las derivadas son cero cuando el vector de tétrada se propaga o transporta en paralelo en la dirección del operador derivada.

O'Donnell da estos resultados en esta notación exacta: ^{[5] : 57–58(3.220)}
${\displaystyle Dl^{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l^{a}-{\bar {\kappa }}m^{a}-\kappa {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta l^{a}=(\gamma +{\bar {\gamma }})l^{a}-{\bar {\tau }}m^{a}-\tau {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta l^{a}=({\bar {\alpha }}+\beta )l^{a}-{\bar {\rho }}m^{a}-\sigma {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}l^{a}=(\alpha +{\bar {\beta }})l^{a}-{\bar {\sigma }}m^{a}-\rho {\bar {m}}^{a}\,;}$

${\displaystyle Dn^{a}=\pi m^{a}+{\bar {\pi }}{\bar {m}}^{a}-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta n^{a}=\nu m^{a}+{\bar {\nu }}{\bar {m}}^{a}-(\gamma +{\bar {\gamma }})n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta n^{a}=\mu m^{a}+{\bar {\lambda }}{\bar {m}}^{a}-({\bar {\alpha }}+\beta )n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}n^{a}=\lambda m^{a}+{\bar {\mu }}{\bar {m}}^{a}-(\alpha +{\bar {\beta }})n^{a}\,;}$

${\displaystyle Dm^{a}=(\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})m^{a}+{\bar {\pi }}l^{a}-\kappa n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta m^{a}=(\gamma -{\bar {\gamma }})m^{a}+{\bar {\nu }}l^{a}-\tau n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta m^{a}=(\beta -{\bar {\alpha }})m^{a}+{\bar {\lambda }}l^{a}-\sigma n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}m^{a}=(\alpha -{\bar {\beta }})m^{a}+{\bar {\mu }}l^{a}-\rho n^{a}\,;}$

${\displaystyle D{\bar {m}}^{a}=({\bar {\varepsilon }}-\varepsilon ){\bar {m}}^{a}+\pi l^{a}-{\bar {\kappa }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\gamma }}-\gamma ){\bar {m}}^{a}+\nu l^{a}-{\bar {\tau }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {m}}^{a}+\mu l^{a}-{\bar {\rho }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}{\bar {m}}^{a}=({\bar {\beta }}-\alpha ){\bar {m}}^{a}+\lambda l^{a}-{\bar {\sigma }}n^{a}\,.}$

Interpretación de ${\displaystyle \kappa ,\varepsilon ,\nu ,\gamma }$de ${\displaystyle Dl^{a}}$y ${\displaystyle \Delta n^{a}}$

Las dos ecuaciones para la derivada covariante de un vector de tétrada nula real en su propia dirección indican si el vector es o no tangente a una geodésica y, de ser así, si la geodésica tiene un parámetro afín.

Un vector tangente nulo es tangente a una geodésica nula parametrizada afínmente si , es decir, si el vector no cambia por propagación paralela o transporte en su propia dirección. ^{[15] : 41(3.3.1)} ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle T^{b}\nabla _{b}T^{a}=0}$

${\displaystyle Dl^{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l^{a}-{\bar {\kappa }}m^{a}-\kappa {\bar {m}}^{a}}$muestra que es tangente a una geodésica si y solo si , y es tangente a una geodésica parametrizada afínmente si además . De manera similar, muestra que es geodésica si y solo si , y tiene parametrización afín cuando . ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle (\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})=0}$ ${\displaystyle \Delta n^{a}=\nu m^{a}+{\bar {\nu }}{\bar {m}}^{a}-(\gamma +{\bar {\gamma }})n^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle (\gamma +{\bar {\gamma }})=0}$

(Los vectores de tétrada nula complejos tendrían que separarse en los vectores base espaciales y antes de preguntar si alguno o ambos son tangentes a las geodésicas espaciales). ${\displaystyle m^{a}=x^{a}+iy^{a}}$ ${\displaystyle {\bar {m}}^{a}=x^{a}-iy^{a}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle y^{a}}$

Conmutadores

La compatibilidad métrica o la ausencia de torsión de la derivada covariante se reformula en los conmutadores de las derivadas direccionales ,

${\displaystyle \Delta D-D\Delta =(\gamma +{\bar {\gamma }})D+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\Delta -({\bar {\tau }}+\pi )\delta -(\tau +{\bar {\pi }}){\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle \delta D-D\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa \Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle \delta \Delta -\Delta \delta =-{\bar {\nu }}D+(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\Delta +(\mu -\gamma +{\bar {\gamma }})\delta +{\bar {\lambda }}{\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta +(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

lo que implica que

${\displaystyle \Delta l^{a}-Dn^{a}=(\gamma +{\bar {\gamma }})l^{a}+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})n^{a}-({\bar {\tau }}+\pi )m^{a}-(\tau +{\bar {\pi }}){\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta l^{a}-Dm^{a}=({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})l^{a}+\kappa n^{a}-({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})m^{a}-\sigma {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta n^{a}-\Delta m^{a}=-{\bar {\nu }}l^{a}+(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )n^{a}+(\mu -\gamma +{\bar {\gamma }})m^{a}+{\bar {\lambda }}{\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}m^{a}-\delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\mu }}-\mu )l^{a}+({\bar {\rho }}-\rho )n^{a}+(\alpha -{\bar {\beta }})m^{a}-({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {m}}^{a}\,.}$

Nota: (i) Las ecuaciones anteriores pueden considerarse como implicaciones de los conmutadores o combinaciones de las ecuaciones de transporte; (ii) En estas ecuaciones implícitas, los vectores pueden reemplazarse por los covectores y las ecuaciones siguen siendo válidas. ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$

Escalares Weyl–NP y Ricci–NP

Los 10 componentes independientes del tensor de Weyl se pueden codificar en 5 escalares Weyl-NP complejos ,

${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c}m^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c}m^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{2}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}{\bar {m}}^{c}n^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{3}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}{\bar {m}}^{c}n^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{4}:=C_{abcd}n^{a}{\bar {m}}^{b}n^{c}{\bar {m}}^{d}\,.}$

Los 10 componentes independientes del tensor de Ricci se codifican en 4 escalares reales , , y 3 escalares complejos (con sus conjugados complejos), ${\displaystyle \{\Phi _{00}}$ ${\displaystyle \Phi _{11}}$ ${\displaystyle \Phi _{22}}$ ${\displaystyle \Lambda \}}$ ${\displaystyle \{\Phi _{10},\Phi _{20},\Phi _{21}\}}$

${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;}$

${\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi _{01}}}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi _{02}}}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi _{12}}}\,.}$

En estas definiciones, podría reemplazarse por su parte libre de trazas ^[13] o por el tensor de Einstein debido a las relaciones de normalización. Además, se reduce a para el electrovacío ( ). ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle \displaystyle Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle \displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle \Phi _{11}}$ ${\displaystyle \Phi _{11}={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}}$ ${\displaystyle \Lambda =0}$

Ecuaciones de Einstein-Maxwell-NP

Ecuaciones de campo NP

En una tétrada nula compleja, las identidades de Ricci dan lugar a las siguientes ecuaciones de campo NP que conectan coeficientes de espín, escalares Weyl-NP y Ricci-NP (recuerde que en una tétrada ortogonal, los coeficientes de rotación de Ricci respetarían las ecuaciones de estructura primera y segunda de Cartan ), ^{[5] [13]}

Estas ecuaciones en diversas notaciones se pueden encontrar en varios textos. ^{[3] : 46–47(310(a)-(r))  [13] : 671–672(E.12)} La notación en Frolov y Novikov ^[13] es idéntica.
${\displaystyle D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho -{\bar {\kappa }}\tau -\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )+\Phi _{00}\,,}$
${\displaystyle D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,,}$
${\displaystyle D\tau -\Delta \kappa =(\tau +{\bar {\pi }})\rho +({\bar {\tau }}+\pi )\sigma +(\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\tau -(3\gamma +{\bar {\gamma }})\kappa +\Psi _{1}+\Phi _{01}\,,}$
${\displaystyle D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon =(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha +\beta {\bar {\sigma }}-{\bar {\beta }}\varepsilon -\kappa \lambda -{\bar {\kappa }}\gamma +(\varepsilon +\rho )\pi +\Phi _{10}\,,}$
${\displaystyle D\beta -\delta \varepsilon =(\alpha +\pi )\sigma +({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta -(\mu +\gamma )\kappa -({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon +\Psi _{1}\,,}$
${\displaystyle D\gamma -\Delta \varepsilon =(\tau +{\bar {\pi }})\alpha +({\bar {\tau }}+\pi )\beta -(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon +\tau \pi -\nu \kappa +\Psi _{2}+\Phi _{11}-\Lambda \,,}$
${\displaystyle D\lambda -{\bar {\delta }}\pi =(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )+\pi ^{2}+(\alpha -{\bar {\beta }})\pi -\nu {\bar {\kappa }}-(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda +\Phi _{20}\,,}$
${\displaystyle D\mu -\delta \pi =({\bar {\rho }}\mu +\sigma \lambda )+\pi {\bar {\pi }}-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\mu -({\bar {\alpha }}-\beta )\pi -\nu \kappa +\Psi _{2}+2\Lambda \,,}$
${\displaystyle D\nu -\Delta \pi =(\pi +{\bar {\tau }})\mu +({\bar {\pi }}+\tau )\lambda +(\gamma -{\bar {\gamma }})\pi -(3\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\nu +\Psi _{3}+\Phi _{21}\,,}$
${\displaystyle \Delta \lambda -{\bar {\delta }}\nu =-(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu -\Psi _{4}\,,}$
${\displaystyle \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta )-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{01}\,,}$
${\displaystyle \delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta =(\mu \rho -\lambda \sigma )+\alpha {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\beta }}-2\alpha \beta +\gamma (\rho -{\bar {\rho }})+\varepsilon (\mu -{\bar {\mu }})-\Psi _{2}+\Phi _{11}+\Lambda \,,}$
${\displaystyle \delta \lambda -{\bar {\delta }}\mu =(\rho -{\bar {\rho }})\nu +(\mu -{\bar {\mu }})\pi +(\alpha +{\bar {\beta }})\mu +({\bar {\alpha }}-3\beta )\lambda -\Psi _{3}+\Phi _{21}\,,}$
${\displaystyle \delta \nu -\Delta \mu =(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})+(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu -{\bar {\nu }}\pi +(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu +\Phi _{22}\,,}$
${\displaystyle \delta \gamma -\Delta \beta =(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma +\mu \tau -\sigma \nu -\varepsilon {\bar {\nu }}-(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta +\alpha {\bar {\lambda }}+\Phi _{12}\,,}$
${\displaystyle \delta \tau -\Delta \sigma =(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )+(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma -\kappa {\bar {\nu }}+\Phi _{02}\,,}$
${\displaystyle \Delta \rho -{\bar {\delta }}\tau =-(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -\Psi _{2}-2\Lambda \,,}$
${\displaystyle \Delta \alpha -{\bar {\delta }}\gamma =(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma -\Psi _{3}\,.}$

Además, los escalares Weyl-NP y los escalares Ricci-NP se pueden calcular indirectamente a partir de las ecuaciones de campo NP anteriores después de obtener los coeficientes de espín en lugar de utilizar directamente sus definiciones. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

Escalares de Maxwell-NP, ecuaciones de Maxwell en el formalismo NP

Los seis componentes independientes de la forma 2 de Faraday-Maxwell (es decir, el tensor de intensidad del campo electromagnético ) se pueden codificar en tres escalares Maxwell-NP complejos ^[12] ${\displaystyle F_{ab}}$

${\displaystyle \phi _{0}:=F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:={\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}\,,}$

y por lo tanto las ocho ecuaciones reales de Maxwell y (como ) se pueden transformar en cuatro ecuaciones complejas, ${\displaystyle d\mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle d^{\star }\mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =dA}$

${\displaystyle D\phi _{1}-{\bar {\delta }}\phi _{0}=(\pi -2\alpha )\phi _{0}+2\rho \phi _{1}-\kappa \phi _{2}\,,}$
${\displaystyle D\phi _{2}-{\bar {\delta }}\phi _{1}=-\lambda \phi _{0}+2\pi \phi _{1}+(\rho -2\varepsilon )\phi _{2}\,,}$
${\displaystyle \Delta \phi _{0}-\delta \phi _{1}=(2\gamma -\mu )\phi _{0}-2\tau \phi _{1}+\sigma \phi _{2}\,,}$
${\displaystyle \Delta \phi _{1}-\delta \phi _{2}=\nu \phi _{0}-2\mu \phi _{1}+(2\beta -\tau )\phi _{2}\,,}$

con los escalares Ricci-NP relacionados con los escalares Maxwell por ^[12] ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,.}$

Vale la pena señalar que la ecuación suplementaria sólo es válida para campos electromagnéticos; por ejemplo, en el caso de los campos de Yang-Mills habrá donde son escalares Yang-Mills-NP. ^[16] ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})}$ ${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})}$

En resumen, las ecuaciones de transporte mencionadas anteriormente, las ecuaciones de campo NP y las ecuaciones de Maxwell-NP juntas constituyen las ecuaciones de Einstein-Maxwell en el formalismo de Newman-Penrose.

Aplicaciones del formalismo NP al campo de radiación gravitacional

El escalar de Weyl fue definido por Newman y Penrose como ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}=-C_{\alpha \beta \gamma \delta }n^{\alpha }{\bar {m}}^{\beta }n^{\gamma }{\bar {m}}^{\delta }}$

(nótese, sin embargo, que el signo general es arbitrario y que Newman y Penrose trabajaron con una firma métrica "temporal" de ). En el espacio vacío, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a . A partir de la definición del tensor de Weyl, vemos que esto significa que es igual al tensor de Riemann , . Podemos hacer la elección estándar para la tétrada en el infinito: ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta }=0}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta \gamma \delta }=R_{\alpha \beta \gamma \delta }}$

${\displaystyle l^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {t}}+{\hat {r}}\right)\ ,}$

${\displaystyle n^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {t}}-{\hat {r}}\right)\ ,}$

${\displaystyle m^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {\theta }}+i{\hat {\phi }}\right)\ .}$

En el calibre transversal sin trazas, un cálculo simple muestra que las ondas gravitacionales linealizadas están relacionadas con los componentes del tensor de Riemann como

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)=-R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\theta }}}=-R_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=R_{{\hat {r}}{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}\ ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}\ ,}$

Suponiendo que la propagación se produce en la dirección. Combinando estos elementos y utilizando la definición anterior, podemos escribir ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .}$

Lejos de una fuente, en un espacio casi plano, los campos y codifican todo lo relacionado con la radiación gravitatoria que se propaga en una dirección determinada. Así, vemos que codifica en un único campo complejo todo lo relacionado con las ondas gravitacionales (salientes). ${\displaystyle h_{+}}$ ${\displaystyle h_{\times }}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Radiación de una fuente finita

Utilizando el formalismo de generación de ondas resumido por Thorne, ^{[17] podemos escribir el campo de radiación de forma bastante compacta en términos de los} armónicos esféricos ponderados por espín , multipolo de masa y multipolo de corriente :

${\displaystyle \Psi _{4}(t,r,\theta ,\phi )=-{\frac {1}{r{\sqrt {2}}}}\sum _{l=2}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left[{}^{(l+2)}I^{lm}(t-r)-i\ {}^{(l+2)}S^{lm}(t-r)\right]{}_{-2}Y_{lm}(\theta ,\phi )\ .}$

Aquí, los superíndices prefijados indican derivadas temporales. Es decir, definimos

${\displaystyle {}^{(l)}G(t)=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{l}G(t)\ .}$

Los componentes y son los multipolos de masa y corriente, respectivamente. es el armónico esférico de peso de espín -2. ${\displaystyle I^{lm}}$ ${\displaystyle S^{lm}}$ ${\displaystyle {}_{-2}Y_{lm}}$

Véase también

• Coordenadas del cono de luz
• Formalismo GHP
• Formalismo de tétrada
• Teorema de Goldberg-Sachs

Referencias

1. Ezra T. Newman y Roger Penrose (1962). "Una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de espín". Revista de física matemática . 3 (3): 566–768. Bibcode :1962JMP.....3..566N. doi :10.1063/1.1724257. El artículo original de Newman y Penrose, que introduce el formalismo y lo utiliza para derivar resultados de ejemplo.
2. Ezra T Newman, Roger Penrose. Erratas: Un enfoque de la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de espín . Journal of Mathematical Physics, 1963, 4 (7): 998.
3. Chandrasekhar, S. (1998). La teoría matemática de los agujeros negros (Oxford Classics Series ed.). Oxford University Press. pág. 40. ISBN 0-19850370-9. Recuperado el 31 de mayo de 2019. El formalismo de Newman-Penrose es un formalismo de tétrada con una elección especial de los vectores base.
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• Wald, Robert (1984). Relatividad general . University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.Wald trata la versión más sucinta del formalismo Newman-Penrose en términos de una notación de espinor más moderna.
• SW Hawking y GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge University Press . ISBN 0-226-87033-2.Hawking y Ellis utilizan el formalismo en su discusión del estado final de una estrella en colapso.

Enlaces externos

• Formalismo de Newman-Penrose en Scholarpedia