Ecuación de tres ondas

En sistemas no lineales , las ecuaciones de tres ondas , a veces llamadas ecuaciones de interacción resonante de tres ondas o resonancias de tríada , describen ondas de pequeña amplitud en una variedad de medios no lineales, incluidos circuitos eléctricos y óptica no lineal . Son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales completamente integrables . Debido a que proporcionan el ejemplo más simple y directo de una interacción resonante , tienen una amplia aplicabilidad en las ciencias y son completamente integrables, se han estudiado intensivamente desde la década de 1970. ^[1]

Introducción informal

La ecuación de tres ondas surge al considerar algunos de los sistemas no lineales más simples imaginables . Los sistemas diferenciales lineales tienen la forma genérica

${\displaystyle D\psi =\lambda \psi }$

para algún operador diferencial D . La extensión no lineal más simple de esto es escribir

${\displaystyle D\psi -\lambda \psi =\varepsilon \psi ^{2}.}$

¿Cómo se puede resolver esto? Hay varios enfoques disponibles. En algunos casos excepcionales, puede haber soluciones exactas conocidas para ecuaciones de esta forma. En general, estas se encuentran de alguna manera ad hoc después de aplicar algún ansatz . Un segundo enfoque es suponer que y utilizar la teoría de perturbaciones para encontrar "correcciones" a la teoría linealizada. Un tercer enfoque es aplicar técnicas de la teoría de la matriz de dispersión ( S-matrix ). ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

En el enfoque de la matriz S, se consideran partículas u ondas planas que llegan desde el infinito, interactúan y luego se mueven hacia el infinito. Contando desde cero, el caso de cero partículas corresponde al vacío , que consiste enteramente en el fondo. El caso de una partícula es una onda que llega desde el pasado distante y luego desaparece en el aire; esto puede suceder cuando el fondo es absorbente, amortiguador o disipativo . Alternativamente, una onda aparece de la nada y se aleja. Esto ocurre cuando el fondo es inestable y genera ondas: se dice que el sistema " irradia ". El caso de dos partículas consiste en una partícula que entra y luego sale. Esto es apropiado cuando el fondo no es uniforme: por ejemplo, una onda acústica plana entra, se dispersa desde un submarino enemigo y luego se mueve hacia el infinito; mediante un análisis cuidadoso de la onda saliente, se pueden deducir las características de la falta de homogeneidad espacial. Hay dos posibilidades más: creación de pares y aniquilación de pares . En este caso, un par de ondas se crean "de la nada" (al interactuar con algún fondo) o desaparecen en el aire.

El siguiente paso en este sentido es la interacción de tres partículas. Es única, ya que no requiere ningún fondo interactivo ni vacío, ni es "aburrida" en el sentido de una onda plana no interactiva en un fondo homogéneo. Escribiendo para estas tres ondas que se mueven desde/hacia el infinito, esta interacción cuadrática más simple toma la forma de ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}}$

${\displaystyle (D-\lambda )\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

y permutaciones cíclicas de la misma. Esta forma genérica puede denominarse ecuación de tres ondas ; a continuación se presenta una forma específica. Un punto clave es que todas las interacciones resonantes cuadráticas pueden escribirse en esta forma (dadas las suposiciones apropiadas). Para sistemas que varían con el tiempo donde puede interpretarse como energía , se puede escribir ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (D-i\partial /\partial t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

para una versión dependiente del tiempo.

Revisar

Formalmente, la ecuación de tres ondas es

${\displaystyle {\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

donde cíclico, es la velocidad de grupo para la onda que tiene como vector de onda y frecuencia angular , y el gradiente , tomados en el espacio euclidiano plano en n dimensiones. Los son los coeficientes de interacción; al reescalar la onda, pueden tomarse . Por permutación cíclica, hay cuatro clases de soluciones. Escribiendo uno tiene . Los son todos equivalentes bajo permutación. En 1+1 dimensiones, hay tres soluciones distintas: las soluciones, denominadas explosivas ; los casos, denominados retrodispersión estimulada , y el caso, denominado intercambio de solitones . Estos corresponden a procesos físicos muy distintos. ^{[2] [3]} Una solución interesante se denomina simultón, que consiste en tres solitones comóviles, que se mueven a una velocidad v que difiere de cualquiera de las tres velocidades de grupo . Esta solución tiene una posible relación con las "tres hermanas" observadas en las olas rebeldes , aunque el agua profunda no tiene una interacción resonante de tres ondas. ${\displaystyle j,\ell ,m=1,2,3}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}_{j},\omega _{j}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta _{j}}$ ${\displaystyle \eta _{j}=\pm 1}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}}$ ${\displaystyle \eta =\pm 1}$ ${\displaystyle \eta =-1}$ ${\displaystyle \eta =+1}$ ${\displaystyle +++}$ ${\displaystyle --+}$ ${\displaystyle -+-}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$

Las notas de la conferencia de Harvey Segur proporcionan una introducción. ^[4]

Las ecuaciones tienen un par Lax y, por lo tanto, son completamente integrables . ^{[1] [5]} El par Lax es un par de matrices 3x3, al que se puede aplicar el método de dispersión inversa , utilizando técnicas de Fokas . ^{[6] [7]} Se conoce la clase de soluciones espacialmente uniformes, que se dan mediante la función ℘ elíptica de Weierstrass . ^[8] Las relaciones de interacción resonante se denominan en este caso relaciones de Manley-Rowe ; los invariantes que describen se relacionan fácilmente con los invariantes modulares y ^[9] Que aparezcan quizás no sea del todo sorprendente, ya que hay un argumento intuitivo simple. Restando un vector de onda de los otros dos, uno queda con dos vectores que generan una red de períodos . Todas las posibles posiciones relativas de dos vectores están dadas por el j-invariante de Klein , por lo que uno debería esperar que las soluciones se caractericen por esto. ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}.}$

Se conocen diversas soluciones exactas para diversas condiciones de contorno. ^[10] Recientemente se ha dado una "solución casi general" para la ecuación diferencial parcial no lineal completa para la ecuación de tres ondas. Se expresa en términos de cinco funciones que se pueden elegir libremente y una serie de Laurent para el sexto parámetro. ^{[8] [9]}

Aplicaciones

Algunas aplicaciones seleccionadas de las ecuaciones de tres ondas incluyen:

• En óptica no lineal , se pueden crear láseres sintonizables que cubran un amplio espectro de frecuencias mediante una mezcla paramétrica de tres ondas en cristales no lineales cuadráticos ( ) . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$
• Ondas acústicas superficiales y en amplificadores paramétricos electrónicos .
• Las ondas de aguas profundas no tienen en sí mismas una interacción de tres ondas; sin embargo, esto se evita en múltiples escenarios:
  • Las ondas capilares de aguas profundas se describen mediante la ecuación de tres ondas. ^[4]
  • Las ondas acústicas se acoplan a las ondas de aguas profundas en una interacción de tres ondas, ^[11]
  • Las ondas de vorticidad se acoplan en una tríada.
  • Una corriente uniforme (necesariamente espacialmente no homogénea por la profundidad) tiene interacciones de tríada.

Todos estos casos se describen naturalmente mediante la ecuación de tres ondas.

• En la física del plasma , la ecuación de tres ondas describe el acoplamiento en los plasmas. ^[12]

Referencias

1. Zakharov, VE; Manakov, SV (1975). "Sobre la teoría de la interacción resonante de paquetes de ondas en medios no lineales" (PDF) . Física soviética JETP . 42 (5): 842–850.
2. Degasperis, A.; Conforti, M.; Baronio, F.; Wabnitz, S.; Lombardo, S. (2011). "Las ecuaciones de interacción resonante de tres ondas: métodos espectrales y numéricos" (PDF) . Cartas en física matemática . 96 (1–3): 367–403. Bibcode :2011LMaPh..96..367D. doi :10.1007/s11005-010-0430-4. S2CID  18846092.
3. Kaup, DJ; Reiman, A.; Bers, A. (1979). "Evolución espacio-temporal de interacciones no lineales de tres ondas. I. Interacción en un medio homogéneo". Reseñas de Física Moderna . 51 (2): 275–309. Bibcode :1979RvMP...51..275K. doi :10.1103/RevModPhys.51.275.
4. Segur, H.; Grisouard, N. (2009). "Conferencia 13: resonancias de tríadas (o de 3 ondas)" (PDF) . Dinámica de fluidos geofísicos . Institución Oceanográfica Woods Hole .
5. Zakharov, VE; Manakov, SV; Novikov, SP; Pitaevskii, LI (1984). Teoría de solitones: el método de dispersión inversa . Nueva York: Plenum Press . Bibcode :1984lcb..book.....N.
6. Fokas, AS; Ablowitz, MJ (1984). "Sobre la transformada de dispersión inversa de ecuaciones no lineales multidimensionales relacionadas con sistemas de primer orden en el plano". Journal of Mathematical Physics . 25 (8): 2494–2505. Bibcode :1984JMP....25.2494F. doi :10.1063/1.526471.
7. Lenells, J. (2012). "Problemas de valores iniciales en la frontera para ecuaciones de evolución integrables con pares Lax 3×3". Physica D . 241 (8): 857–875. arXiv : 1108.2875 . Código Bibliográfico :2012PhyD..241..857L. doi :10.1016/j.physd.2012.01.010. S2CID  119144977.
8. Martin, RA (2015). Hacia una solución general de las ecuaciones de interacción resonante de tres ondas (tesis). Universidad de Colorado .
9. Martin, RA; Segur, H. (2016). "Hacia una solución general de las ecuaciones diferenciales parciales de tres ondas". Estudios en Matemáticas Aplicadas . 137 : 70–92. doi : 10.1111/sapm.12133 .
10. Kaup, DJ (1980). "Un método para resolver el problema de valor inicial separable de la interacción tridimensional completa de tres ondas". Estudios en Matemáticas Aplicadas . 62 : 75–83. doi :10.1002/sapm198062175.
11. Kadri, U. (2015). "Resonancia de tríada en la familia acústica y gravitacional". Resúmenes de la reunión de otoño de la AGU . 2015 : OS11A–2006. Código Bibliográfico :2015AGUFMOS11A2006K. doi : 10.13140/RG.2.1.4283.1441 .
12. Kim, J.-H.; Terry, PW (2011). "Un modelo de acoplamiento de tres ondas autoconsistente con frecuencias lineales complejas". Física de plasmas . 18 (9): 092308. Bibcode :2011PhPl...18i2308K. doi :10.1063/1.3640807.