Lindbladiano

Ecuación maestra cuántica markoviana para matrices de densidad (estados mixtos)

En mecánica cuántica , la ecuación de Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad ( ecuación GKSL , llamada así por Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski , George Sudarshan y Göran Lindblad ), ecuación maestra en forma de Lindblad , liouvilliana cuántica o lindbladiana es una de las formas generales de ecuaciones maestras markovianas que describen sistemas cuánticos abiertos. Generaliza la ecuación de Schrödinger a sistemas cuánticos abiertos; es decir, sistemas en contacto con su entorno. La dinámica resultante ya no es unitaria, pero aún satisface la propiedad de preservar las trazas y ser completamente positiva para cualquier condición inicial. ^[1]

La ecuación de Schrödinger o, en realidad, la ecuación de von Neumann, es un caso especial de la ecuación GKSL, lo que ha llevado a algunas especulaciones de que la mecánica cuántica puede extenderse y expandirse productivamente a través de una mayor aplicación y análisis de la ecuación de Lindblad. ^[2] La ecuación de Schrödinger trata con vectores de estado , que solo pueden describir estados cuánticos puros y, por lo tanto, son menos generales que las matrices de densidad , que también pueden describir estados mixtos .

Motivación

En la formulación canónica de la mecánica cuántica, la evolución temporal de un sistema está regida por una dinámica unitaria. Esto implica que no hay decaimiento y que la coherencia de fase se mantiene durante todo el proceso, y es una consecuencia del hecho de que se consideran todos los grados de libertad participantes. Sin embargo, cualquier sistema físico real no está absolutamente aislado e interactuará con su entorno. Esta interacción con los grados de libertad externos al sistema da como resultado la disipación de energía en el entorno, lo que causa decaimiento y aleatorización de la fase. Más aún, comprender la interacción de un sistema cuántico con su entorno es necesario para comprender muchos fenómenos que se observan comúnmente, como la emisión espontánea de luz de átomos excitados o el rendimiento de muchos dispositivos tecnológicos cuánticos, como el láser.

Se han introducido ciertas técnicas matemáticas para tratar la interacción de un sistema cuántico con su entorno. Una de ellas es el uso de la matriz de densidad y su ecuación maestra asociada. Si bien en principio este enfoque para resolver la dinámica cuántica es equivalente a la imagen de Schrödinger o la imagen de Heisenberg , permite más fácilmente la inclusión de procesos incoherentes, que representan interacciones ambientales. El operador de densidad tiene la propiedad de que puede representar una mezcla clásica de estados cuánticos y, por lo tanto, es vital para describir con precisión la dinámica de los llamados sistemas cuánticos abiertos.

Definición

Forma diagonal

La ecuación maestra de Lindblad para la matriz de densidad del sistema ρ se puede escribir como ^[1] (para una introducción pedagógica puede consultar ^[3] )

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$

¿Dónde está el anticonmutador ? ${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$

${\displaystyle H}$es el sistema hamiltoniano , que describe los aspectos unitarios de la dinámica.

${\displaystyle \{L_{i}\}_{i}}$son un conjunto de operadores de salto que describen la parte disipativa de la dinámica. La forma de los operadores de salto describe cómo actúa el entorno sobre el sistema y debe determinarse a partir de modelos microscópicos de la dinámica sistema-entorno o modelarse fenomenológicamente .

${\displaystyle \gamma _{i}\geq 0}$son un conjunto de coeficientes reales no negativos llamados tasas de amortiguamiento . Si se recupera la ecuación de von Neumann que describe la dinámica unitaria, que es el análogo cuántico de la ecuación clásica de Liouville . ${\displaystyle \gamma _{i}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]}$

La ecuación completa se puede escribir en forma de superoperador : que se asemeja a la ecuación clásica de Liouville . Por esta razón, el superoperador se denomina superoperador lindbladiano o superoperador liouvilliano . ^[3] $${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {L}}(\rho )}$$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Forma general

De manera más general, la ecuación GKSL tiene la forma

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)}$

donde son operadores arbitrarios y h es una matriz semidefinida positiva . Esto último es un requisito estricto para asegurar que la dinámica preserve las trazas y sea completamente positiva. El número de operadores es arbitrario y no tienen que satisfacer ninguna propiedad especial. Pero si el sistema es -dimensional, se puede demostrar ^[1] que la ecuación maestra puede describirse completamente mediante un conjunto de operadores, siempre que formen una base para el espacio de operadores. ${\displaystyle \{A_{m}\}}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{2}-1}$

La forma general no es en realidad más general y puede reducirse a la forma especial. Como la matriz h es semidefinida positiva, puede diagonalizarse con una transformación unitaria u :

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

donde los valores propios γ _i no son negativos. Si definimos otra base de operador ortonormal

${\displaystyle L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}}$

Esto reduce la ecuación maestra a la misma forma que antes: $${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$$

Semigrupo dinámico cuántico

Los mapas generados por un Lindbladiano para varios tiempos se denominan colectivamente semigrupo dinámico cuántico , una familia de mapas dinámicos cuánticos en el espacio de matrices de densidad indexadas por un único parámetro de tiempo que obedecen a la propiedad del semigrupo. ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

La ecuación de Lindblad se puede obtener mediante

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}}$

que, por la linealidad de , es un superoperador lineal. El semigrupo se puede recuperar como ${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).}$

Propiedades de invariancia

La ecuación de Lindblad es invariante bajo cualquier transformación unitaria v de operadores y constantes de Lindblad,

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},}$

y también bajo la transformación no homogénea

${\displaystyle L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,}$

donde a _i son números complejos y b es un número real. Sin embargo, la primera transformación destruye la ortonormalidad de los operadores L _i (a menos que todos los γ _i sean iguales) y la segunda transformación destruye la ausencia de traza. Por lo tanto, salvo degeneraciones entre los γ _i , los L _i de la forma diagonal de la ecuación de Lindblad están determinados únicamente por la dinámica siempre que exijamos que sean ortonormales y sin traza.

Imagen de Heisenberg

La evolución de tipo Lindblad de la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger se puede describir de manera equivalente en la imagen de Heisenberg utilizando la siguiente ecuación de movimiento (diagonalizada) ^[4] para cada observable cuántico X :

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).}$

Una ecuación similar describe la evolución temporal de los valores esperados de los observables, dada por el teorema de Ehrenfest . En correspondencia con la propiedad de conservación de trazas de la ecuación de Lindblad de la imagen de Schrödinger, la ecuación de la imagen de Heisenberg es unital , es decir, conserva el operador identidad.

Derivación física

La ecuación maestra de Lindblad describe la evolución de varios tipos de sistemas cuánticos abiertos, por ejemplo, un sistema débilmente acoplado a un reservorio markoviano. ^[1] Nótese que la H que aparece en la ecuación no es necesariamente igual al hamiltoniano del sistema desnudo, sino que también puede incorporar dinámicas unitarias efectivas que surgen de la interacción sistema-entorno.

Una derivación heurística, por ejemplo , en las notas de Preskill , ^[5] comienza con una forma más general de un sistema cuántico abierto y lo convierte en forma Lindblad haciendo la suposición markoviana y expandiéndose en tiempo pequeño. Un tratamiento estándar con más motivación física ^{[6] [7]} cubre tres tipos comunes de derivaciones del Lindbladiano a partir de un hamiltoniano que actúa tanto sobre el sistema como sobre el entorno: el límite de acoplamiento débil (descrito en detalle a continuación), la aproximación de baja densidad y el límite de acoplamiento singular. Cada uno de estos se basa en suposiciones físicas específicas con respecto, por ejemplo, a las funciones de correlación del entorno. Por ejemplo, en la derivación del límite de acoplamiento débil, uno normalmente asume que (a) las correlaciones del sistema con el entorno se desarrollan lentamente, (b) las excitaciones del entorno causadas por la descomposición del sistema rápidamente, y (c) los términos que oscilan rápidamente en comparación con la escala de tiempo del sistema de interés pueden descuidarse. Estas tres aproximaciones se denominan Born, Markov y onda rotatoria, respectivamente. ^[8]

La derivación del límite de acoplamiento débil supone un sistema cuántico con un número finito de grados de libertad acoplado a un baño que contiene un número infinito de grados de libertad. El sistema y el baño poseen cada uno un hamiltoniano escrito en términos de operadores que actúan solo en el subespacio respectivo del espacio de Hilbert total. Estos hamiltonianos gobiernan la dinámica interna del sistema y el baño desacoplados. Hay un tercer hamiltoniano que contiene productos de operadores del sistema y del baño, acoplando así el sistema y el baño. La forma más general de este hamiltoniano es

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

La dinámica de todo el sistema se puede describir mediante la ecuación de movimiento de Liouville, . Esta ecuación, que contiene un número infinito de grados de libertad, es imposible de resolver analíticamente excepto en casos muy particulares. Es más, bajo ciertas aproximaciones, no es necesario considerar los grados de libertad de baño, y se puede derivar una ecuación maestra efectiva en términos de la matriz de densidad del sistema, . El problema se puede analizar más fácilmente al pasar al panorama de interacción, definido por la transformación unitaria , donde es un operador arbitrario, y . Observe también que es el operador unitario total de todo el sistema. Es sencillo confirmar que la ecuación de Liouville se convierte en ${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$ ${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$ ${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

donde el hamiltoniano depende explícitamente del tiempo. Además, según la imagen de interacción, , donde . Esta ecuación se puede integrar directamente para obtener ${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$ ${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

Esta ecuación implícita se puede sustituir nuevamente en la ecuación de Liouville para obtener una ecuación diferenciointegral exacta. ${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

Procedemos con la derivación suponiendo que la interacción se inicia en , y en ese momento no hay correlaciones entre el sistema y el baño. Esto implica que la condición inicial es factorizable como , donde es el operador de densidad del baño inicialmente. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$

Al trazar sobre el baño los grados de libertad, , de la ecuación diferrointegral antes mencionada se obtiene ${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

Esta ecuación es exacta para la dinámica temporal de la matriz de densidad del sistema, pero requiere un conocimiento completo de la dinámica de los grados de libertad del baño. Una suposición simplificadora llamada aproximación de Born se basa en el tamaño del baño y la debilidad relativa del acoplamiento, es decir, el acoplamiento del sistema al baño no debería alterar significativamente los estados propios del baño. En este caso, la matriz de densidad completa se puede factorizar para todos los tiempos como . La ecuación maestra se convierte en ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

La ecuación ahora está explícita en los grados de libertad del sistema, pero es muy difícil de resolver. Una suposición final es la aproximación de Born-Markov de que la derivada temporal de la matriz de densidad depende solo de su estado actual y no de su estado pasado. Esta suposición es válida en dinámicas de baño rápidas, en las que las correlaciones dentro del baño se pierden extremadamente rápido y equivale a reemplazar en el lado derecho de la ecuación. ${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

Si se supone que el hamiltoniano de interacción tiene la forma

${\displaystyle H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}}$

Para los operadores de sistemas y los operadores de baños , entonces ... La ecuación maestra se convierte en ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

que puede ampliarse como

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]}$

Los valores esperados se refieren a los grados de libertad del baño. Suponiendo un rápido decaimiento de estas correlaciones (idealmente ), se logra la forma anterior del superoperador Lindblad L. ${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$ ${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$

Ejemplos

En el caso más simple, sólo hay un operador de salto y no hay evolución unitaria. En este caso, la ecuación de Lindblad es ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

Este caso se utiliza a menudo en óptica cuántica para modelar la absorción o emisión de fotones desde un depósito.

Para modelar tanto la absorción como la emisión, se necesitaría un operador de salto para cada una. Esto conduce a la ecuación de Lindblad más común que describe la amortiguación de un oscilador armónico cuántico (que representa, por ejemplo, una cavidad de Fabry-Perot ) acoplado a un baño térmico , con operadores de salto:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

Aquí está el número medio de excitaciones en el depósito que amortigua el oscilador y γ es la tasa de decaimiento. ${\displaystyle {\overline {n}}}$

Para modelar el oscilador armónico cuántico hamiltoniano con la frecuencia de los fotones, podemos añadir una evolución unitaria adicional: ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

Se pueden incluir operadores Lindblad adicionales para modelar diversas formas de desfase y relajación vibracional. Estos métodos se han incorporado a los métodos de propagación de matrices de densidad basadas en cuadrículas .

Véase también

• Ecuación maestra cuántica
• Ecuación de Redfield
• Sistema cuántico abierto
• Método del salto cuántico
• Teorema de Sokhotski-Plemelj § Función de Heitler

Referencias

1. Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, F. (2002). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Oxford University Press. ISBN 978-0-1985-2063-4.
2. Weinberg, Steven (2014). "Mecánica cuántica sin vectores de estado". Phys. Rev. A . 90 (4): 042102. arXiv : 1405.3483 . Código Bibliográfico :2014PhRvA..90d2102W. doi :10.1103/PhysRevA.90.042102. S2CID  53990012.
3. Manzano, Daniel (2020). "Una breve introducción a la ecuación maestra de Lindblad". AIP Advances . 10 (2): 025106. arXiv : 1906.04478 . Código Bibliográfico :2020AIPA...10b5106M. doi :10.1063/1.5115323. S2CID  184487806.
4. Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, Francesco (2007). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . p. 125. doi :10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001. ISBN 9780199213900.
5. Preskill, John. Apuntes de clase sobre computación cuántica, Ph219/CS219 (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de junio de 2020.
6. Alicki, Robert; Lendi, Karl (2007). Semigrupos dinámicos cuánticos y aplicaciones . Apuntes de clases de física. Vol. 717. Springer. doi :10.1007/3-540-70861-8. ISBN. 978-3-540-70860-5.
7. Carmichael, Howard . Un enfoque de sistemas abiertos para la óptica cuántica . Springer Verlag, 1991
8. Este párrafo fue adaptado de Albert, Victor V. (2018). "Lindbladianos con múltiples estados estacionarios: teoría y aplicaciones". arXiv : 1802.00010 [quant-ph].

• Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017). "Una breve historia de la ecuación GKLS". Open Systems & Information Dynamics . 24 (3). arXiv : 1710.05993 . Código Bibliográfico :2017OSID...2440001C. doi :10.1142/S1230161217400017. S2CID  90357.
• Kossakowski, A. (1972). "Sobre mecánica estadística cuántica de sistemas no hamiltonianos". Rep. Math. Phys . 3 (4): 247. Bibcode :1972RpMP....3..247K. doi :10.1016/0034-4877(72)90010-9.
• Belavin, AA; Zel'dovich, B. Ya.; Perelomov, AM; Popov, VS (1969). "Relajación de sistemas cuánticos con espectros equidistantes". JETP . 29 : 145. Código Bibliográfico :1969JETP...29..145B.
• Lindblad, G. (1976). "Sobre los generadores de semigrupos dinámicos cuánticos". Commun. Math. Phys . 48 (2): 119. Bibcode :1976CMaPh..48..119L. doi :10.1007/BF01608499. S2CID  55220796.
• Gorini, V.; Kossakowski, A.; Sudarshan, ECG (1976). "Semigrupos dinámicos completamente positivos de sistemas de nivel N". J. Math. Phys . 17 (5): 821. Bibcode :1976JMP....17..821G. doi :10.1063/1.522979.
• Banks, T.; Susskind, L.; Peskin, ME (1984). "Dificultades para la evolución de estados puros a estados mixtos". Física nuclear B . 244 (1): 125–134. Bibcode :1984NuPhB.244..125B. doi :10.1016/0550-3213(84)90184-6. OSTI  1447054.
• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Vólovich, IV (2002). Teoría cuántica y su límite estocástico . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0.
• Alicki, Robert (2002). "Invitación a los semigrupos dinámicos cuánticos". Dinámica de la disipación . Apuntes de clase en física. 597 : 239. arXiv : quant-ph/0205188 . Bibcode :2002LNP...597..239A. doi :10.1007/3-540-46122-1_10. ISBN: 978-3-540-44111-3.S2CID118089738  .​
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Semigrupos dinámicos cuánticos y aplicaciones . Berlín: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pillet, Claude-Alain (2006). Sistemas cuánticos abiertos II: el enfoque markoviano . Saltador. ISBN 978-3-5403-0992-5.
• Gardiner, CW; Zoller, Peter (2010). Ruido Cuántico . Serie Springer en Sinergética (3ª ed.). Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6.
• Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). Dinámica de la información y sistemas abiertos: enfoque clásico y cuántico . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.

• Tarasov, Vasily E. (2008). Mecánica cuántica de sistemas no hamiltonianos y disipativos . Ámsterdam, Boston, Londres, Nueva York: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• Pearle, P. (2012). "Derivación simple de la ecuación de Lindblad". Revista Europea de Física , 33 (4), 805.

Enlaces externos

• Caja de herramientas de óptica cuántica para Matlab
• Solucionador de salto cuántico (Monte Carlo) de QuTiP.
• QuantumOptics.jl la caja de herramientas de óptica cuántica en Julia.
• La ecuación maestra de Lindblad