Función sobreyectiva

En matemáticas , una función sobreyectiva (también conocida como sobreyección o función sobreyectiva / ˈ ɒ n . t uː / ) es una función $f$ tal que, para cada elemento $y$ del codominio de la función , existe al menos un elemento $x$ en el dominio de la función tal que $f (x) = y$ . En otras palabras, para una función $f : X \to Y$ , el codominio $Y$ es la imagen del dominio $X$ de la función . ^[1]^[2] No se requiere que $x$ sea único ; la función $f$ puede mapear uno o más elementos de $X$ al mismo elemento de $Y$ .

El término sobreyectivo y los términos relacionados inyectivo y biyectivo fueron introducidos por Nicolas Bourbaki , ^[3]^[4] un grupo de matemáticos principalmente franceses del siglo XX que, bajo este seudónimo, escribieron una serie de libros que presentaban una exposición de las matemáticas avanzadas modernas, a partir de 1935. La palabra francesa sur significa sobre o por encima de , y se relaciona con el hecho de que la imagen del dominio de una función sobreyectiva cubre completamente el codominio de la función.

Toda función induce una sobreyección restringiendo su codominio a la imagen de su dominio. Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha suponiendo el axioma de elección , y toda función con una inversa derecha es necesariamente una sobreyección. La composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva. Toda función puede descomponerse en una sobreyección y una inyección.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio . De manera equivalente, una función con dominio y codominio es sobreyectiva si para cada en existe al menos un en con . ^[1] Las sobreyecciones a veces se denotan con una flecha de dos puntas hacia la derecha ( U+ 21A0 ↠ FLECHA DE DOS PUNTAS HACIA LA DERECHA ), ^[5] como en . $f$ $X$ $Y$ $y$ $Y$ $x$ $X$ $f(x)=y$ $f\colon X\twoheadrightarrow Y$

Simbólicamente,

Si , entonces se dice que es sobreyectiva si

f\colon X\rightarrow Y

f

\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y

. ^[2]^[6]

Ejemplos

**Una función no sobreyectiva** del dominio X al codominio Y . El óvalo amarillo más pequeño dentro de Y es la imagen (también llamada rango ) de f . Esta función no es sobreyectiva, porque la imagen no llena todo el codominio. En otras palabras, Y se colorea en un proceso de dos pasos: primero, para cada x en X , el punto f ( x ) se colorea de amarillo; segundo, todos los demás puntos en Y , que no son amarillos, se colorean de azul. La función f sería sobreyectiva solo si no hubiera puntos azules.

Para cualquier conjunto X , la función identidad id _X sobre X es sobreyectiva.
La función $f : Z \to {0, 1}$ definida por f ( n ) = n mod 2 (es decir, los números enteros pares se asignan a 0 y los números enteros impares a 1) es sobreyectiva.
La función $f : R \to R$ definida por f ( x ) = 2 x + 1 es sobreyectiva (e incluso biyectiva ), porque para cada número real y , tenemos un x tal que f ( x ) = y : un x apropiado es ( y − 1)/2.
La función $f : R \to R$ definida por f ( x ) = x ³ − 3 x es sobreyectiva, porque la preimagen de cualquier número real y es el conjunto solución de la ecuación polinómica cúbica x ³ − 3 x − y = 0, y todo polinomio cúbico con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Sin embargo, esta función no es inyectiva (y, por lo tanto, no es biyectiva ), ya que, por ejemplo, la preimagen de y = 2 es { x = −1, x = 2}. (De hecho, la preimagen de esta función para cada y , −2 ≤ y ≤ 2 tiene más de un elemento).
La función $g : R \to R$ definida por g ( x ) = x ² no es sobreyectiva, ya que no existe ningún número real x tal que x ² = −1 . Sin embargo, la función $g : R \to R \geq0$ definida por $g (x) = x 2$ (con el codominio restringido) es sobreyectiva, ya que para cada y en el codominio real no negativo Y , existe al menos una x en el dominio real X tal que x ² = y .
La función logaritmo natural $ln : (0, +\infty) \to R$ es sobreyectiva e incluso biyectiva (se aplica desde el conjunto de los números reales positivos al conjunto de todos los números reales). Su inversa, la función exponencial , si se define con el conjunto de los números reales como dominio y codominio, no es sobreyectiva (ya que su rango es el conjunto de los números reales positivos).
La matriz exponencial no es sobreyectiva cuando se la considera como una función del espacio de todas las matrices n × n a sí misma. Sin embargo, se la suele definir como una función del espacio de todas las matrices n × n al grupo lineal general de grado n (es decir, el grupo de todas las matrices n × n invertibles ). Según esta definición, la matriz exponencial es sobreyectiva para matrices complejas, aunque sigue sin serlo para matrices reales.
La proyección de un producto cartesiano $A \times B$ a uno de sus factores es sobreyectiva, a menos que el otro factor esté vacío.
En un videojuego 3D, los vectores se proyectan sobre una pantalla plana 2D mediante una función sobreyectiva.

Propiedades

Una función es biyectiva si y sólo si es a la vez sobreyectiva e inyectiva .

Si (como se hace a menudo) una función se identifica con su gráfico , entonces la sobreyectividad no es una propiedad de la función en sí, sino más bien una propiedad de la función que se aplica . ^[7] Esto es, la función junto con su codominio. A diferencia de la inyectividad, la sobreyectividad no se puede leer a partir del gráfico de la función solo.

Sobreyecciones como funciones invertibles por la derecha

La función g : Y → X se dice que es una inversa derecha de la función f : X → Y si f ( g ( y )) = y para cada y en Y ( g puede ser deshecha por f ). En otras palabras, g es una inversa derecha de f si la composición f o g de g y f en ese orden es la función identidad en el dominio Y de g . La función g no necesita ser una inversa completa de f porque la composición en el otro orden, g o f , puede no ser la función identidad en el dominio X de f . En otras palabras, f puede deshacer o " revertir " g , pero no necesariamente puede ser revertida por ella.

Toda función con inversa derecha es necesariamente una sobreyección. La proposición de que toda función sobreyectiva tiene inversa derecha es equivalente al axioma de elección .

Si f : X → Y es sobreyectiva y B es un subconjunto de Y , entonces f ( f ⁻¹ ( B )) = B . Por lo tanto, B puede recuperarse a partir de su preimagen f ⁻¹ ( B ) .

Por ejemplo, en la primera ilustración de la galería, existe una función g tal que g ( C ) = 4. También existe una función f tal que f (4) = C . No importa que g no sea única (también funcionaría si g ( C ) fuera igual a 3); lo que importa es que f "invierte" g .

Sobreyecciones como epimorfismos

Una función f : X → Y es sobreyectiva si y solo si es cancelativa por la derecha : ^[8] dadas funciones g , h : Y → Z , siempre que g o f = h o f , entonces g = h . Esta propiedad se formula en términos de funciones y su composición y se puede generalizar a la noción más general de los morfismos de una categoría y su composición. Los morfismos cancelativos por la derecha se denominan epimorfismos . Específicamente, las funciones sobreyectivas son precisamente los epimorfismos en la categoría de conjuntos . El prefijo epi se deriva de la preposición griega ἐπί que significa sobre , encima de , sobre .

Cualquier morfismo con una inversa derecha es un epimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Una inversa derecha g de un morfismo f se llama sección de f . Un morfismo con una inversa derecha se llama epimorfismo escindido .

Sobreyecciones como relaciones binarias

Cualquier función con dominio X y codominio Y puede ser vista como una relación binaria total por la izquierda y única por la derecha entre X e Y identificándola con su gráfico de función . Una función sobreyectiva con dominio X y codominio Y es entonces una relación binaria entre X e Y que es única por la derecha y total por la izquierda y total por la derecha .

Cardinalidad del dominio de una sobreyección

La cardinalidad del dominio de una función sobreyectiva es mayor o igual que la cardinalidad de su codominio: Si f : X → Y es una función sobreyectiva, entonces X tiene al menos tantos elementos como Y , en el sentido de números cardinales . (La prueba apela al axioma de elección para mostrar que existe una función g : Y → X que satisface f ( g ( y )) = y para todo y en Y. Se ve fácilmente que g es inyectiva, por lo que se satisface la definición formal de | Y | ≤ | X |).

Específicamente, si tanto X como Y son finitos con el mismo número de elementos, entonces f : X → Y es sobreyectiva si y sólo si f es inyectiva .

Dados dos conjuntos X e Y , se utiliza la notación X ≤ ^* Y para decir que X está vacío o que hay una sobreyección de Y sobre X . Utilizando el axioma de elección se puede demostrar que X ≤ ^* Y e Y ≤ ^* X juntos implican que | Y | = | X |, una variante del teorema de Schröder-Bernstein .

Composición y descomposición

La composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva: si f y g son ambas sobreyectivas, y el codominio de g es igual al dominio de f , entonces f o g es sobreyectiva. Por el contrario, si f o g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva (pero g , la función aplicada primero, no necesariamente lo es). Estas propiedades se generalizan a partir de las sobreyecciones en la categoría de conjuntos a cualquier epimorfismo en cualquier categoría .

Cualquier función puede descomponerse en una sobreyección y una inyección : Para cualquier función h : X → Z existe una sobreyección f : X → Y y una inyección g : Y → Z tales que h = g o f . Para ver esto, definamos Y como el conjunto de preimágenes h ⁻¹ ( z ) donde z está en h ( X ) . Estas preimágenes son disjuntas y particionan X . Entonces f lleva cada x al elemento de Y que lo contiene, y g lleva cada elemento de Y al punto en Z al que h envía sus puntos. Entonces f es sobreyectiva ya que es una función de proyección, y g es inyectiva por definición.

Sobreyección inducida y biyección inducida

Cualquier función induce una sobreyección restringiendo su codominio a su rango. Cualquier función sobreyectiva induce una biyección definida en un cociente de su dominio colapsando todos los argumentos que mapean a una imagen fija dada. Más precisamente, cada sobreyección f : A → B puede factorizarse como una proyección seguida de una biyección como sigue. Sean A /~ las clases de equivalencia de A bajo la siguiente relación de equivalencia : x ~ y si y solo si f ( x ) = f ( y ). Equivalentemente, A /~ es el conjunto de todas las preimágenes bajo f . Sea P (~) : A → A /~ la función de proyección que envía cada x en A a su clase de equivalencia [ x ] _~ , y sea f _P : A /~ → B la función bien definida dada por f _P ([ x ] _~ ) = f ( x ). Entonces f = f _P o P (~).

El conjunto de sobreyecciones

Dados $A$ y $B$ fijos , se puede formar el conjunto de sobreyecciones $A ↠ B.$ La cardinalidad de este conjunto es uno de los doce aspectos de la vía duodecimal de Rota , y está dada por , donde denota un número de Stirling de segundo tipo . ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$

Galería

Una función sobreyectiva no inyectiva (sobreyección, no biyección)
Una función sobreyectiva inyectiva (biyección)
Una función inyectiva no sobreyectiva (inyección, no biyección)
Una función no inyectiva y no sobreyectiva (ni biyectiva)

Composición sobreyectiva: la primera función no necesita ser sobreyectiva.
Funciones no sobreyectivas en el plano cartesiano. Aunque algunas partes de la función son sobreyectivas, donde los elementos y en Y tienen un valor x en X tal que y = f ( x ), algunas partes no lo son. Izquierda: Hay y ₀ en Y , pero no hay x ₀ en X tal que y ₀ = f ( x ₀ ). Derecha: Hay y ₁ , y ₂ e y ₃ en Y , pero no hay x ₁ , x ₂ y x ₃ en X tales que y ₁ = f ( x ₁ ), y ₂ = f ( x ₂ ) e y ₃ = f ( x ₃ ).
Interpretación para funciones sobreyectivas en el plano cartesiano, definidas por la función f : X → Y , donde y = f ( x ), X = dominio de la función, Y = rango de la función. Cada elemento del rango se mapea a partir de un elemento del dominio, por la regla f . Puede haber varios elementos del dominio que se mapean al mismo elemento del rango. Es decir, cada y en Y se mapea a partir de un elemento x en X , más de una x puede mapearse a la misma y . Izquierda: Solo se muestra un dominio, lo que hace que f sea sobreyectiva. Derecha: se muestran dos posibles dominios X ₁ y X _{2 .}

Véase también

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Sobrejetividad .

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Referencias

^ ab "Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva". www.mathsisfun.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ ab "Biyección, inyección y sobreyección | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ Miller, Jeff, "Inyección, sobreyección y biyección", Los primeros usos de algunas de las palabras de las matemáticas, Tripod.
^ Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 106.ISBN 978-0-8218-3967-6.
^ "Flechas – Unicode" (PDF) . Consultado el 11 de mayo de 2013 .
^ Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
^ TM Apostol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pág. 35.
^ Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, el análisis categórico de la lógica (edición revisada). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado el 25 de noviembre de 2009 .

Lectura adicional

Bourbaki, N. (2004) [1968]. Teoría de conjuntos. Elementos de matemáticas . Vol. 1. Springer. doi :10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6. Número de serie LCCN 2004110815.