Identidades de suma de divisores

El propósito de esta página es catalogar identidades nuevas, interesantes y útiles relacionadas con las sumas de divisores de teoría de números , es decir, sumas de una función aritmética sobre los divisores de un número natural , o equivalentemente, la convolución de Dirichlet de una función aritmética con uno: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle g(n):=\sum _{d\mid n}f(d).}$

Estas identidades incluyen aplicaciones a sumas de una función aritmética sobre sólo los divisores primos propios de . También definimos variantes periódicas de estas sumas de divisores con respecto a la función máximo común divisor en la forma de ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{m}(n):=\sum _{d\mid (m,n)}f(d),\ 1\leq m\leq n}$

Las relaciones de inversión bien conocidas que permiten expresar la función en términos de se proporcionan mediante la fórmula de inversión de Möbius . Naturalmente, algunos de los ejemplos más interesantes de tales identidades resultan al considerar las funciones sumatorias de orden promedio sobre una función aritmética definida como una suma de divisores de otra función aritmética . Se pueden encontrar ejemplos particulares de sumas de divisores que involucran funciones aritméticas especiales y convoluciones de Dirichlet especiales de funciones aritméticas en las siguientes páginas: aquí , aquí , aquí , aquí y aquí . ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n)}$

Identidades de suma de orden promedio

Intercambio de identidades de suma

Las siguientes identidades son la principal motivación para crear esta página de temas. Estas identidades no parecen ser muy conocidas, o al menos no estar bien documentadas, y son herramientas extremadamente útiles para tener a mano en algunas aplicaciones. En lo que sigue, consideramos que son funciones aritméticas prescritas y que denota la función sumatoria de . Aquí se hace referencia a un caso especial más común de la primera sumatoria a continuación . ^[1] ${\displaystyle f,g,h,u,v:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\textstyle G(x):=\sum _{n\leq x}g(n)}$ ${\displaystyle g(n)}$

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}v(n)\sum _{d\mid n}h(d)u\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{n=1}^{x}h(n)\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor }u(k)v(nk)}$
2. ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{x}\sum _{d\mid n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f(n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor }f(n)\right)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{aligned}}}$
3. ${\displaystyle \sum _{d=1}^{x}f(d)\left(\sum _{r\mid (d,x)}g(r)h\left({\frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\leq d\leq x/r}h(d)f(rd)\right)}$
4. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t^{d}-1}}g\left({\frac {x}{d}}\right)}$

En general, estas identidades se obtienen de las denominadas " rarezas y lados B " de notas y técnicas de teoría analítica de números, tanto bien establecidas como semi-oscuras , y de los artículos y trabajos de los colaboradores. Las identidades en sí mismas no son difíciles de demostrar y son un ejercicio de manipulación estándar de inversión de series y sumas de divisores. Por lo tanto, omitimos sus demostraciones aquí.

El método de convolución

El método de convolución es una técnica general para estimar sumas de orden promedio de la forma

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\qquad {\text{ or }}\qquad \sum _{\stackrel {q\leq x}{q{\text{ squarefree}}}}f(q),}$

donde la función multiplicativa f se puede escribir como una convolución de la forma para funciones aritméticas adecuadas y definidas por la aplicación g y h . Se puede encontrar un breve resumen de este método aquí. ${\displaystyle f(n)=(g\ast h)(n)}$

Una técnica relacionada es el uso de la fórmula

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{xy=k}^{}g(x)h(y)=\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{n/x}g(x)h(y)+\sum _{y=1}^{b}\sum _{x=1}^{n/y}g(x)h(y)-\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{b}g(x)h(y);}$

Esto se conoce como el método de la hipérbola de Dirichlet .

Sumas periódicas de divisores

Una función aritmética es periódica (mód k) o k -periódica, si para todo . Ejemplos particulares de funciones teóricas de números k -periódicas son los caracteres de Dirichlet módulo k y la función máximo común divisor . Se sabe que toda función aritmética k -periódica tiene una representación como una serie de Fourier discreta finita de la forma ${\displaystyle f(n+k)=f(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)=\chi (n)}$ ${\displaystyle f(n)=(n,k)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right),}$

donde los coeficientes de Fourier definidos por la siguiente ecuación también son k -periódicos: ${\displaystyle a_{k}(m)}$

${\displaystyle a_{k}(m)={\frac {1}{k}}\sum _{n=1}^{k}f(n)e\left(-{\frac {mn}{k}}\right).}$

Nos interesan las siguientes sumas de divisores k -periódicas:

${\displaystyle s_{k}(n):=\sum _{d\mid (n,k)}f(d)g\left({\frac {k}{d}}\right)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right).}$

Es un hecho que los coeficientes de Fourier de estas variantes de suma de divisores están dados por la fórmula ^[2]

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}.}$

Transformadas de Fourier del MCD

También podemos expresar los coeficientes de Fourier en la ecuación inmediatamente anterior en términos de la transformada de Fourier de cualquier función h en la entrada de utilizando el siguiente resultado donde es una suma de Ramanujan (cf. transformada de Fourier de la función totient ): ^[3] ${\displaystyle \operatorname {gcd} (n,k)}$ ${\displaystyle c_{q}(n)}$

${\displaystyle F_{h}(m,n)=\sum _{k=1}^{n}h((k,n))e\left(-{\frac {km}{n}}\right)=(h\ast c_{\bullet }(m))(n).}$

Así, combinando los resultados anteriores, obtenemos que

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}$

Sumas sobre divisores primos

Sea la función la función característica de los primos , es decir, si y sólo si es primo y tiene valor cero en caso contrario. Entonces, como caso especial de la primera identidad en la ecuación (1) en la sección de intercambio de identidades de suma anterior, podemos expresar las sumas de orden promedio ${\displaystyle a(n)}$ ${\displaystyle a(n)=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}f(p)=\sum _{p=1}^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{ prime}}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .}$

También tenemos una fórmula integral basada en la suma de Abel para sumas de la forma ^[4]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{ prime}}}}^{x}f(p)=\pi (x)f(x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime }(t)dt\approx {\frac {xf(x)}{\log x}}-\int _{2}^{x}{\frac {t}{\log t}}f^{\prime }(t)dt,}$

donde denota la función de conteo de primos . Aquí normalmente asumimos que la función f es continua y diferenciable . ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}}$

Algunas identidades de suma de divisores menos apreciadas

Tenemos las siguientes fórmulas de suma de divisores para f cualquier función aritmética y g completamente multiplicativa donde es la función totiente de Euler y es la función de Möbius : ^{[5] [6]} ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$

1. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)\varphi \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))}$
2. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}(1-f(p))}$
3. ${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}g(d)f\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}$
4. Si f es completamente multiplicativa , entonces la multiplicación puntual con una convolución de Dirichlet produce . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle f\cdot (g\ast h)=(f\cdot g)\ast (f\cdot h)}$
5. ${\displaystyle \sum _{d^{k}\mid n}\mu (d)={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}0,&{\text{ if }}m^{k}\mid n{\text{ for some }}m>1;\\1,&{\text{otherwise.}}\end{array}}}$
6. Si y n tiene más de m factores primos distintos , entonces ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}$

La inversa de Dirichlet de una función aritmética

Adoptamos la notación que denota la identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet de modo que para cualquier función aritmética f y . La inversa de Dirichlet de una función f satisface para todo . Existe una fórmula de convolución recursiva bien conocida para calcular la inversa de Dirichlet de una función f por inducción dada en la forma de ^[7] ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$ ${\displaystyle (\varepsilon \ast f)(n)=(f\ast \varepsilon )(n)=f(n)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle (f\ast f^{-1})(n)=(f^{-1}\ast f)(n)=\varepsilon (n)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f^{-1}(n)}$

${\displaystyle f^{-1}(n)={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{ if }}n=1;\\-{\frac {1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ if }}n>1.\end{array}}}$

Para una función fija f , sea la función ${\displaystyle f_{\pm }(n):=(-1)^{\delta _{n,1}}f(n)={\Biggl \{}{\begin{matrix}-f(1),&{\text{ if }}n=1;\\f(n),&{\text{ if }}n>1\end{matrix}}}$

A continuación, defina las siguientes dos variantes de convolución múltiples o anidadas para cualquier función aritmética fija f :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{ times}}}(n)\\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}f_{\pm }(n),&{\text{ if }}j=1;\\\sum \limits _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d),&{\text{ if }}j>1.\end{array}}\end{aligned}}}$

La función del par equivalente de fórmulas de suma en la siguiente ecuación está estrechamente relacionada con la inversa de Dirichlet para una función arbitraria f . ^[8] ${\displaystyle D_{f}(n)}$

${\displaystyle D_{f}(n):=\sum _{j=1}^{n}\operatorname {ds} _{2j,f}(n)=\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\sum _{i=0}^{2m-1}{\binom {2m-1}{i}}(-1)^{i+1}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{i+1,f}(n)}$

En particular, podemos demostrar que ^[9]

${\displaystyle f^{-1}(n)=\left(D+{\frac {\varepsilon }{f(1)}}\right)(n).}$

A continuación se muestra una tabla de los valores de for . Esta tabla precisa el significado y la interpretación pretendidos de esta función como la suma con signo de todas las posibles k -convoluciones múltiples de la función f consigo misma. ${\displaystyle D_{f}(n)}$ ${\displaystyle 2\leq n\leq 16}$

Sea donde p es la función de partición (teoría de números) . Luego hay otra expresión para la inversa de Dirichlet dada en términos de las funciones anteriores y los coeficientes del símbolo q-Pochhammer para dados por ^[8] ${\displaystyle p_{k}(n):=p(n-k)}$ ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}$

Variantes de sumas sobre funciones aritméticas

Véase también

• Suma
• Serie de campanas
• Lista de series matemáticas

Notas

1. Véase también la Sección 3.10 de Apostol.
2. Sección 27.10 del Manual de funciones matemáticas del NIST (DLMF).
3. Schramm, W. (2008). "La transformada de Fourier de funciones de máximo común divisor". Enteros . 8 .
4. Véase la Sección 2.2 en Villarino, MB (2005). "Demostración de Mertens del teorema de Mertens". arXiv : math/0504289 .
5. En el orden respectivo del libro de Apostol: Ejercicio 2.29, Teorema 2.18 y Ejercicios 2.31-2.32
6. serie de Dirichlet bien conocida de la forma catalogada en Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). "Un catálogo de series de Dirichlet interesantes". Miss. J. Math. Sci . 20 (1). Archivado desde el original el 2 de octubre de 2011. ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$
7. Véase la Sección 2.7 del libro del Apóstol para una prueba.
8. M. Merca y MD Schmidt (2017). "Teoremas de factorización para series de Lambert generalizadas y aplicaciones". págs. 13–20. arXiv : 1712.00611 [math.NT].
9. Esta identidad está probada en un manuscrito inédito de MD Schmidt que aparecerá en ArXiv en 2018.

Referencias

• Apostol, T. (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90163-9.
• Biblioteca digital de funciones matemáticas (DLMF). NIST. 2018. Consultado el 24 de abril de 2018 .
• Tao, Terrence. "Convolución de Dirichlet: ¿Qué hay de nuevo?".